多元表征理論下高中數(shù)學概念教學的研究

李廣丹

(江蘇省句容市實驗高級中學,江蘇 句容 212400)

多元表征理論(Multiple Intelligences Theory)最早是由美國心理學家霍華德·加德納(Howard Gardner)于20世紀80年代提出的一種關(guān)于智力的理論.但是這里所要講的多元表征理論是與高中數(shù)學概念相結(jié)合,指對一個數(shù)學概念從使用文字表征、操作表征、圖像(圖形)表征、符號表征幾種表征方式來進行描述,避免單一描述所帶來的誤解,最大限度地使學生從多個角度理解這些概念,并能利用這些數(shù)學概念解釋身邊的一些問題[1].

數(shù)學概念則是指數(shù)學中的基本概念、定義和定理等,是數(shù)學理論的基礎(chǔ)和核心.數(shù)學概念包括數(shù)論、代數(shù)、幾何、拓撲、微積分等各個領(lǐng)域中的基本概念.在數(shù)論中,常見的概念有自然數(shù)、整數(shù)、有理數(shù)、無理數(shù)、實數(shù)、復數(shù)等.在代數(shù)中,常見的概念有向量、矩陣、線性方程組、函數(shù)、多項式等.在幾何中,常見的概念有點、線、面、角、距離、相似、全等等.為了系統(tǒng)地研究多元表征理論下的高中數(shù)學概念教學,我們先要弄明白這種教學模式與傳統(tǒng)模式的區(qū)別.

1 多元表征理論下高中數(shù)學概念教學與傳統(tǒng)教學的區(qū)別

傳統(tǒng)的數(shù)學教學通常采用了較為抽象和理論化的方式教授數(shù)學概念,這種教學方式可能會讓學生難以理解和掌握數(shù)學概念.傳統(tǒng)的教學方法之所以會跟不上時代的步伐,就因為其只涉及了對概念進行文字和符號的描述,而新的概念教學模式即多元表征理論概念教學則會用到文字表征、操作表征、圖像(圖形)表征、符號表征等多種表征方式,可最大限度地減少學習障礙、提高學習效率.多元表征可以分為內(nèi)在和外在表征.外在表征是指數(shù)學學習對象的代替,根據(jù)數(shù)學學習客體的不同形式,可以歸類為言語、圖像等.而內(nèi)在表征是外在表征在人腦中的內(nèi)化,指數(shù)學學習客體在人腦中呈現(xiàn)的不同心理表征,例如命題、圖式等.并且在此基礎(chǔ)上對數(shù)學外在表征分為敘事性和描繪性表征,敘事性表征與被表征的概念沒有直接或相似性聯(lián)系,只能通過想象性聯(lián)系,而描繪性表征則是與被表征概念有著強相關(guān)性聯(lián)系.同時我們也可以把多元表征分為言語化表征和視覺化表征兩種,這也是我們常用的分類方式,具體應(yīng)用如下.

以“函數(shù)單調(diào)性”這一節(jié)課來舉例,就可以根據(jù)具體情況把相應(yīng)的數(shù)學概念通過言語化表征和視覺化表征兩種方式表達,其中語言化表征包括文字表征和符號表征,而視覺性表征則包括解析表征,圖像表征和列表表征.通過這種方法,學生可以更直觀地了解函數(shù)單調(diào)性相關(guān)的概念,并且能夠與對應(yīng)的知識加以比較并快速應(yīng)用的問題的解答中,還能夠增加課程的趣味性.

2 多元表征理論數(shù)學概念教學的方法

2.1 文字表征

文字表征是指通過自然語言來表達數(shù)學概念和運算過程的方法.例如,在幾何中,我們可以使用自然語言來描述圖形的特征和性質(zhì),如直角三角形的定義:“一個三角形的一個角是直角,則稱這個三角形為直角三角形”.

2.2 符號表征

符號表征是指通過符號化語言來表達數(shù)學概念和運算過程的方法.例如,在代數(shù)中,我們可以使用加號、減號、乘號、除號等符號來表示加、減、乘、除等運算;在微積分中,我們可以使用和等符號來表示微分、積分等運算.

2.3 解析式表征

解析式表征是指用代數(shù)式或方程式來表達數(shù)學概念.例如,二次函數(shù)y=ax2+bx+c就是一個解析式表征,通過這個式子可以得到二次函數(shù)的圖象、頂點坐標等信息.

2.4 圖像表征

圖像表征是指用圖象或圖形來表達數(shù)學概念.例如,正弦函數(shù)的圖象就是一個典型的圖象表征,它可以通過函數(shù)y=sin(x)來繪制.這個圖象可以讓學生更加直觀地理解正弦函數(shù)的周期、振幅、相位等概念.另外一個例子是平面直角坐標系中的圖形,例如圓形、橢圓形、拋物線等,它們的圖象可以幫助學生更加直觀地理解它們的性質(zhì)和特征.

2.5 列表表征

列表表征是指用數(shù)據(jù)表格或列表來表達數(shù)學概念.例如,正比例函數(shù)y=kx可以用一個數(shù)據(jù)表格來表示,表格中列出x和y的對應(yīng)關(guān)系,可以讓學生更加直觀地看出y隨x增大的趨勢和規(guī)律.

而實際上我們想要講好一個數(shù)學概念,只通過一個表征方法是不夠的,往往是通過多種表征方法相結(jié)合的方式進行教學的.下面我們以“圓的概念”教學這一節(jié)課為例進行講解.

定義:圓是平面上所有距離圓心相等的點的集合.

(1)文字表征:圓是一個平面上的幾何圖形,由所有到圓心距離相等的點組成.圓通常用“圓”這個詞來描述,圓心是圓的中心點,半徑是從圓心到圓周上任意一點的距離.

(2)符號表征:用符號O表示圓心,用r表示圓的半徑,用O(0,r)表示圓.

(3)解析式表征:方程可以轉(zhuǎn)化為方程,如為圓上點到圓心的直線與x軸的夾角.

(4)圖像表征:圖像如圖1所示

圖1 圖像表征

(5)列表表征:列表如表1所示

表1 列表表征

3 多元表征理論數(shù)學概念教學的策略

教學策略是教學模式和課堂教學的紐帶,為了更好地實踐多元表征理論在高中數(shù)學概念教學中的應(yīng)用,筆者提出以下策略,希望能對課堂授課予以幫助.

3.1 引入多元表征情景

在數(shù)學教學中,引入數(shù)學概念的環(huán)節(jié)通常被稱為創(chuàng)設(shè)情境引入新知.學生對新知的初始印象很重要,因為它會影響他們之后對知識的理解程度.因此,教師在引入數(shù)學概念時需要創(chuàng)設(shè)多元情境,即根據(jù)日常生活的應(yīng)用情境設(shè)置具有啟發(fā)性的問題,或者根據(jù)學生現(xiàn)有知識尚無法解決的現(xiàn)象來引入新概念.在創(chuàng)設(shè)多元情境時,教師可以利用不同類型的表征,如敘述性表征和描繪性表征,來創(chuàng)設(shè)實物模型情境、啟發(fā)性問題情境或進一步研究的需要等多種引入情境.這樣可以培養(yǎng)學生分析問題的能力和邏輯思維能力,并有效地引出課程學習的數(shù)學概念.通過多元表征方式,可以將抽象的數(shù)學概念合理地表現(xiàn)為具體的形式,學生能夠更好地理解和掌握所學概念.例如,“正弦函數(shù)概念的引入”——教師可以利用多媒體這種新式方法讓同學們了解正弦函數(shù)的起源,讓學生動手改變系數(shù)和參數(shù)的操作情境和利用“在解決求在圓內(nèi),隨著圓上點的變動,其坐標與對應(yīng)的過圓心的直線與x軸相交形成的圓心角的關(guān)系”的問題情境有效引入正弦的概念.

3.2 把握概念的本質(zhì)

在數(shù)學教學中,要促進學生對概念的形成,教師需要抓住接近概念本質(zhì)的表征形式,這對應(yīng)教學活動程序中的多元表征活動探究這一環(huán)節(jié).數(shù)學概念有多種表征方式,包括實物模型、圖像圖形的形象表征,以及數(shù)學符號、語言文字的符號表征等.在概念形成的過程中,學生需要充分掌握事物的本質(zhì)屬性,才能形成事物的概念.因此,在概念教學的初始階段,應(yīng)讓學生了解最接近數(shù)學概念本質(zhì)的表征形式,這樣可以保證正確理解數(shù)學概念、提高解決數(shù)學問題的準確性以及熟練應(yīng)用其他表征形式的能力.例如,在數(shù)列概念的教學過程中,教師應(yīng)讓學生明確數(shù)列概念的語言文字表征形式,并抓住概念定義中的關(guān)鍵詞,然后再拓展其他表征形式,以加強學生對數(shù)列概念的理解.例如,在數(shù)列概念的教學中,關(guān)鍵詞是“按一定順序”,這種有序性是對數(shù)列本質(zhì)的最直接反映.因此,教師可以通過設(shè)計一些正反例來幫助學生深入理解數(shù)列概念的關(guān)鍵詞和本質(zhì)屬性,從而更好地掌握這一概念[2].

3.3 形成標準化

在數(shù)學教學中,為了促進學生對概念的精確理解,教師需要規(guī)范學生形成標準化多元表征,這對應(yīng)教學活動程序中的規(guī)范概念深化理解這一環(huán)節(jié).學生構(gòu)建自己的概念表征后,往往存在一定的偏差和錯誤的概念意向.因此,教師應(yīng)該幫助學生規(guī)范表征,建立不同表征之間的聯(lián)系,使學生獲得正確的表征.例如,在數(shù)列概念的教學過程中,教師可以組織學生用其他方式表示給定的一組數(shù)列,師生一起討論其他學生用列表、圖形等表示這組數(shù)列的方法是否正確,有沒有清晰刻畫出數(shù)列序號和項之間的對應(yīng)關(guān)系.通過這樣的規(guī)范化多元表征的教學活動,可以幫助學生更準確地理解數(shù)學概念,提高數(shù)學學習效果.

3.4 加強概念間的聯(lián)系

在數(shù)學教學中,為了幫助學生正確理解數(shù)學概念,教師需要加強概念間的多元聯(lián)系,這對應(yīng)教學活動程序中的總結(jié)梳理形成圖式這一環(huán)節(jié).數(shù)學概念不是孤立的存在,而是被納入學習者構(gòu)建的數(shù)學概念體系中.在解決高中數(shù)學問題時,學生需要恰當?shù)亟⒏拍钪g的聯(lián)系,才能正確解決問題.具體做法是:在學習了一節(jié)或一章內(nèi)容后,教師可以引導學生及時總結(jié)本章的重要概念和數(shù)學思維方法,梳理以往的學過的舊概念,并分析、比較其中與新概念有聯(lián)系易混淆的概念,闡明它們的聯(lián)系與區(qū)別.這有助于學生把握新概念,區(qū)分新舊概念,將新概念納入學生的數(shù)學概念體系,從而使概念更具組織性、系統(tǒng)性.例如,在學習等比數(shù)列的概念后,教師可以引導學生對比等差數(shù)列與等比數(shù)列概念的聯(lián)系與區(qū)別進行梳理總結(jié),這樣不僅能夠加深學生對等差數(shù)列的概念的理解,還有助于學生清晰理解等比數(shù)列的概念.通過加強概念間的多元聯(lián)系,可以幫助學生更好地掌握數(shù)學知識,提高數(shù)學學習效果.

4 結(jié)束語

本文從多元表征理論的角度出發(fā),探討了高中數(shù)學概念教學中的相關(guān)問題,并提出了相應(yīng)的解決策略.希望各位老師在今后的數(shù)學教學中,能夠更加注重多元表征理論的應(yīng)用,為學生提供更加優(yōu)質(zhì)的數(shù)學教育.