挖掘試題價值 提升復習品質
——以一道“球槽模型”試題為例

何崇榮 張 黎

(武漢市黃陂區第一中學)

做題、講題是高三復習的主旋律,面對高考題以及各種模擬題,復習過程中要充分挖掘試題的價值,進而提高復習效率與品質。本文通過對一道“球槽模型”試題的拓展與關聯探究,鞏固了圓周運動向心加速度、加速度的理解,復習了動量和能量主干知識、整合了常用的求解極值的思想和方法。

1.“球槽模型”典例

【例1】(多選)光滑水平面上有一個質量為m的光滑圓弧形槽,現將一個質量也為m的小鋼球從槽的頂端水平A處由靜止釋放,在小球下滑的過程中,以下說法正確的是

( )

圖1

A.小球和槽組成的系統動量守恒

B.小球在下滑到圓弧槽的另一側時,可以到達和A同水平的最高點C

C.小球下滑到底端B的過程中,其對地的運動軌跡為圓

D.小球在下滑到圓弧槽底端B的過程中,小球動能隨時間先增大后減小

【答案】BD

【點評】此題屬于容易做對但不易做懂的試題。學生很容易判斷AC錯誤,BD正確。學生做題幾乎以做對為目標,選擇題往往采用排除法,只要答案正確,其他選項不會深入思考。教師要引導學生去思考和探究有研究價值的選項,針對該模型整合相關考點與知識點,從而將試題的價值發揮到最大,提升復習品質。

2.試題拓展及解析

2.1 拓展1

若地面粗糙,且小球下滑過程中圓槽始終不動,圓槽的半徑為R,重力加速度大小為g,考慮一般性,設小球和圓槽質量分別為m和M,小球從槽的頂端水平A處由靜止釋放。

(1)當小球與圓心連線跟水平方向夾角為θ時,小球的加速度大小為多少?(以圖像形式考查)

(2)求地面對圓槽的摩擦力的最大值。

(3)小球重力的功率在何處最大?

(4)求圓槽與地面間的動摩擦因數μ的最小值。

2.1.1 拓展1解析

(1)通過圖像形式考查小球下滑過程中的加速度特點

【例2】同例1題圖,一個小球從光滑固定的半圓形圓弧槽的頂端A點由靜止釋放后,當小球運動到與圓心連線跟水平方向夾角為θ時,小球加速度大小為a,則小球經最低點B運動到C點的過程中,a隨θ的變化圖像可能是

( )

A

【答案】D

【點評】設置問題(1),將圓周運動向心加速度與加速度對比,幫助學生理解圓周運動向心力和向心加速度來源。

(2)求地面對圓槽的摩擦力的最大值。

設圓槽半徑為R,當小球運動到與圓心連線跟水平方向夾角為θ時,如圖2所示。

圖2

對小球,根據牛頓第二定律有

對圓槽,根據平衡有Ff=FN1′ cosθ③

根據牛頓第三定律,小球對圓槽的壓力

FN1′ =FN1④

聯立①②③④解得

(3)小球重力的功率在何處最大?

法1:物理方法

小球重力的功率PG=mgvy,所以重力功率最大時,小球速度的豎直分量vy最大,即小球加速度的豎直分量ay=0,則

FN1″ sinθ=mg⑥

法2:重要不等式

重力做功的瞬時功率

法3:導數法

令f(θ)=sinθcos2θ,則f′(θ)=cos3θ-2cosθsin2θ=cosθ(1-3sin2θ)

關于小球下滑過程重力做功功率特點,也可以通過圖像定性考查。

【例3】同例1題圖,一個小球從光滑固定的半圓形圓弧槽的頂端A點由靜止釋放后,經最低點B運動到C點的過程中,小球的動能Ek隨時間t的變化圖像可能是

( )

A

【答案】B

(4)求圓槽與地面間的動摩擦因數μ的最小值。

對圓槽,根據平衡有FN2=Mg+FN1′ sinθ⑦

圓槽始終保持靜止狀態,則Ff≤μFN2⑧

處理1:不等式,將⑨式整理得

處理2:三角函數,將⑨式整理為

θ∈[0,90°]上式恒成立

【點評】設置問題(2)(3)(4)鞏固求解極值的一些常用方法。問題(3)中法2利用均值不等式求極值,該方法也可求解等量同種電荷中垂線上最大場強。問題(4)處理1,利用雙勾函數求最值,該方法也可求解電源的最大輸出功率。高考壓軸題往往對應用數學方法解決物理問題的能力要求較高,所以像二次函數、三角函數、對勾函數、導數求極值,數列通項等數學知識在復習過程中應加強訓練。

2.2 拓展2

若地面光滑,圓槽不固定,小球從半圓形圓弧槽的頂端A點由靜止釋放

(1)求小球運動到最低點時對圓槽的壓力。

(2)求小球運動的軌跡方程。

(3)小球在下滑過程中,速率是否一直增大?

(4)與拓展1相比,小球在圓槽內的運動周期變大還是變小?

2.2.1 拓展2解析

(1)求小球運動到最低點時對圓槽的壓力。

系統水平方向動量守恒有mv1-Mv2=0 ①

在最低點,以圓槽為參考系,由于此時圓槽的加速度為0,此時為慣性系,小球相對于圓槽做圓周運動,對小球,根據牛頓第二定律有

(2)求小球的運動軌跡方程。

如圖3所示,以地面為參考系,建立坐標系xOy,小球位置坐標為P(x,y),以圓槽為參考系,建立坐標系x′O′y′,小球位置坐標為P(x′,y′),則小球軌跡方程為x′2+y′2=R2

圖3

根據水平方向動量守恒在任意時刻有mv1=Mv2

由x1=v1Δt,x2=v2Δt,可得mx1=Mx2

由幾何關系得y′=y、x1=R+x、x2=-x+x′

【點評】通過設置拓展1中的問題(1)和拓展2中的問題(1)(2),可以幫助學生理解一般曲線運動的向心力和向心加速度,比如天體運動橢圓軌道的向心加速度。

(3)小球在下滑過程中,速率是否一直增大?

設小球與圓心連線跟水平方向的夾角為θ時,小球速度大小為v1

相對圓槽的速度大小為u,圓槽的速度大小為v2,如圖4所示。

圖4

系統水平方向動量守恒有

m(usinθ-v2)=Mv2④

系統機械能守恒有

小球速度滿足

聯立④⑤⑥解得

若球槽質量相等,比較容易推導出⑨式,但由⑨式不能直觀判斷小球下滑速率的變化情況,此時可以考慮特殊值法來判斷。

(4)與拓展1相比,小球在圓槽內的運動周期變大還是變小?

由⑧式可知,圓槽不固定時,小球在圓槽中的運動周期小于圓槽固定時的運動周期。

圖5

3.小結

通過對一道“球槽模型”試題的拓展與關聯探究,鞏固了圓周運動向心加速度、加速度的理解,復習了動量和能量主干知識、整合了常用的求解極值的思想和方法,這種拓展探究型的復習課,重視思維訓練,能夠提高學生的關鍵能力,提升了復習品質。