在數(shù)學(xué)解題中培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力

郭 敏 夏正亮

(江蘇省灌云高級中學(xué),江蘇 連云港 222200)

高中數(shù)學(xué)是一門對邏輯思維要求較高的學(xué)科,細(xì)致的觀察是縝密思維的基礎(chǔ).為此,在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師要將培養(yǎng)學(xué)生良好的觀察能力寓于平時的數(shù)學(xué)解題中,助力學(xué)生數(shù)學(xué)專業(yè)素養(yǎng)的不斷提升.

1 立足整體,確立基本思想

要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)觀察能力,首先要讓學(xué)生在審題觀察時立足整體,對整體有一個基本的了解,尋找出在這個整體中涉及相關(guān)問題的思想方法和核心本質(zhì),只有將相關(guān)思想方法確定,再運用已知條件解決問題才會事半功倍[1].

如:一個細(xì)胞在進(jìn)行分裂時,需要10分鐘完成一次分裂,由1個分裂成2個,2個分裂為4個,4個分裂為8個,以此類推,問1個細(xì)胞一小時后分裂為多少個?教師在課堂上呈現(xiàn)問題后讓學(xué)生進(jìn)行觀察,通過整體觀察,確定這個問題考查的是指數(shù)函數(shù),進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生將求解過程寫下來.學(xué)生在思考后得出解題思路,設(shè)細(xì)胞分裂次數(shù)為x,則對于細(xì)胞個數(shù)為y,得到指數(shù)函數(shù)y=2x,因為所求問題為一小時后細(xì)胞個數(shù),則x有了對應(yīng)值,當(dāng)x=6時,得到y(tǒng)=26,求得y=64,即1個細(xì)胞分裂一小時后數(shù)量為64個.學(xué)生通過對問題的整體觀察,能夠快速地得到這個問題的基本思想,隨后分析出這個問題給出的條件為10分鐘完成一次分裂,求解一小時分裂的數(shù)量,得出這一小時細(xì)胞分裂了6次,進(jìn)而得到解題方法,讓學(xué)生逐步運用已知條件進(jìn)行解題.

立足整體并觀察整體,在其中找出問題的關(guān)鍵點,對于學(xué)生解題來說,能夠讓學(xué)生從多角度進(jìn)行思考,并且運用所學(xué)知識點得到不同的解題方法,使學(xué)生在解題時能夠舉一反三、融會貫通,促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的拓展與深化、訓(xùn)練思維的靈活性和發(fā)散性.

2 抓住隱含,掌握數(shù)值關(guān)系

在整體的問題中,有的已知條件非常明顯,但是有的條件是含而不露,需要學(xué)生通過觀察再聯(lián)系所學(xué)知識才能明確這些隱含的已知條件,將所有條件聯(lián)系起來才能使學(xué)生進(jìn)一步掌握所有數(shù)值之間的關(guān)系,進(jìn)而解決問題.為抓住隱含條件,僅僅通過觀察整體是不夠的,還要在整體的基礎(chǔ)上進(jìn)一步深入,掌握關(guān)鍵性問題,這需要教師進(jìn)行合理的引導(dǎo),讓學(xué)生在觀察中逐步形成習(xí)慣.

隱含條件在問題中通常是作為連接橋梁存在的,只有將隱含條件找出,問題才會轉(zhuǎn)化為一個熟悉的等式.比如一個細(xì)胞在進(jìn)行分裂時,需要10分鐘完成一次分裂,由1個分裂成2個,2個分裂為4個,4個分裂為8個,以此類推,問1個細(xì)胞一小時后分裂為多少個?通過觀察問題整體,除了能夠得到表面條件,也能夠發(fā)現(xiàn)其隱含條件,即一個小時,問題可以轉(zhuǎn)化為1個細(xì)胞60分鐘的數(shù)量,已知1個細(xì)胞10分鐘完成一次分裂,那么這個細(xì)胞分裂了6次.抓住這個條件后,學(xué)生得出指數(shù)函數(shù)y=2x,最后求得答案.在平常解題過程中,這樣的隱含條件通常會以常識性知識點存在于問題中,比如三角形的內(nèi)角和、圓周率等.這需要學(xué)生在觀察問題整體時要注意條件的銜接,通過聯(lián)系問題中的上下文尋找需要的條件,當(dāng)然這也需要學(xué)生在掌握基礎(chǔ)問題的基礎(chǔ)上能夠完整地將知識點銜接,逐步將條件清晰化,讓問題中數(shù)值相聯(lián)系,這樣才能逐步找到解題方法,最終鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)觀察能力.

3 分析結(jié)構(gòu),探索具體思路

在觀察問題過程中,有部分?jǐn)?shù)學(xué)問題具有一定結(jié)構(gòu)特征和數(shù)形特征,把握住這些問題特定的結(jié)構(gòu)特征能夠使學(xué)生得到具體的思路.所以,在觀察過程中要注意分析問題結(jié)構(gòu),從結(jié)構(gòu)中逐步探索具體思路.

學(xué)生平時在解數(shù)學(xué)習(xí)題時,經(jīng)常會碰到具有特定結(jié)構(gòu)的問題,比如x2+y2-xy=1,求解x+y的最大值.對于這樣的問題,教師在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察時,要讓學(xué)生注意問題的結(jié)構(gòu),再通過結(jié)構(gòu)探索解題思路.而對于上面這一例題,通過x2+y2、x+y、xy的結(jié)構(gòu),進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想,可聯(lián)想到均值不等式,這樣就有了初步的解題思路,得到x2+y2-xy=(x+y)2-3xy=1,最終解得x+y≤2.通過觀察問題結(jié)構(gòu)能夠讓學(xué)生在解題過程中找到思路,但是這種問題也不僅僅是觀察結(jié)構(gòu)就能夠完全尋找到解題方法的,還需要學(xué)生對其他知識也能夠靈活運用,兩者相結(jié)合才能順利解題,不然只會使學(xué)生在考試中將分?jǐn)?shù)丟掉.所以教師在教學(xué)過程不能只注重對教學(xué)方法的訓(xùn)練,也加強(qiáng)學(xué)生對教材知識的掌握,這樣才能在解題中引導(dǎo)學(xué)生快速分析出思路.邏輯思維能力的培養(yǎng)是建立在學(xué)生牢固掌握教材知識點的基礎(chǔ)之上的,如果學(xué)生在解題過程中無法靈活運用知識點,那么在下次遇到相似的問題時還是會無從下手.

4 注意特值,進(jìn)行合理猜測

對問題進(jìn)行分析是解題前的基本要求,只有先找出其中的規(guī)律才能逐步探索出思路,最后將問題解出答案.在部分問題中,有一些特值會在問題中出現(xiàn),學(xué)生在觀察時需把握這些特值,通過特值進(jìn)行大膽猜測.雖然特值是一定的,但是也需要學(xué)生在觀察時要有直接性,這需要學(xué)生在課下多多積累[2].

某礦泉水經(jīng)營部每桶水的進(jìn)價為5元,每天的固定房租、工人工資等固定成本為200元,銷售單價每增加1元,日均銷售量就會減少40桶,單價為6元銷售量為480桶,單價為7元銷售量為440桶,單價為8元銷售量為400桶,以此類推,單價為12元銷售量為240桶,根據(jù)以上數(shù)據(jù)求解這個經(jīng)營部怎樣定價才能獲得最大利潤.通過這個問題,教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察,會發(fā)現(xiàn)單價每上漲1元,日均銷售量就會下降40桶,基于這個條件教師引導(dǎo)學(xué)生猜測根據(jù)這個下降數(shù)量,應(yīng)該定價為多少呢?由于是初步猜測,答案可能很多種.隨后引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)數(shù)據(jù)列出函數(shù)模型進(jìn)行驗證,設(shè)在進(jìn)價基礎(chǔ)上增加x元后,日均經(jīng)營利潤為y元,則日均銷量為480-40(x-1)=520-40x,即0

為培養(yǎng)學(xué)生的直接觀察能力,讓學(xué)生在觀察過程中發(fā)現(xiàn)特值,教師要在引導(dǎo)過程中經(jīng)常提醒學(xué)生,加深學(xué)生對特值的記憶,進(jìn)而提高解決問題的效率.

5 數(shù)形結(jié)合,尋找最優(yōu)解法

數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法,將其合理利用到數(shù)學(xué)解題過程中往往可以起到化繁為簡、化難為易的良好效果.這種解題方法在函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、解析幾何及不等式最值等多種題目中都可以應(yīng)用.教師要培養(yǎng)學(xué)生解題先想圖、以圖助解題的習(xí)慣,通過分析數(shù)與式的結(jié)構(gòu)并適時將它們相互轉(zhuǎn)換,尋找題目的最優(yōu)解法.

圖1 y=x2+2與圖象

教學(xué)中,我們可以從實數(shù)與數(shù)軸上的點的對應(yīng)關(guān)系、函數(shù)與圖象的對應(yīng)關(guān)系、曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系以及復(fù)數(shù)、三角函數(shù)、不等式等相關(guān)知識點入手,建立起抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形之間的聯(lián)系,綜合利用以形助數(shù)或以數(shù)解形的方法來找到解題的切入點,提升解題效率.

6 構(gòu)造函數(shù),實現(xiàn)條件轉(zhuǎn)化

構(gòu)造函數(shù)法指的是學(xué)生在解決某些數(shù)學(xué)問題時,通過挖掘題目中潛在的信息,觀察已知式子的結(jié)構(gòu)特征,可以利用作差法、分離參數(shù)、換元法、放縮法等方法構(gòu)造與原函數(shù)相關(guān)的適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),以此將陌生問題轉(zhuǎn)化為熟悉問題,實現(xiàn)題目的順利解決.這種解題方法適用于求解導(dǎo)數(shù)、單調(diào)性等類型的題目,需要學(xué)生熟悉掌握并能巧妙運用到解題過程中去.

如:設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且f(1)=0,當(dāng)x<0時,有xf′(x)-f(x)>0恒成立,則不等式f(x)>0的解集為____.我們觀察到題目中出現(xiàn)了“-”的形式,要想解答這道題目,就需要學(xué)生用到構(gòu)造法的解題策略.構(gòu)造F(x)=f(x)/x,則F′(x)=f′(x)x-f(x)/x2.當(dāng)x<0時,f′(x)x-f(x)>0,即當(dāng)x<0時,F′(x)>0,F(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增.根據(jù)已知條件f(x)是定義在R上的偶函數(shù),y=x為奇函數(shù),則F(x)為奇函數(shù),順勢推出F(x)在(0,+∞)上也單調(diào)遞增.接著,利用f(1)=0,則F(1)=0,綜合函數(shù)奇偶性、單調(diào)性等條件便可大致畫出F(x)的函數(shù)圖象,觀察圖象便可直接確定不等式f(x)>0的解集為(-∞,1)∪(1,+∞).

7 結(jié)束語

數(shù)學(xué)觀察能力的水平高低在一定程度上影響了學(xué)生的解題能力,尤其新課標(biāo)已明確提出要發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng),提高學(xué)生的綜合素質(zhì)能力.培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)觀察能力不僅能夠提高學(xué)生解題能力,也能夠鍛煉學(xué)生的邏輯思維能力,通過觀察與數(shù)學(xué)思維相結(jié)合,促使學(xué)生的學(xué)習(xí)質(zhì)量得到提升.