基于波利亞幾何圖示法的解題探析
——以一道圓錐曲線問題為例

陸文昊 朱 海 由 騫

(1.喀什大學數學與統計學院,新疆 844000;2.南通大學數學與統計學院,江蘇 南通 226019)

高中數學問題形式多樣、涉及知識點繁雜,解題過程與方法選擇的工作量十分龐大.不少學生缺乏思維的連貫性,解題時無法解構出最精確細小的問題步驟,疏于洞察問題呈現背后的原理,最終無法達成設問的目標.本文基于波利亞在其著作《數學的發現》中提出的幾何圖示法,在一道典型的圓錐曲線問題解決上加以實踐,引導數學思維的發生和創新,在過程中提升學生解題時的行為習慣和自省能力,以期在數學學習中思維模式和解題策略的進一步優化.

1 例題呈現

(1)求雙曲線Γ的方程;

(2)過雙曲線Γ的左焦點F分別作斜率為k1,k2的兩直線l1與l2,直線l1交雙曲線Γ于A,B兩點,直線l2交雙曲線Γ于C,D兩點,設M,N分別為AB與CD的中點,若k1·k2=-1,試求△OMN與△FMN的面積之比.

2 解法探析

引例是一道圓錐曲線背景的解答題,題干所給出的條件用以引導第(1)問雙曲線Γ的求解,為后續計算探究做準備,解答較為容易:

加以幾何圖示法對問題展開分析,梳理解題思路,繼而我們探討第(2)問△OMN與△FMN的面積之比(目標G).目前已有的條件:雙曲線Γ的方程、左焦點F(-2,0)以及過點F的兩條互相垂直的直線l1與l2,其斜率之積k1·k2=-1(如圖1)[1].

圖1 待解決的問題

圖2 合適的相關問題

回到雙曲線Γ,M,N兩點是由l1,l2分別交Γ生成的,l1與Γ交于A,B兩點,M為AB中點;l2與Γ交于C,D兩點,N為CD中點.

如此一來,我們獲得了進一步的成果:M,N兩點的坐標(如圖4).我們成功地在“鴻溝”上架起了橋梁,現在需要聚焦在S△OMN和S△FMN的列式上.回顧高中學習階段可掌握的幾種三角形面積求法:

圖4 用同樣的方法得到另一組量

圖5 三角形面積的坐標求法

圖6 完成目標與計劃

3 解題反思

3.1 解構目標,有效轉化

借助波利亞幾何圖示法,我們完成了對問題的求解——自上而下地解構目標,自下而上地運算演繹,呈現出完整嚴密的解題思路(如圖7).從數學的模式觀來看,這個過程強調教師引導學生及時分解問題模型,將各個組成部分的次級目標關聯到已知條件或間接可利用的性質、定理上,隨時隨地進行有效轉化[2],這樣才能更加有條理地分析和解決問題.

圖7 解題思路

3.2 化繁為簡,整體代換

解題時需要從數學的連續性、對稱性、美觀性等結構性質方面獲得啟示,且常常遇到“設而不求”的情形,運用整體代換實現“消元”和“降次”的效果,簡化工作量.

3.3 拓展方法,總結規律

數學教師只有鼓勵學生積極探究思考,嘗試多種方法并提供適當的支持和反饋,才能促進他們對數學知識的深度理解和推廣應用.在幾何圖示法的引領下,學生解題時的元認知得到完善,進一步提升了其分析問題的眼光:解題方法是否選擇恰當、對結果形式是否有清晰的預判、遇到阻礙能否及時調整策略等.