巧用導數 高效解題
——以“二次求導”在函數問題中的應用為例

陳雯娜

(福建省寧德市高級中學,福建 寧德 352100)

從高考形勢來看,二次求導被頻繁應用在綜合題型的解決中,對學生考試成績的影響非常大.所以,教師要重視二次求導知識點的教學.

1 二階導數

二次求導是指通過觀察一階導數的變化率,確定圖像的凹凸性.在部分指數式、對數式的函數問題中,求導之后無法判斷原函數單調性時才會進行二次求導,找到導數正負,確定函數單調性.如果函數f(x)在區間[a,b]上連續,且二次可導,若在該區間上函數二階導數大于零,則函數f(x)在區間[a,b]上的圖形是凹的;若在該區間上函數二階導數小于零,則函數f(x)在區間[a,b]上的圖形是凸的[1].

另外,部分函數問題需要先構造函數后才能二次求導.整體來說,二次求導雖能降低解題難度、提高解題效率,但是對學生思維的靈活性要求比較高.因此,教師要多鍛煉、啟發學生思維,保證學生能熟練掌握二次求導的方法,擁有更加靈活的思維.

2 二次求導在函數問題中的應用

2.1 在函數單調性問題中的應用

如果要判斷原函數的單調性,則要先觀察二次導數在定義域內的取值.當其值恒大于零或恒小于零時,則可推出一階導函數在定義域內的單調性,同時,考慮一階導數的最大值或最小值,兩者結合判斷原函數的單調性.若一階導函數是單調遞增的,且最小值大于零,則證明原函數單調遞增;若一階導函數是單調遞減的,且最大值小于零,則證明原函數單調遞減.這一結論在其他函數綜合題型中也有著極其重要的應用,如極值、含參問題.所以教師應當要求學生打好基礎,熟練掌握通過二次求導判斷函數單調性的方法,以便后續解決問題時能隨時調用[2].

2.1.1直接討論函數單調性

相對來說,討論不含參數的函數單調性問題時,直接進行求導、化簡、在定義域內討論導數符號進而判斷單調性即可,其解題難度一般.

從這道題目的解析中能夠看出,應用二階導數判斷函數單調區間的關鍵是要合理化簡函數表達式,合理分類討論自變量的范圍.

2.1.2帶有參數函數單調性的討論

通常,在含有參數的函數單調性問題中,應用二階導數的解題思路與直接討論函數單調性的解題思路相反,需要根據題干結論反推,分類討論參數的取值范圍.結合歷年高考試題來看,真題中多是出現與對數、指數有關的函數,總體上來說,含參數函數單調性的主要解題思路為對帶有對數、指數的函數進行化簡,盡可能地使其表達式簡潔、規整,之后再根據函數定義域,進行分類討論.

從這道題目的解析中能夠看出,利用二次求導的方法判斷函數單調性更高效,尤其在含有對數或指數的導函數中,二次求導更有利于判斷導數符號,進而判斷原函數的增減情況.

2.2 在函數極值問題中的應用

一般地,函數極值問題可以按照確定函數定義域、求導、計算駐點、分析單調性、確定極值的步驟進行求解.如果需要利用二階導數解題,當一階導數為零,而二階導數大于零時,所求的點為極小值點;當一階導數為零,二階導數小于零時,則所求的點為極大值點;當一階、二階導數均為零時,則所求得的點為駐點.概括地說,函數f(x)在點x處具有二階導數,且f′(x)=0,f″(x)≠0,那么當f″(x)>0時,函數在點x處取得極小值;當f″(x)<0時,函數在點x處取得極大值.

分析針對這道題目來說,若想求解函數極值點的個數,需要先判斷函數的單調性.具體來說,其解題步驟為:f(x)的定義域為R,f′(x)=x-ex+2,此時一階導數的駐點及符號不好判斷,因此構造函數g(x)=x-ex+2,求導可得g′(x)=1-ex.當x<0時,g′(x)>0,當x>0時,g′(x)<0,所以g(x)在(-∞,0)上單調遞增,在(0,+∞)上單調遞減,即f′(x)在(-∞,0)上單調遞增,在(0,+∞)上單調遞減,所以f′(x)max=f′(0)=1>0.又f′(-2)=-e-2<0,f′(2)=4-e2<0,則f′(-2)·f′(0)<0,f′(0)·f′(2)<0,由零點存在定理可知存在唯一的x1∈(-2,0),x2∈(0,2),使f′(x1)=f′(x2)=0,且當x∈(-∞,x1)和x∈(x2,+∞)時,f′(x)<0,函數單調遞減;當x∈(x1,x2)時,f′(x)>0,函數單調遞增,故f(x)在x1處取得極小值,在x2處取得極大值,即函數f(x)的極值點的個數為2.

從這道題目的解析中能夠看出,通過二次求導可以更好地判斷原函數的單調性,進而得到函數的極值點情況,大大簡化了解題的過程.

2.3 在函數的參數范圍中的應用

應用二次求導求解函數參數范圍的關鍵是要根據函數滿足的條件倒推,得到函數的單調性,并依據性質倒推參數范圍.如果有必要,還應構造函數,進行推導、計算.

例4已知關于x的不等式2lnx+2(1-m)x+2≤mx2在(0,+∞)上恒成立,則整數m的最小值為( ).

從這道題目的解析中能夠看出,通過二次求導判斷參數的取值范圍仍然需要分析導數與零之間的關系,不同的是要根據函數的最大值倒推參數.

3 結束語

二次求導在函數問題的解決中有著極其重要的應用,教師應當加大專題教學的力度,力求學生能深入理解、掌握二次求導的方法,而且能夠熟練應用二次求導解決各種函數難題.