磁場中三角形最小面積的錯解分析

周耀虎

(安徽省合肥一六八中學)

在磁場專題復習中,帶電粒子在勻強磁場中的運動問題,通常涉及求最小三角形、圓形磁場、矩形、“葉片形”等區域磁場面積,學生不能正確理解磁場的對稱性和均勻分布的特點以及不能根據所需的磁場強度和分布情況來計算最小面積。在解決這類問題時,需要掌握一些基本原理和解題方法,否則很容易產生一些錯解。下面以高三復習中的典型試題為例,加以分析。

【例1】如圖1所示,在平面直角坐標系xOy中的第一象限內存在磁感應強度大小為B、方向垂直于坐標平面向內的有界勻強磁場區域(圖中未畫出);在第二象限內存在沿x軸負方向的勻強電場.一粒子源固定在x軸上的A點,A點坐標為(-L,0)。粒子源沿y軸正方向釋放出速度大小為v的電子,電子恰好能通過y軸上的C點,C點坐標為(0,2L)。電子經過有界磁場偏轉后方向恰好垂直ON,ON是與x軸正方向成15°角的射線。(電子的質量為m,電荷量為e,不考慮粒子的重力和粒子之間的相互作用)。求:

圖1

(1)第二象限內電場強度E的大小;

(2)若有界磁場是三角形,求三角形磁場的最小面積S2。

圖2

【失誤分析】看答案似乎正確,但過入射點出射點切線所構成的三角形真的是最小的嗎?

作出如圖3所示,圓心角為2θ的圓弧半徑為R,兩端點分別為A、B,過A、B切線交點C與A、B所圍成的三角形即為上述所描述的最小三角形。

圖3

通過簽訂規范的生產服務合同，嚴格明確各方責、權、利，皖神公司與10多個家庭農場、農民專業合作社結成分工協作關系。公司作為龍頭企業，承擔著農產品加工、流通、儲運、銷售以及統一制定生產規劃和生產標準等職責；農民專業合作社上聯龍頭企業，下接家庭農場，起到紐帶作用；家庭農場按龍頭企業要求進行標準化生產，以高于市場的價格向龍頭企業提供安全可靠的農產品。在這個生產經營體系中，一二三產實現了聯動和融合，提升了農業產業化水平和農業綜合競爭力。它就是“現代農業產業化聯合體”。

上述情形的三角形只是一種特殊情況。為了證明普遍性,如圖4所示,再找兩個對稱點E、F,設∠COE=∠COF=α,其中α∈[0,θ],過E、F切線相交于點I,并分別交AB延長線于G、H,△GHI為一般三角形。

圖4

對y求導得y′=

利用軟件作出y-α圖像如圖5所示

圖5

【解決策略】通過前面的分析,可知問題最終源于題干中未明確所求三角形的有界磁場是等邊三角形、直角三角形又或是其他三角形?若不加說明讓學生求最小三角形磁場面積問題時,學生一般都是會思維定式、想當然地去處理問題,這就要求教師在命制此類試題的時候一定要經常對數據進行反復演算,避免出現這類不科學的問題;多研究高考真題去編制更多符合學生認知、能準確考查學生核心素養的好試題。

通常在高中階段求解的都是最小正三角形的磁場面積,而解決這類問題也有通法:帶電粒子進磁場的射入點與出磁場的射出點的連線——即軌跡圓的弦是確定最小磁場區域面積極為重要的一條參考線。

【例2】如圖6所示,一個質量為m,帶電荷量為q(q>0)的粒子在BC邊上的M點以速度v垂直于BC邊飛入正三角形ABC。為了使該粒子能在AC邊上的N點垂直于AC邊飛出該三角形,可在適當的位置加一個垂直于紙面向里、磁感應強度為B的勻強磁場。若此磁場僅分布在一個也是正三角形的區域內,且不計粒子的重力,試求:

圖6

(1)畫出正三角形區域磁場的邊長最小時的磁場區域及粒子運動的軌跡;

(2)該正三角形區域磁場的最小面積。

【解析】(1)由題意可知,粒子剛進入磁場時先向左偏轉,不可能直接在磁場中由M點向右做圓周運動到N點,當粒子剛進入磁場和剛離開磁場時,其速度方向應該沿著軌跡的切線方向并垂直于半徑,如圖7所示作出圓O,粒子的運動軌跡為弧GDEF,圓弧在G點與初速度方向相切,在F點與出射速度相切。畫出三角形abc,其與圓弧在D、E兩點相切,并與圓O交于F、G兩點,三角形abc為符合題意的最小磁場區域。

圖7

圖8

從以上案例分析來看,求一般三角形的面積需要數據驗證,難度較大,教師命題或者學生做題都易出現錯誤,且數據處理較為煩瑣;而正三角形最小面積則可以通過結論快速求解,提高了高三復習備考效率。同時啟發我們在復習中宜采取以下兩個策略:

(1)建立知識框架。首先需要明確磁場的基本概念和原理,包括磁感應強度、磁通量、磁場強度等;然后在此基礎上建立知識框架,將相關知識點串聯起來;

(2)注重實例和練習。通過實例題和練習題來加深對磁場問題的理解和應用。有助于學生更好地掌握解題方法和技巧,同時也能發現自己在解題過程中的常見錯誤和問題。

【總結和反思】在完成實例題和練習題后,學生需要對自己的解題過程進行總結和反思。包括思考自己在解題過程中的思路、方法、步驟等方面是否存在問題,如何改進等。同時也要注意總結解題方法和技巧,以便在解題中能夠更加熟練地應用。

在復習過程中,難的不是物理,而是數學處理!學生需要注重對磁場問題的理解和常見情境的應用。只有真正理解問題的本質和解決方法,才能更好地應用所學知識來解決實際問題。