圓錐曲線中定點問題的解題策略

高玉榮

(山東省安丘市第二中學,山東 安丘 262100)

圓錐曲線中的直線過定點問題,主要考查直線與圓錐曲線的位置關系以及化歸思想、數形結合思想和數學運算求解能力等.圓錐曲線中定點問題的題型主要有:切點弦問題、斜率之和為定值問題、斜率之積為定值問題以及定點的存在性問題.筆者對圓錐曲線中的定點問題進行分類解析并給出解題策略.

1 解題策略

(1)從特殊位置入手,找出定點,再證明該點適合題意.

(2)解題的關鍵是設點,設線,直線與圓錐曲線聯系,然后表示出直線的斜率,進而求直線方程并證明結論等.

2 兩垂直弦的中點所在的直線

3 切點弦問題

(1)求橢圓C的方程;

(2)若直線l的方程是x+y-6=0,點M是直線l上一點,過點M作橢圓C的切線MG,MH,切點分別為G,H,設切線的斜率都存在,試問:直線GH是否過定點?若過定點,求出該點的坐標;若不過,請說明理由[2].

(2)證明設G(x1,y1),H(x2,y2),M(x3,y3),直線MG的方程為y-y1=k(x-x1).

得(9k2+1)x2+18k(y1-kx1)x+9(y1-kx1)2-9=0,

則△=[18k(y1-kx1)]2-4(9k2+1)[9(y1-kx1)2-9]=0,

化簡得(y1-kx1)2=9k2+1,

同理可得,直線MH方程為x2x+9y2y=9.

所以直線GH方程為x3x+9y3y=9.

又x3+y3-6=0,所以直線GH方程為6x-9+(9y-x)y3=0,

利用切點弦的結論,快速解決下面的例3.

證明由題意得Ax0+By0+C=0,

①

②

將①代入②消去x0得 (Aa2y-Bb2x)y0=a2b2+Cb2x,

4 斜率之積為定值

(1)求雙曲線C的方程;

(2)設P為雙曲線的左頂點,直線l過坐標原點且斜率不為0,l與雙曲線C交于A,B兩點,直線m過x軸上一點Q(異于點P),且與直線l的傾斜角互補,m與直線PA,PB分別交于M,N(M,N不在坐標軸上)兩點,若直線OM,ON的斜率之積為定值,求點Q的坐標．

解(1)略.

(方法2)設線[4].設A(x0,y0),M(x1,y1),N(x2,y2),Q(t,0),由(1)知P(-1,0),

得(k2-1)x2+2k2x+k2+1=0,

因為直線OM,ON的斜率之積為定值,設定值為c,

5 定點的存在性問題

圖1 例5題圖

(1)求證:k1k2=1;

(2)若O為坐標原點,作OP⊥MN,垂足為P.是否存在定點Q,使|PQ|為定值?

化簡得(4-r2)k2-8k+4-r2=0,

所以k1和k2是方程(4-r2)k2-8k+4-r2=0的兩根,由韋達定理知,k1k2=1.

(2)設點M(x1,y1),N(x2,y2),

所以直線MN的方程為

如圖1,由橢圓的對稱性[5]可知,直線MN必過軸上一定點E(x0,0)

化簡得(40+12x0)k2+3x0+10=0

點評對于圓錐曲線中的定點、定值問題的求解策略:

(1)對于定點、定值問題,可考慮能否用特殊點或特殊值求得定點或定值,再把結論推廣到一般結論;

(2)運用函數與方程的思想方法進行解答,一般步驟:①選擇適當的變量;②把要證明的定點、定值的量表示為上述變量的函數或方程;③把定點、定值的量化成與變量無關的結構形式,從而加以判定或證明.

6 結束語

圓錐曲線中的定點問題是高考的難題,令很多考生望而生畏.破解圓錐曲線中定點問題的策略主要是通法(即設點、設線、聯立、韋達等),只不過還需要熟悉一些常用的結論,比如切點弦方程、兩點直徑圓、同構思想、齊次化思想等.在解題時,熟悉通法與常用的數學思想最為關鍵,然后進行分類、總結,再加強訓練,假以時日,定能提高學習效率與解題能力.