新教材“函數的零點與方程的解”的教學策略

王小燕

［摘 要］教材是教師教學的依據，也是學生學習的主要載體，更是優質的教學資源。函數是高中數學的核心概念，對學生后續學習高等數學起到奠基作用。文章分析新人教A版高中數學教材中“函數的零點與方程的解”出現的變化，并提出相應的教學策略。

［關鍵詞］新教材；函數零點；教學策略

［中圖分類號］ ? ?G633.6 ? ? ? ?［文獻標識碼］ ? ?A ? ? ? ?［文章編號］ ? ?1674-6058（2024）02-0008-04

新課標實施后高中數學教材也進行了修訂，新教材做出了很多改變，本文所述的“函數的零點與方程的解”就進行了重新編排，更利于學生學科素養的發展。數學教師應通過對比新舊教材，掌握新教材的變化特點，在教學中滲透“用函數零點求解方程”的思想，提升學生的邏輯思維能力；合理運用新教材提高教學效率，培養學生的數學學科核心素養。

一、新教材“函數的零點與方程的解”的內容變化

（一）課題的呈現位置和名稱有所變化

1.課題呈現位置的變化

新教材中設置了“函數的零點與方程的解”這一內容，這與舊教材無異，但縱觀表1可以發現，舊教材中此內容位于必修1第三章“函數的應用”的第一節“函數與方程”中，而新教材中此內容位于必修第一冊第四章“指數函數與對數函數”的第五節“函數的應用（二）”中。

2.課題名稱表述的變化

從表1可以看出，新教材中的“函數的零點與方程的解”替代了舊教材中的“方程的根與函數的零點”，并且調整了其他知識點的順序，新教材更強調運用函數的零點求解問題，同時也表達此章知識點屬于“函數的應用”范疇。舊教材的課題“方程的根”在新教材中改為“方程的解”，這是因為一元方程的根和解表達方式是不同的。

（二）知識的編排方式有所變化

1.課題導入突出學習內容產生的必要性

在“零點”知識的教學中，可將情境作為課堂導入的方式，以此讓學生對函數與圖象的關系有更清楚的了解，為后續的解題奠定基礎。新教材采用問題導入的方式，先對部分舊知識進行回顧，再提出“像[lnx+2x-6=0]這樣不能用公式求解的方程，是否也能采用類似的方法，用相應的函數研究它的解的情況呢”的問題，為學生提供類比推理的思路。

2.注重類比特殊函數的零點并調整等價順序

舊教材“二次函數與一元二次方程、不等式”一節編排在必修5中，而新教材將此節移到必修第一冊教材的第二章中。既銜接了不等式內容，又定義了二次函數學習中所涉及的“零點”問題，在對比中得出一般函數的零點定義。新教材調整了舊教材中函數零點與方程解之間的等價關系的呈現順序，將“求方程解”的問題關系的呈現轉化為“求對應函數的零點”問題，并通過調整等價順序體現函數零點的幾何意義。

3.突出定理名稱和零點個數

舊教材在闡述函數是否存在零點的判定時以“一般地，我們有”作為開頭，并未表示函數的零點存在定理的名稱，而新教材在呈現函數的零點存在定理時用藍色字體凸顯了名稱。同時，舊教材中的內容是“函數[y=f（x）]在區間[（a，b）]有零點”，新教材中則于“零點”前添加了“至少有一個”，這一改動能夠啟發學生產生“函數[y=f（x）]在區間[（a，b）]有幾個零點”的思考，突出函數的單調性以及證明函數單調性的重要性。另外，新教材更改了“函數的零點與方程的解”的課題名稱，同時還將“方程[f（x）=0]的根”改為“方程[f（x）=0]的解”，以“解”進行表述，以作呼應。

（三）旁白的設置有所變化

旁白通常以文字或圖片的形式被編排在正文內容旁邊，能夠對教師的教學和學生的學習進行啟發。從功能出發可以將旁白分為探究類旁白和注釋類旁白兩類，前者以問題引導師生展開進一步思考，后者則是對正文內容的詮釋和說明。圖1是新舊教材中“函數的零點與方程的解”的旁白對比。

從圖1可以看出，新舊教材中此內容的旁白均為針對函數[f（x）=lnx+2x-6]的探究類旁白，啟發學生通過證明該函數的單調性得出零點個數。但相較于舊教材，新教材中的旁白增加了一個反問，啟發學生思考為何通過已有的兩個條件仍無法說明函數[f（x）]只有一個零點。這有助于學生對函數的單調性和確定零點個數的必要性展開進一步的思考。

（四）例題與習題的各方面內容有所變化

1.豐富了例題與習題的類型

舊教材中的題型分為四種：例題、練習、習題A組以及習題B組，并且正文部分編排了例題，而練習編排于小節知識點之后。新教材豐富了例題與習題的類型，分為五種：例題、練習、復習鞏固、綜合運用以及拓廣探索，后三種為小節習題。舊教材中的練習題只需要學生計算出數值或進行簡單推理，但新教材中增加了證明題和改錯題，有助于學生批判性思維的發展。

2.調整了例題與習題的難度

舊教材中“方程的根與函數的零點”的例題與習題注重對學生的數學認知能力的考查，而新教材則是在知識背景、推理能力方面上加大了難度，同時降低了知識綜合方面的難度。

3.突出用函數觀點求解的思路

舊教材中出示的例題為“求函數[lnx+2x-6=0]的零點的個數”，新教材中的例題為“求方程[f（x）=lnx+2x-6]的實數解的個數”。由此可見，舊教材設計的例題是直接求函數的零點的個數，而新教材設計的例題聯系了課題導入中“像[lnx+2x-6=0]這樣不能用公式求解的方程，是否也能采用類似的方法，用相應的函數研究它的解的情況”的問題，即求解[f（x）=lnx+2x-6]零點個數的情境。在分析與解答中，學生需要找到方程解的數量。同時，求方程實數解的個數強調在對方程進行求解時若遇到困難，應化歸為求函數的零點問題對方程的實數解進行計算。

二、“函數的零點與方程的解”的教學策略

（一）合理導入，凸顯新知識

數學教學的重要目標之一就是培養學生的思維能力，這就要求教師在教學中要突出學生的主體地位，先激發學生的學習興趣，再指導學生自主學習，這就突出了“導入教學”的重要性。在新教材“函數的零點與方程的解”的內容中，[lnx+2x-6=0]無法用公式求解，這就需要學生開辟新的思路，找到新的解決方法。因此，教師在課堂導入環節應采用合適的方法啟發學生的思維，引導學生對舊知識進行遷移應用。

在課堂導入環節，教師可以讓學生思考：方程的實數解與對應的函數圖象之間的關系如何？并讓學生填寫下列表格。

同時，讓學生回答以下問題：①表格中的一元二次方程有解嗎？②一元二次方程對應的二次函數的圖象與[x]軸之間存在交點嗎？③方程的解和對應函數的圖象與[x]軸交點的橫坐標之間的關系如何？在導入環節引導學生回顧初中階段學習的一元二次方程知識，探索方程的實數解與對應函數的圖象之間的關系，以“形”助“數”，引出二次函數的零點的概念，以便讓學生發現新舊知識之間的關聯，有助于學生后續對一般函數的零點的概念和一般函數的零點與對應方程的實數解之間的關系進行學習和理解。

（二）從數學概念出發創設教學情境

1.基于數學概念本質的理解創設情境

新教材比舊教材更重視呈現知識點的背景和應用，這使得學生的數學學習更具探究性和趣味性。對此，在進行教學設計時，教師應充分領會新教材的編寫意圖，引導學生關注數學概念的形成過程，發揮現成素材的優勢，使學生對數學概念的本質進行深入理解。

例如，新教材以“二次函數的零點”的概念為例，給出一般函數的零點的定義，并以大量素材引入此概念，凸顯了概念的本質特征。教師可以通過一系列問題引導學生進行辨析：（1）函數的零點所指的并不是一個點，而是交點所在的橫坐標。（2）從方程的角度來分析， [f（x）=0]的零點就是對應方程解；從“形”的角度分析，[y=f（x）]的零點是圖象與橫軸的交點，而從自變量的角度分析，零點是函數值為0所對應自變量[x]的值。（3）零點可以求解方程，在面對無法運用公式求解的方程時，可以先利用函數的性質確定函數的零點，再對方程求解。之后再設計下列問題：①區間[（a，b）]內的零點個數能通過零點存在定理進行說明嗎？②[y=f（x）]的圖象在[a，b]區間上會有連續不斷的曲線嗎？③假設[f（a）f（b）>0]，是否存在零點？④如果函數[y=f（x）]的圖象在閉區間[a，b]上呈現出一條連續不斷的曲線，且函數[y=f（x）]于區間[（a，b）]內存在零點，那么[f（a）f（b）<0]是否成立？在教學中，教師以函數的零點概念為核心，通過鋪墊和提問引發學生的進一步思考。

2.以數學概念在教材中的邏輯順序創設情境

在內容的編排上，新教材比舊教材更具有整體性，注重引導學生觀察與分析概念的形成過程。“函數的零點與方程的解”是為學生后續學習“用二分法求方程的近似解”內容做好鋪墊。新教材在定義函數的零點時提出了“像[lnx+2x-6=0]這樣不能用公式求解的方程，是否也能采用類似的方法，用相應的函數研究它的解的情況呢”的問題，筆者認為可以如此理解：函數[y=f（x）]是函數的零點定義的前綴，突出[x]在函數值為0時的值，其體現“形”的特點。運用函數的零點求解凸顯函數零點的應用價值，這也說明了求方程的解是求函數的零點的意義。因此，教師在教學時應明確“先得出函數的零點再求解方程”的結構順序，在產生零點后再運用函數的零點求解方程，正確把握新教材的設計意圖。

（三）在課堂中采用類比教學

數學知識相較于其他學科知識具有更強的連貫性和銜接性，數學課堂教學的核心內容是把握數學學科的內在邏輯體系。縱觀“函數的零點與方程的解”可以發現，新教材以類比二次函數的方式對一般函數的零點的定義和一般函數的零點與對應方程解之間的關系進行抽象概括。此過程與高中生的認知特點相符，有助于他們構建完整的知識網絡。對此，教師可以在課堂中運用類比教學的方式講授本節知識，幫助學生建立一般函數零點的概念，促進學生類比思維能力的提升。

例如，新教材基于舊知識（方程的根、二次函數圖象與[x]軸的交點關系），通過類比和延伸引出新知識（函數的零點及定理），具體見表2。

1.類比探究，問題引導

教師可以提出問題：方程[x2-2x-3=0]的實數根和對應的函數圖象有什么關系？讓學生思考：①如何類比二次函數的零點引出一般函數的零點概念？②函數的零點是點嗎？學生在求解方程的過程中能夠對方程、函數以及圖象的關系有更加明確的認知，更了解“零點”問題，并加深對函數零點概念的理解。之后，教師趁熱打鐵，通過設計習題讓學生在求解方程后求出函數零點，并思考函數零點的存在條件，得出結論。對于無法求解的方程，可以通過繪制函數圖象猜測零點。

2.定理辨析，知識運用

教師可通過問題串的形式引導學生學習：①若函數[y=f（x）]的圖象在區間[a，b]上呈現出一條連續不斷的曲線，并且在區間[（a，b）]內有零點，那么[f（a）f（b）<0]是否成立？②函數在什么條件下只有一個零點？在問題串的引導下，學生的思維能得到更好的發展，同時能加深學生對零點存在定理滿足條件的理解。之后，教師再讓學生思考：③方程[lnx+2x-6=0]是否可求解？若有解，解的數量是多少個？④判斷函數[f（x）=lnx+2x-6]的零點個數，證明函數[f（x）=lnx+2x-6]為增函數。⑤根據零點存在定理可以說明函數的零點數量嗎？學生在解決問題的過程中需要運用本節課所學的知識，并理解函數零點的存在定理，有助于學生數學抽象能力和邏輯推理能力的提升。

（四）鞏固練習突出例題與習題的拓展性

新教材豐富了例題與習題的類型，并調整了難度，凸顯題目的層次性和拓展性。基于此，教師應設計課堂練習和課后作業，使學生加深對知識的理解，并加強對知識的應用。

例如，新教材第155頁“習題4.5”中的第2題是以表格形式呈現數據，要求函數的零點區間學生需要通過對表格進行觀察與分析，綜合應用定理知識進行證明。對于此題，教師可以引導學生觀察[y]值的正、負，進而得到[f（2）f（3）<0]，（2，3）或[f（1）f（3）<0]，（1，3）；[f（3）f（4）<0]，（3，4）；[f（4）f（5）<0]，（4，5）或[f（4）f（6）<0]，（4，6）。本題考查學生對函數零點存在定理的理解和運用情況，能夠反映學生對數學知識的綜合運用能力。教師在設計習題時應基于教材中的例題與習題進行拓展，使學生能夠在解題中有所收獲。

［ ? 參 ? 考 ? 文 ? 獻 ? ］

［1］ ?夏正華.人教 A 版高中數學新教材旁白的分析：以必修第一冊文本框旁白為例［J］.中學數學月刊， 2021（3）：40-42.

［2］ ?官志海.“函數的零點與方程的解”案例分析［J］.黑龍江教育（教育與教學），2021（8）：32-33.

［3］ ?黃少孟.立足課本 提升數學核心素養：結合一道高考題談“零點”［J］.數理化解題研究，2021（1）：26-28.

［4］ ?王華民，張建良.一堂基于核心素養的新教材新授課：高中數學人教A版“對數函數圖像和性質”的教學思考［J］.中小學數學（高中版）， 2021（合刊2）：70-73.

［5］ ?譚娜.“類比教學”在高中數學中的運用：以“函數的零點與方程的解”為例［J］.中學數學，2022（19）：19-21.

（責任編輯 黃桂堅）