導數在高中數學解題中的應用
——以導數求解函數為例

林 翠

(山東省東營市第一中學,山東 東營 257000)

導數作為高中數學教學的重要知識點之一,一方面承載了大量的數學思想,另一方面也是簡化解題流程、促進高效解題的重要工具.新高考背景下,高考數學對于導數解題的重視度愈發提高,也成為學生高中數學學習生涯中必須掌握的關鍵技能.結合相關考題來看,對導數在高中數學解題中的應用進行探討極有必要.因此,高中數學教師需要充分理解導數概念,有意識地引導學生利用導數對復雜函數問題進行求解,加強學生解題效率、拓寬學生解題思路.在這種情況下,學生不僅能進一步提高其解題效率,還在充分練習的基礎上為后續的學習奠定了堅實基礎.

1 以導數求解函數解析式

新高考背景下導數求解函數解析式的出題側重趨勢更加明顯,也成為當前高考的重要考點內容.從高中數學教學角度來說,導數求解函數也能實現對函數極小值、極大值以及對稱性等知識點的充分滲透,進而幫助學生加強函數思維求取出函數解析式.

例1某三次函數y=f(x)圖象與原點對稱,當x=0.5時,f(x)取得極小值,且極小值為-1,求函數f(x)的解析式[1].

解題分析由三次函數的解析式可設:

f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)

因為題目中提出圖象與原點對稱,即f(-x)=-f(x),由此可得:

ax3+bx2+cx+d=ax3-bx2+cx-d,

可得b=0,d=0.

由此可推:

f(x)=ax3+cx,

進一步求導可得:

f′(x)=ax2+c,

結合題意得出:

聯合解答可得a=4,c=-3.

由此得出求解的函數解析式為:

f(x)=4x3-3x.

該題目融合了函數幾何意義,在進行解題時,可依據這一內容進行導數幾何意義與其他導數間的關系這一思路進行求解.因此,學生在解題時,只需要對題目進行仔細觀察,并明確題目條件即可.

2 以導數求解函數單調性

導數的函數單調性求解在高中數學教學中有四個步驟:第一步,明確函數f(x)的定義域;第二步,對其進行求導;第三步,從函數定義域出發求f′(x)與f′(x)<0(f′(x)>0)的解集;第四步,明確函數單調區間得到函數單調性[2].

解題分析該題目的求解思路主要是在明確其定義域前提下討論導數與單調區間.結合題目可得以下內容:

函數f(x)的定義域為(-∞,0)∪(0,+∞),

依據f′(x)>0,求得:x<-1或x>1;

當f′(x)<0時,求得:-1

由此可得,函數f(x)單遞減區間為:(-1,0)和(0,1);f(x)的單調遞增區間為(-∞,-1)和(1,+∞).

導數對函數單調性的求解較為簡易,解題流程大致遵循函數對應導數求解,并依據題目條件求出x值即可.高中數學解題教學過程中,學生能夠獲取到更加全面、直觀的解題思路,進而舉一反三實現題目的多類型解答[3].

3 以導數求解函數極值

在該類問題進行解答的過程中,借助導數性質確定函數兩邊符號的一致性就可以得到函數某區間的最大值與最小值.如果函數式中存在字母系數,不應局限于流程而需要另外進行分類討論.在上述流程進行下明確函數不同區間的單調性.

例3求函數f(x)=lnx-a2x2+ax(a∈R)的極值.

解題分析函數f(x)定義域為(0,+∞);

(1)當a=0時,則f(x)=lnx.由此得知f(x)位于(0,+∞)上顯示單調遞減,無極值.

(2)當a>0時,則有f′(x)=0.由此可得:

在解題過程中需要注意的是,極值點并非指“點”,而是f′(x)=0解得的根.如果函數位于x0兩側單調性相反那么x0就是極值點且f′(x)=0,但f′(x0)=0,則x0不一定是極值點.在基礎上,需要確保函數f(x)位于x0的兩側單調性相反[4].

4 以導數求解函數值域

通常情況下函數f(x)位于閉區間[a,b]是可導的,此時f(x)位于閉區間[a,b]中最值的求解步驟可劃分為:第一步,求取函數f(x)位于閉區間[a,b]的極值;第二步,計算函數f(x)位于端點與極值點所對應的函數值;第三步,對f(x)位于端點與極值點時的函數值大小進行對比,進而求得值域內最大值與最小值.

5 導數及其應用于函數求解的作用

通過對上述題目的分析,本文就導數及其應用于函數求解的作用方面得出以下結論:首先,導數在高中數學解題中的應用能夠幫助學生養成函數思想.相較于初中數學學習來說,高中數學學習具有更強的連貫性與持續性,而函數思想就是學生在高中數學學習階段所必須具備的基礎性數學思想,也是新高考的重點考查內容.隨著高中數學教學的不斷推進,學生學習數學的難度進一步加大,為了解決高難度數學題學生只能進行大量計算.如果計算過程中出現偏差或計算失誤,則很容易使學生陷入反復計算的困境中[6].在試題練習過程中,數學教師可引導學生利用數學模型創設函數關系,實現解題流程的簡單化、簡潔化.從這一角度來看,學生能夠將導數看為對函數問題的已匯總輔助工具,借助導數創設數學模型.幫助學生更好地解決復雜函數問題.其次,能夠進一步促進學生對函數特性的理解程度.高中數學函數教學中不同函數之間對應著不同的函數性質.在對這些函數性質進行考查的過程中,學生往往因為無法把握其中要點而自亂陣腳.在解題過程中,教師應引導學生對函數具備的特性進行理解與掌握,進而形成數形結合的數學思維.比如,學生在解答相對簡單的函數問題時,函數圖象的繪畫則較為簡單,解題思路也將更清晰.但是在處理相對復雜的函數題時,這種方法則較不適用.因此,教師可將運用導數作為切入點,進一步發揮導數作用.一方面,可加強學生對函數具備性質的判斷準確性;另一方面,也能拓寬學生對函數問題的解決思路[7].高中數學的復雜函數經求導后能夠轉化為相對簡單函數,學生能夠較為輕易地繪畫出相關的函數圖象,加強學生解決函數問題的準確性與效率.

6 結束語

導數在高中數學解題中的應用占據了高中數學解題教學的較大比重.如果高中學生能夠充分掌握相關導數知識,學會舉一反三與知識遷移,不僅能顯著提升其解題能力,也能為學生后續的數學學習奠定基礎.基于此,函數解題教學過程中教師可利用導數求解函數問題,拓寬學生解題思路.學生在解答函數問題時能夠簡化解題流程,減少無用的重復解題步驟,提高解題效率.