力學(xué)中涉及物體平衡的?？碱}型解析

杜旭東

(甘肅省禮縣實(shí)驗(yàn)中學(xué),甘肅 隴南 742200)

在高中物理的學(xué)習(xí)中,容易知道,物體如果處于平衡狀態(tài),則物體所受到的合外力為零;同樣地,如果物體所受到的合外力為零,則物體處于平衡狀態(tài).在對物體平衡進(jìn)行受力分析時(shí),要考慮全面,而且也要熟悉相關(guān)的數(shù)學(xué)知識.因?yàn)橹袑W(xué)物理模型中的幾何關(guān)系,在很多時(shí)候會(huì)成為求解問題的瓶頸,所以在平時(shí)的學(xué)習(xí)中要注意積累數(shù)學(xué)中的幾何知識.下面對力學(xué)中涉及物體平衡的?？碱}型進(jìn)行分類解析.

1 力的合成與分解

例1[1]如圖1所示,有三根質(zhì)量和形狀都相同的光滑圓柱體,它們的重心位置不同,擱在兩墻間,為了方便,將它們的重心畫在同一截面上,重心的位置分別用1、2、3標(biāo)出(重心2與圓心重合,三個(gè)重心位置均在同一豎直線上),FN1、FN2、FN3分別為三根圓柱體對墻的壓力, 則( ).

圖1 例1題圖

A.FN1=FN2=FN3B.FN1

C.FN1>FN2>FN3D.FN1=FN2>FN3

分析對于球形或圓柱形物體的受力分析,我們見得較多的是均勻結(jié)構(gòu)的物體,其重心在物體的球心或圓柱橫截面的圓心,對其重力進(jìn)行分解時(shí),往往是從重心處向與該物體相互作用的彈力作用點(diǎn)進(jìn)行分解.如將這一思維方式帶入本題,對圓柱體的重力進(jìn)行分解,就是在圖1中的三個(gè)重力的作用點(diǎn)處進(jìn)行分解,由圖1可知重心在3處的兩個(gè)分力的夾角最大,重心在1處的兩個(gè)分力的夾角最小.在合力不變的條件下,兩分力的夾角越大,兩個(gè)分力越大,應(yīng)該是B選項(xiàng)正確,這難道是錯(cuò)的嗎? 如果出錯(cuò)了,那錯(cuò)誤出現(xiàn)在什么地方呢? 應(yīng)該說錯(cuò)誤出現(xiàn)在兩個(gè)地方: 第一,重力的作用效果確實(shí)是壓墻角,而墻角對圓柱體的支持力與圓柱體對墻角的壓力是一對作用力與反作用力,它們是作用在同一條直線上的,重力的分力與圓柱體對墻的壓力應(yīng)在同一直線上,而墻角對圓柱體的支持力應(yīng)垂直于過墻角與圓柱面相切的平面,則此支持力的作用線必定通過圓柱橫截面的圓心,而重力的分力的作用線也應(yīng)在支持力的作用線上,是要通過圓柱體的圓心的,而在圖中的分力沒有經(jīng)過圓心;第二,在研究平衡問題時(shí),力的分解和合成均是對于共點(diǎn)力而言的,顯然重力作用點(diǎn)1、2均不是共點(diǎn)力所共的點(diǎn),所以錯(cuò)誤.事實(shí)上,例1中三個(gè)圓柱體所受到的支持力均是通過圖中的圓心O的.

解析由于三根圓柱體的三個(gè)重心位置均在同一豎直線上,兩墻角對光滑圓柱體的彈力均指向圓心,與豎直方向的夾角相等.由于對稱性,這兩個(gè)彈力的大小相等,合力一定沿兩力夾角的平分線,即豎直向上.合力與圓柱體的重力相平衡,三圓柱體的重力相等,所以三根圓柱體受到的彈力也相等.反過來,三根圓柱體對墻的壓力也相等.所以A選項(xiàng)正確.

還可對圓柱體的重力進(jìn)行分解: 圓柱體的重力作用線均過圓心O,沿著重力作用線移動(dòng)重力的作用點(diǎn)不會(huì)改變重力作用效果,所以可將重力作用點(diǎn)不在圓心的重力移到圓心處, 重力沿兩墻角分解的情況相同,也就是重力分解在兩墻角的分量相同,三根圓柱體對墻的壓力也相等.故A選項(xiàng)正確.

點(diǎn)評上述的兩種解答途徑,均是在共點(diǎn)力所共的點(diǎn)O處進(jìn)行合成與分解的.應(yīng)該說本題運(yùn)用分解的思路比合成的思路簡捷、直觀.

2 整體法與隔離法

例2如圖2所示,四塊質(zhì)量均為m的磚塊被水平壓力F夾在兩豎直木板之間,處于靜止?fàn)顟B(tài).試求第1塊磚對第2塊磚的摩擦力f12和第3塊磚對第2塊磚的摩擦力f32.

圖2 例2題圖

分析要求兩塊磚的接觸面間的摩擦力,應(yīng)考慮從兩塊磚的接觸面處將物體隔離,將其接觸面內(nèi)側(cè)具有對稱性的部分視為整體,如要求木板與第1塊磚間的摩擦力,由對稱性知左側(cè)板與第1塊磚間的作用力和右側(cè)板與第4塊磚間的作用力具有對稱性,若將四塊磚整體作為研究對象,其受力如圖3所示,則由平衡條件,便可求出摩擦力f的大小.同樣,如果要求第1塊磚與第2塊磚間的摩擦力,則以2、3兩塊磚整體為研究對象,也可以分析出類似于圖3所示的受力示意圖,因而也容易求出磚1、2或者磚3、4之間的摩擦力.而對于磚2、3之間的摩擦力,由對稱性判斷,它們彼此間的摩擦力要么同時(shí)向上,要么同時(shí)向下,這是與牛頓第三定律相違背的,因而它們之間是不可能存在摩擦力的.當(dāng)然,這一結(jié)果也可假定磚2、3之間存在著摩擦力,然后隔離2(或3),通過磚1、2之間的相互作用力和平衡條件求解.

圖3 整體法

解析如圖3所示,先以四塊磚為整體作為研究對象,它受到豎直向下的重力4mg,木板對它豎直向上的兩個(gè)靜摩擦力f,水平方向的兩個(gè)壓力F.顯然有2f=4mg,故f=2mg.

再以第1塊磚為研究對象,如圖4所示,它受到豎直向下的重力mg,木板對它豎直向上的靜摩擦力f、磚塊2對它豎直向上的靜摩擦力f21(此力方向待定,不妨假設(shè)其豎直向上)、水平方向的壓力F和N.于是有f+f21=mg,解得f21=-mg.

圖4 隔離1塊

即磚塊2對磚塊1的靜摩擦力f21豎直向下,也就是第1塊磚對第2塊磚的摩擦力f12=mg,方向豎直向上.

同樣,以1、2兩塊磚為研究對象, 如圖5所示,它受到豎直向下的重力2mg,木板對它豎直向上的靜摩擦力f、磚塊3對它的豎直向上的靜摩擦力f32(此力方向待定,不妨假設(shè)其豎直向上)、水平方向的壓力N和N′.于是有f+f32=2mg,所以f32=0.

綜上所述,第1塊磚對第2塊磚的摩擦力f12=mg,方向豎直向上;第3磚塊對第2塊磚的靜摩擦力f32=0.

點(diǎn)評兩板夾磚塊的問題是中學(xué)階段受力分析的典型訓(xùn)練習(xí)題之一,在分析各磚塊之間的相互作用力時(shí),必須交替應(yīng)用整體法與隔離法[2],同時(shí),還應(yīng)具備對稱分析的物理思想.

3 正交分解法

例3如圖6所示,輕繩AC與天花板的夾角α=30°,輕繩BC與天花板的夾角β=60°.設(shè)AC、BC繩能承受的最大拉力均不能超過100 N,CD繩的強(qiáng)度足夠大,CD繩下端懸掛的物重G不能超過多少?

圖6 例3題圖

分析對于本題,應(yīng)注意到兩方面的問題: 一是C處為一結(jié)點(diǎn),它可使兩段輕繩中的拉力不相等,這一點(diǎn)與C點(diǎn)所放置的是滑輪或者活套不同;二是要注意到當(dāng)懸掛的物重G增加時(shí),繩AC與BC的拉力FA、FB也同步增加,當(dāng)它們中之一達(dá)到所能承受的最大值時(shí),所掛物體的物重G即是所求.

解析如圖7所示,以結(jié)點(diǎn)C為研究對象進(jìn)行受力分析,并建立坐標(biāo)系,由共點(diǎn)力的平衡條件有

圖7 正交分解求物重

∑Fx=FBcos60°-FAcos30°=0,

①

∑Fy=FAsin30°+FBsin60°-FC=0.

②

③

顯然,AC繩與BC繩實(shí)際所受的拉力滿足FB>FA,BC繩先于AC繩達(dá)到所能承受的最大拉力.

由題意知,當(dāng)FB=100 N時(shí), 物重G有最大值Gmax.

點(diǎn)評在判斷所能懸掛的最大物重的過程中,必須對三者的大小關(guān)系進(jìn)行比較才能作出正確的判斷.在本題中,由于兩繩所能承受的最大拉力相等,故只需直接比較兩繩所受的拉力大小關(guān)系,如果兩繩所能承受的最大拉力不等,則需比較它們實(shí)際承受的拉力的大小關(guān)系與它們所能承受的最大拉力的大小關(guān)系,以確定哪根繩子所受的作用力先達(dá)到最大值;或者是比較AC繩或BC繩在假定另一根繩所能承受的拉力足夠大的情況下,所能懸掛的最大物重, 從而比較得出所能懸掛的最大物重.

4 結(jié)束語

物體在外力作用下做勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí),所受合外力必然為零,即∑F=0.當(dāng)物體所受的合外力為零時(shí),物體在任意方向上的合外力也為零.為了研究問題的方便,通常將物體所受的合外力向兩個(gè)正交的方向(x方向與y方向)上分解,此時(shí),物體的平衡條件可表示為∑Fx=0和∑Fy=0,這就是我們常說的正交分解法[3].正交分解法是處理物體平衡問題時(shí),對物體進(jìn)行受力分析與計(jì)算各種力的有效方法.