問渠哪得清如許 為有源頭例題來
——例談教材的例題教學

湯池武

(江蘇省南京市寧海中學,江蘇 南京 210000)

面對新課標、新教材和新高考,老師們都在認真研究教材,創新教法,努力轉變教學觀念,著力培養學生學科素養.面對新課改,老師們在實際的教學過程中,積極努力去創設問題情境,進行體驗式教學,突出學生的主體地位,讓學生在情境中感受數學知識的發生過程,取得了非常好的效果.

但是對于知識的生長過程,就知識的本身應用而言,反倒是所花時間不多,尤其是對于課本例題的使用,往往有時一筆帶過,甚至有的老師嫌課本的例題太過簡單、沒有思維含量等,從而自己另起爐灶,舍本逐末,本末倒置,讓知識的生長鞏固失去剛剛開辟的土壤,從而失去了更好的螺旋式發展機會,失去了學科能力和核心素養培養的最佳時機.

無論是高考還是平時的模擬,所有的題目都來源于課本,而課本中的例題和習題是所有題目的母題,更為重要的是,它是知識落地生根的基礎,是學生鞏固新知識的利器,更是融合了編者的許多智慧.

針對蘇教版(2019)新教材,筆者認真研讀了每一個例題和習題,對于教材中的例題的作用,有以下一些想法.

1 例題是思維之基——關聯前后的思維性

數學的例題教學,有時候不僅是對本節內容知識的應用,還有許多是對于前面知識的呼應和后面內容的啟發,有時甚至是對于后面方法的引導.這類例題突顯了強大的思維功能,為后面章節的學習甚至是整個本章知識方法應用提供很大的幫助,這類例題本身就是非常寶貴的資源庫,我們要注重這些問題的思維含量,這需要我們老師帶領學生一起去思索、去挖掘,去開發,去感悟,從而真正達到思維與方法的統一.

例1 利用兩角和(差)的余弦公式證明下列誘導公式:

證明(1)由公式C(α-β)得

本題第(1)小問是對兩角差的余弦公式的直接應用,突出了學習兩角差的余弦公式的必要性和作用;對于第(2)小問,編者設置的這個小問,第一個意圖是參照第(1)小題打開左邊的公式證明即可,為后面的學習埋下了伏筆,第二個意圖是利用兩角余弦的和差公式,第三個意圖是利用這個思路和想法為證明兩角和與差的正弦公式提供了方法.

本例題不論是思想上、方法上還是技巧上都突出了本章的主要思想、主要方法和主要技巧,更為后面證明兩角和與差的正弦公式提供了方法,可以看成是本章思想的一個母題.看似簡單的一個例題,其實蘊含無窮的寶藏,在備課的時候就需要我們老師去挖掘,如果針對這個問題,老師們引導得當,那么對于后面的學習以及后面相關題目、難點的突破必定有事半功倍的效果.

2 例題是行動之策——培養學生的能動性

許多起始章節,在形成數學知識過程中,有許多操作類的例題,尤其是幾何類的知識,其意圖是讓學生通過自己動手去作圖,去理解,去感受知識的生成過程,去體會數學的創造之美,從而初步形成相關的數學知識和學科素養.但有時面對這些例題,老師往往是一帶而過或者直接跳過,學生一開始就失去了自己動手感悟和讓知識生長的機會,為后面的學習埋下隱患.

例2畫一個四棱柱和一個三棱臺.(蘇教版必修二153頁)

本例題是立體幾何初步第一節的第一個例題,也是學生初步學習立體幾何的第一個例題,其重要程度不言而喻.許多老師在此時的教學時不舍得給學生時間進行操作,覺得對于圖形尤其是立體圖形的畫法,要求不高,沒有真正體會編者的良苦用心.本例題作為立體幾何第一個例題,其目的是讓學生通過自己的操作去畫棱柱和棱臺這兩個圖形(在畫棱臺的時候先要畫出棱錐),體會面動成體的過程,進而初步形成立體中的直觀想象能力,在整個過程中,學生們也可以體會立體圖形的呈現方式和平面圖形有許多的區別,對于立體中線的關系、平面的位置關系等,立體中的相關元素之間的關系都有了一個初步的感受,為后面知識的學習提供了保障,這些能力為以后的學習和解題提供了幫助.

3 例題是經典之題——培養學生的開放性

許多課本中的例題,都是非常經典的例題,反映了這類知識的應用或者是這類問題的一個經典模型.在概率的學習過程中,我們知道概率起源于現實生活中的博弈游戲(賭博),而在現實生活中,擲骰子是同學們最熟悉不過的一種游戲(相較于猜正反樣本空間更多,更具有代表性),因此在概率的教學中,擲骰子是最重要的一個數學模型,也是同學們必須掌握的概率的一種數學模型,因此在概率的第一例題中就介紹了這個模型:

例3 “拋擲一顆骰子,結果向上的點數為偶數”記為時間A,分別寫出樣本空間Ω及事件A所包含的樣本點.(蘇教版必修二259頁)

對于這個例題,本節后面的例2和例3,以及后面學習互斥事件和獨立事件時的引例,都是從這個例題模型出發得到的,都是要在這個模型的樣本空間中去討論的,因此這里的這個例題,是貫穿本章整個內容的一個典型例題,更是概率的一個重要的數學模型.老師在講解的時候不能因為簡單而一筆帶過,應該重視起來.重視這個基本的模型的結構,可以適當發散,讓學生進行分析,也可以聯系后面的教學內容,讓學生在這個例題中可以盡可能多地對模型的本質進行認識,那么對于后面內容的教學和學生的思維發散有非常重要的作用.

4 例題是規范之本——突出解題的示范性

對于一個數學知識,當我們創設情境帶領學生感受了知識的生成過程后,就要應用知識去解決問題.這時,例題是最好的生長土壤,它不僅完美展示了知識的初步應用,而且強調了怎樣用嚴謹簡潔的數學語言來表達,這也是數學所培養的能力之一.而課本中的例題,大多數都是在知識點的應用中展示該類問題嚴謹和規范的數學語言示范.

本例題是兩角和與差的余弦本節的例3,也是本章最重要、最典型的一類問題,是本章已知三角函數值求另外三角函數值的母題.作為例題展示了兩角和與差公式求值的應用,突出公式的應用技巧,更多的目的是給這類問題提供了更加簡潔的書寫規范.

如由 sinα求cosα時,既簡潔明了,又體現數學的邏輯推理,在最后求解的時候寫出公式并代入計算,使整個過程更加重點突出、層次分明、詳略得當,給學生做了非常好的示范作用.

5 例題是應用之道——呈現數學的應用性

新課標和新教材更加突顯數學的情境背景,更加強調數學的實際應用.對于應用章節中的許多例題,一些計算數據看似不太完美或者難以計算,但卻是現實背景、真實數據并來源于生活實際,有些老師往往以數據不好或者調整數據等原因忽略或者輕視這些問題,浪費了這么寶貴的實際應用問題,從而喪失了培養學生相關學科素養的最好的催化劑.

例5A,B兩地之間隔著一個水塘(如圖1),現選擇另一點C,測得CA=182 m,CB=126 m,∠ACB=63°,求A,B兩地之間的距離(精確到1 m).(蘇教版必修二92頁)對于該問題,許多老師會因為本題過于簡單或者數據不好而略過這個例題換其他例題,也有些老師會修改一下角度值讓學生去計算,這兩種處理該例題的方式都沒有體會教材編寫者的真實意圖.雖然這個數據不是很好(從計算角度),但該例題在這里有非常重要的作用.首先是回歸到現實情境,回應本章開頭的如何測量河流兩個碼頭之間的距離問題,充分說明了余弦定理的現實應用性,而對于不太好的角度這個數據,其實也是真實情境的數學表現,利用這些數據去計算就需要我們通過查表、計算器等相關工具求解,更加符合現實意義,從而可以培養學生數據分析、數學運算的學科素養.

圖1 例5題圖

6 例題是發展之本——展示主干知識的基礎性

新教材中,對于許多平時應用比較廣泛的定理和常見結論,往往不是以定理的形式出現,而是以例題或習題中出現.通過例題的形式來介紹這些相關的定理和結論,這樣的例題可以大大減輕學生的負擔,更好地突出基本定理的主體地位,更好地說明了知識的基礎性和例題的重要性,讓學生通過解決例題去得到一些常見結論,讓他們在例題中感受到數學知識、數學結論之間的相互延展,從而更深層次體會主干知識的基礎性.

例6 已知AC,AB分別是平面α的垂線和斜線,C,B分別是垂足和斜足,a?α,a⊥BC.

求證:a⊥AB.(蘇教版必修二183頁)

這個例題在其他教材上是作為定理出現的,而在這里作為例題出現.本例題主要目的是讓學生通過例題總結歸納證明線線垂直的方法——找線面垂直——利用線線垂直;這種證明的思路是立體幾何中證明線面垂直、線線垂直最基本的方法;本題也是在介紹線面角知識后的例題,蘊含了利用幾何法如何去做出線面角的方法,充分培養了學生的直觀想象和邏輯推理素養.作為例題讓學生去證明該結論,更加強調立體幾何中公理、定義等的基礎性,從而更好地提升學生的邏輯推理能力.

7 結束語

面對新教材,我們不僅僅要重點關注知識的發生過程,更要重視知識的生長點,認真揣摩例題等背后所蘊含的知識、能力、方法和素養資源.在來源于課本的同時高于課本,在講授例題的同時挖掘內涵,相信這些例題一定會成為教學的源源活水,讓學生醍醐灌頂!