基于一題多解的教育視角研究

王正梅

【摘? 要】通過多角度多途徑對2014年廣東卷20題的研究分析，提出了多種解法，拓展出圓錐曲線切線的幾個結論。

【關鍵詞】切線;消參;圓錐曲線;幾何法

2014年的高考早已落下帷幕，全國各地的高考試卷精彩紛呈，今年有幸看了廣東的數學卷，一道解析幾何題目激發了筆者濃厚的興趣。在筆者學校組織的月考數學試卷中，我們命制了這樣一道題目：過圓C：（x-2）2+y2=2外一點P作圓的兩條互相垂直的切線，則動點P的軌跡方程。該題目考查圓的切線和圓的定義，比較簡單。此題與廣東卷20題有類似之處，即把圓換成橢圓，該如何解答？

題目1（2014廣東，20）已知橢圓C：+=1（a>b>0）的一個焦點為（，0），離心率為，

（1）求橢圓C的標準方程;

（2）若動點P（x0，y0）為橢圓C外一點，且點P到橢圓C的兩條切線相互垂直，求點P的軌跡方程。

第（1）問易求得橢圓C的標準方程為+=1.本文只探究第（2）問的解答。

一、題目1的條件和待求分析

先分析題目的條件和待求。題目中給了三個條件：①定橢圓C：+=1;②橢圓C外的點P到橢圓C有兩條切線;③點P到橢圓C的兩條切線垂直。待求是：動點P的軌跡方程。條件①是整個試題的背景，也是生成P的一個依托;條件②和條件③是由依托確定點P的。切線和垂直必然是解題的關鍵。

本題的難點是如何判斷直線和橢圓相切以及如何運用兩條切線垂直？想到切線自然想到切線與橢圓只有一個公共點，其方程組只有唯一一組解，對應判別式△=0;想到垂直自然想到斜率之積為-1（斜率存在時）或者是向量數量積為0。那么，解題的方向就明確了：①設切線方程（引入參數k——切線斜率），聯立，判別式△=0，考慮斜率之積為-1，消去參數k（實際上是k1，k2）。②看到橢圓的兩個切點，想到了切點弦方程與點P的坐標關系，切點弦方程怎么用？有什么結果？切點弦方程中x0，y0是待求的目標，x1，x2和y1，y2是參數，如何消去？③用橢圓的參數方程，引入兩個參數θ1，θ2，如何消去參數？這些問題都需要通過垂直溝通和消參來完成。

二、題目1的多角度求解

思路1：設切線方程（含參數k），用判別式△=0

解析1：（1）易求橢圓C的標準方程為+=1。

（2）當過點P作橢圓的一條切線的斜率不存在時，另一條切線必垂直于y軸，易求得P的坐標為（±3，±2）。

當過點P作橢圓的切線的斜率存在時，設切線方程為y-y0=k（x-x0），即y=kx-kx0+y0，與橢圓方程聯立得y=kx-kx0+y0

+=1消去y得（9k2+4）x2-18k（kx0-y0）x+9（kx0-y0）2-36=0，

△=[18k（kx0-y0）]2-4×（9k2+4）[9（kx0-y0）2-36]=0，

化簡得（kx0-y0）2-（9k2+4）=0，即（x02-9）k2-2kx0 x0+y02-4=0，

設過P作橢圓的兩條切線的斜率為k1，k2，則k1，k2是上方程的兩個根，于是k1k2=，

又兩條切線垂直，故k1k2=-1，即=-1，整理得x02+y02=13。

顯然（±3，±2）也適合方程x02+y02=13，

故P點的軌跡方程是x02+y02=13。

思路2：設切點坐標，運用橢圓的切線方程（交軌法）

解析2：（1）易求橢圓C的標準方程為+=1。

（2）設A（x1，y1），B（x2，y2）是切點，則PA：+=1，PB：+=1

∵PA⊥PB，∴+=0，即16x1x2+81y1y2 =0。

由+=1，+=1 得x=，y=∴x2+y2=，

由+=0得y12y22=，代入上式整理得x2+y2=13。

注意：x2+y2的運算過程中，運用了x12=9-y12，x22=9-y22，減少變量的個數，運用了16x1x2+81y1y2=0，式子才能簡潔，才能為下面的消參做好準備。

思路3：運用橢圓的參數方程和橢圓的切點弦方程（交軌法）

解析3：（1）易求橢圓C的標準方程為+=1。

（2）設切點A（3cosθ1，2sinθ1），B（3cosθ2，2sinθ2），

則PA：+=1，PB：+=1

∵PA⊥PB，∴+=0， 4cosθ1cosθ2+9sinθ1sinθ2=0，

即5cos（θ1+θ2）-13cos（θ1-θ2）=0由+=1+=1得x=，x=∴x2+x2==13，∴P的軌跡方程x2+x2=13。

注意：運用橢圓的參數方程，簡化了消參的過程，是解析2的簡化版。

思路4：用向量和橢圓的切點弦方程（直譯法）

解析4：（1）易求橢圓C的標準方程為+=1。

（2）設A（x1，y1），B（x2，y2）是切點，則由PA⊥PB可得⊥，∴（x0-x1）（x0-x2）+（y0-y1）（y0-y2）=0，

即x02-x0（x1+x2）+x1x2+y02-y0（y1+y2）+y1y2=0。（*）

由P（x0，y0）可得過點P的橢圓的切點弦方程為+=1，與橢圓方程聯立，消去y得到（+）-x0x+1-=0，由韋達定理得x1+x2=，x1x2=，于是y1+y2=，y1y2=，x1x2+y1y2=，代入（*）式得x02+y02=+-+13

即（x02+y02-13）（1-）=0，

∵P在橢圓外，∴+≠1，故x02+y02-13=0，即P點的軌跡方程是x02+y02=13。

對比以上四種解法，顯然解析1的運算量最小（但要分類討論）。解析1是用待求P點坐標表示切線斜率k，再由垂直得出點P的軌跡方程，這種解法應是代入法求軌跡方程的變形應用;解析2、解析3用的都是交軌法——P是兩條切線的交點，難點是如何消參，很好地體現了減元思想和整體思想;解析4用的直譯法，中間也用到了消參法。后三種方法都避開了討論，但它們的技巧性較強，對思維的要求較高，對計算能力的要求較高。

橢圓的特點是兩個焦點和長軸長2a，能從幾何的角度解決題目1嗎？

思路5：橢圓的幾何特征（幾何法）

解析5：設左焦點F1關于PA、PB的對稱點分別為F1′，F2′，對應的垂足分別為G、H，所以AF1′=AF1，BF2′=BF2，由橢圓的定義得到F1′F2=F2′F2=2a，因此OG=OH=a，因為四邊形PGF1H為矩形，所以OF12+OP2=OG2+OH2=2a2故OP2=a2+b2=13，即P點的軌跡方程是x02+y02=13，如圖1。

注：解析5中運用了一個結論：平面內，任意一點與矩形兩條對角線端點連線長度的平方之和相等。

三、題目1的拓展

從上面的解法中，我們可以得到以下結論：

結論1：過P作橢圓+=1（a>0，b>0）的兩條相互垂直的切線PA、PB，則P的軌跡方程x2+y2=a2+b2。

這個圓是蒙日圓，因為發現它的人是法國數學家蒙日（G.Monge，1745-1818）。

其逆命題也成立，即：

結論2：設P為圓x2+y2=a2+b2上任意一點，過P作橢圓+=1（a>0，b>0）的兩條切線PA、PB，則PA⊥PB。

證明仿題目1的解析1即可。

遷移到雙曲線上，-=1（a>0，b>0）可以得到：

結論3：過點P作雙曲線的兩條相互垂直的切線，則點P的軌跡方程是x2+y2=a2-b2。

遷移到拋物線上，我們得到：

結論4：過點P作拋物線y2=2px（p>0）的兩條相互垂直的切線PA、PB，A、B為切點，則P的軌跡方程為x=-。

對題目1的角度（垂直）推廣，我們還得到：

結論5：設橢圓+=1（a>b>0）的兩條切線交成定角θ（0<θ<π），則交點P的軌跡方程為（x2+y2-a2-b2）2-4a2b2（+-1）cot2θ=0。

四、結束語

直線和圓錐曲線的位置關系歷年來是各地高考命題的熱點和考查的重點內容。一道數學高考題，由于其內在的規律，或由于思考的角度的不同，可能會有許多不同的解法。對于學生，研究用多種方法解答同一道數學題，不僅能牢固地掌握和運用所學的知識，而且通過一題多解，可以激發學生去發現和創新的強烈欲望，加深學生對所學知識的深刻理解，訓練學生對數學思想和數學方法的靈活應用，鍛煉學生思維的廣闊性和深刻性，靈活性和獨創性，從而培養學生的思維品質，這對學生的數學學習和數學能力產生深遠的影響。作為教師，在平時的教學中，通過一題多解，分析比較，尋求最佳解題途徑和方法，不僅能提高自身解題技巧和教學能力，而且能開闊思路，提升自身教學素養。

【參考文獻】

[1]蔣聲，陳瑞琛.趣味解析幾何[M].上海：上海教育出版社，2007.5.

[2]普通高中課程標準實驗教科書數學（選修2-1）[M].南京：江蘇鳳凰教育出版社，2012.6.