運動學誤差模型變體下的機械臂標定精度研究

蔣周翔，蘇瑞，秦鵬舉，蒙月晨，龍忠杰，宋寶，唐小琦

(1.北京信息科技大學機電工程學院，北京 100192；2.華中科技大學機械科學與工程學院，湖北武漢 430074)

0 前言

機械臂末端絕對定位精度是評價機械臂技術水平的重要指標，決定了機械臂能否準確完成各種作業任務。運動學標定是在機械臂硬件結構確定后，從軟件角度出發的保證機械臂絕對定位精度的有效方式。運動學誤差建模是運動學標定的第一個環節，因此模型完整、連續、最小、精確以及良態是最終標定結果有效的先決條件[1]。

運動學誤差模型具有代表性的研究成果有DENAVIT和HARTENBERG共同提出的機械臂建模準則SD-H(Standard Denavit-Hartenberg)[2]。 HAYATI、MIRMIRANI[3]為解決相鄰平行關節標定時參數不連續問題，在SD-H基礎上增加了一個繞Y軸旋轉的角度。CRAIG[4]提出一種區別于SD-H的建模方法，即MD-H(Modified Denavit-Hartenberg)，該方法將連桿坐標系由連桿末端移到前端。這種建模方法除串聯機構外，也適用于樹狀或閉環機構。KHALIL、DOMBRE[5]在此基礎上借鑒HAYATI等的思路，為MD-H模型的相鄰平行關節也加入了一個繞Y軸的旋轉角度，使之同樣在標定時滿足模型連續性。STONE[6]提出一種六參數的S-model，旨在提高機械臂建模的完整性。近些年，還有部分學者提出了基于POE(Product of Exponentials)[7]的標定模型，同時符合了模型的完整性、連續性以及最小性。

上述模型絕大多數滿足了完整、連續和最小的要求，但業界最廣泛采用的仍然是基于Hayati參數的SD-H和MD-H運動學誤差模型。除上述3種特性外，目前還有部分學者針對這兩種模型的運動學誤差辨識精度進行了相關研究，通常是在選定建模規則后，從測量環節尋求改進方案，比如優化測量構型[8]或改良測量裝置[9-10]。前者能夠提高模型的觀測指數，進而使運動學誤差在末端位姿誤差上產生更明顯的倍增效果，以減小測量噪聲干擾；后者有助于測量儀器獲得更高維度的末端位姿誤差信息，提高運動學參數誤差的可辨識性。

除測量構型和測量裝置外，運動學誤差的建模方式也對標定精度有顯著影響，然而目前還未見到相關研究的公開報道。具體而言，SD-H和MD-H運動學誤差建模時遵循的旋轉變換順序不同，將使模型性態水平產生明顯差異。此外，這兩種建模規則均基于微小誤差假設從真實正運動學模型中獨立出運動學參數誤差，以此建立誤差參數到關節位姿誤差的映射關系，進而最終得到線性的機械臂運動學誤差模型，由此可知建模階段引入了線性化誤差。模型性態水平與線性化誤差均會影響誤差辨識結果的準確性，所以有必要對各類SD-H和MD-H運動學誤差模型的性態水平與線性化誤差進行量化分析和對比，以此選擇辨識精度最高的建模方法。

面對上述現狀，本文作者以建模環節為切入點，以不同歐拉變換順序下的SD-H和MD-H運動學誤差模型為對象，通過研究各模型的性態水平和線性化誤差，以及對比分析各模型在較高測量噪聲干擾下的運動學參數誤差辨識精度，綜合驗證了性態水平和線性化誤差對標定精度的影響程度，進而為機械臂運動學誤差模型的建立方式和各類型參數的標定方法提供了理論依據。

1 不同歐拉變換的SD-H運動學誤差模型

1.1 SD-H模型中的坐標系與參數設置

對于一臺6R串聯型機械臂，依據SD-H方法建立的各關節坐標系如圖1所示。

圖1 SD-H模型下的機械臂關節坐標分布

其中，如前文所述，由于第2、3關節軸線接近平行，使得傳統SD-H模型在標定三關節參數時所得辨識結果不連續，因此通常引入β2來替代d2，如圖2所示。

圖2 SD-H模型下的相鄰平行關節坐標系變換

由圖2可知，構造一個過坐標系2原點o2且垂直于z1軸的平面，其與z1交點為坐標系1的原點o1。先將x1繞z1旋轉θ2，使其與o1o2方向重合。再將坐標系2沿該方向平移a2，使o1與o2重合。最后分別繞此時的x1軸和y2軸旋轉α2和β2，使此時的z1軸與z2軸重合，完成坐標系1到坐標系2的轉換。

此處，由于旋轉α2和β2的目的僅為使z1軸與z2軸重合，因此旋轉順序可以交換。又因為SD-H建模要遵循先繞z軸再繞x軸旋轉的規則，所以3個角度旋轉順序可排列為θ2→α2→β2或θ2→β2→α2，進而得到兩種不同歐拉變換下的SD-H運動學誤差模型。

1.2 z-x-y歐拉變換的SD-H運動學誤差模型

對于相鄰垂直關節，即i≠2時，坐標系i-1到坐標系i的齊次變換為

i-1Ti=Rz(θi)Dz(di)Dx(ai)Rx(αi)

(1)

在z-x-y歐拉變換下，對于相鄰平行關節，即i=2時，坐標系i-1到坐標系i的齊次變換為

i-1Ti=Rx(αi)Dx(ai)Rz(θi)Ry(βi)

(2)

當i≠2時，令Δui=[δθi，δdi，δai，δαi]表征運動學參數誤差向量，則該向量的轉置到關節坐標系i位姿誤差的映射矩陣為

(3)

當i=2時，令Δui=[δθi,δai,δαi,δβi]表征運動學參數誤差向量，則該向量的轉置到關節坐標系i位姿誤差的映射矩陣為

(4)

令Δu=[Δu1,Δu2,…,Δu6]T，則在第j個測量構型處，所有參數誤差造成的末端執行器坐標系t的位姿誤差為

Ej=JjΔu

(5)

其中：

(6)

且

(7)

其矩陣元素來源于

(8)

其中：

6Tt=Dx(xt)Dy(yt)Dz(zt)Rx(αt)Ry(βt)Rz(γt)

(9)

如果有m個測量構型，則可建立運動學誤差模型

E=JΔu

(10)

其中

(11)

1.3 z-y-x歐拉變換的SD-H運動學誤差模型

在z-y-x歐拉變換下，對于相鄰平行關節，即i=2時，坐標系i-1到坐標系i的齊次變換為

i-1Ti=Rz(θi)Dx(ai)Ry(βi)Rx(αi)

(12)

當i≠2時，Δui的轉置到關節坐標系i位姿誤差的映射矩陣與式(3)相同。當i=2時，Δui的轉置到關節坐標系i位姿誤差的映射矩陣為

(13)

在此基礎上，采用與式(5)—(11)相同的方法即可得到z-y-x歐拉變換下的SD-H運動學誤差模型。

2 不同歐拉變換的MD-H運動學誤差模型

2.1 MD-H模型中的坐標系與參數設置

對于一臺6R串聯型機械臂，依據MD-H方法建立的各關節坐標系如圖3所示。

圖3 MD-H模型下的機械臂關節坐標分布

如前文所述，由于第2、3關節軸線接近平行，使傳統MD-H模型在標定三關節參數時所得辨識結果不連續，因此引入β3來替代d3，如圖4所示。

圖4 MD-H模型下的相鄰平行關節坐標系變換

由圖4可知，構造一個過坐標系3原點o3且垂直于z2軸的平面，其與z2交點為坐標系2的原點o2。先將坐標系2沿o2o3方向平移a3，使o2與o3重合。然后分別繞此時的x2、y2和z2軸旋轉α3、β3和θ3，使x2、y2和z2軸分別與x3、y3和z3軸重合，完成坐標系2到坐標系3的轉換。

此處，由于旋轉α3、β3和θ3僅為使坐標系2與坐標系3重合，因此3個旋轉的順序可以交換。又因為要遵循先繞x軸再繞z軸旋轉的規則，所以3個角度的旋轉順序可排列為β3→α3→θ3、α3→β3→θ3和α3→θ3→β3，進而得到3種不同歐拉變換下的MD-H運動學誤差模型建模方式。

2.2 y-x-z歐拉變換的MD-H運動學誤差模型

對于相鄰垂直關節，即i≠3時，坐標系i-1到坐標系i的齊次變換為

i-1Ti=Rx(αi)Dx(ai)Rz(θi)Dz(di)

(14)

在y-x-z歐拉變換下，對于相鄰平行關節，即i=3時，坐標系i-1到坐標系i的齊次變換為

i-1Ti=Dx(ai)Rx(βi)Rx(αi)Rz(θi)

(15)

當i≠3時，Δui=[δθi，δdi，δai，δαi]的轉置到關節坐標系i位姿誤差的映射矩陣為

(16)

當i=3時，Δui=[δθi,δai,δαi,δβi]的轉置到關節坐標系i位姿誤差的映射矩陣為

(17)

在此基礎上，采用與式(5)—(11)相同方法即可得到y-x-z歐拉變換下的MD-H運動學誤差模型。

2.3 x-y-z歐拉變換的MD-H運動學誤差模型

在x-y-z歐拉變換下，對于相鄰平行關節，即i=3時，坐標系i-1到坐標系i的齊次變換為

i-1Ti=Dx(ai)Rx(αi)Rx(βi)Rz(θi)

(18)

當i≠3時，Δui的轉置到關節坐標系i位姿誤差的映射矩陣與式(16)相同。當i=3時，Δui的轉置到關節坐標系i位姿誤差的映射矩陣為

(19)

在此基礎上，采用與式(5)—(11)相同的方法即可得到x-y-z歐拉變換下的MD-H運動學誤差模型。

2.4 x-z-y歐拉變換的MD-H運動學誤差模型

在x-z-y歐拉變換下，對于相鄰平行關節，即i=3時，i-1坐標系到i坐標系的齊次變換為

i-1Ti=Dx(ai)Rx(αi)Rz(θi)Rx(βi)

(20)

當i≠3時，Δui的轉置到關節坐標系位姿誤差的映射矩陣與式(16)相同。當i=3時，Δui的轉置到關節坐標系i位姿誤差的映射矩陣為

(21)

在此基礎上，采用與式(5)—(11)相同的方法即可得到x-z-y歐拉變換下的MD-H運動學誤差模型。

3 各誤差模型的性態水平仿真分析

3.1 SD-H運動學誤差模型性態水平

所有仿真均以BORUNTE的BRTIRUS1510A型機械臂為對象。在SD-H建模規則下，該機械臂D-H參數名義值如表1所示。

表1 機械臂SD-H參數賦值

其第6關節到末端執行器坐標系t的變換參數如表2所示。

表2 SD-H規則下的第6關節到坐標系t變換矩陣賦值

在此基礎上，采用DETMAX算法[11]生成24個測量構型，即可依據第1.2節和1.3節所述方法分別建立運動學誤差模型。

運動學誤差模型的性態水平是Δu辨識精度的決定因素之一，可通過式(10)中的J矩陣的觀測指數[12-13]、條件數以及是否滿秩對其性態水平進行分析。觀測指數O1和條件數C計算公式分別為

(22)

(23)

其中：σ1～σ24是J的奇異值并且σ1≥σ2≥ … ≥σ24；m為測量構型的個數。

據此，z-x-y和z-y-x這兩種歐拉變換下的SD-H運動學誤差模型性態水平如表3所示。

表3 SD-H運動學誤差模型性態水平

由表3可知：在兩種歐拉變換下，SD-H運動學誤差模型的J矩陣均為滿秩，且觀測指數和條件數均非常接近，因此具有接近的性態水平。

3.2 MD-H運動學誤差模型性態水平

在MD-H建模規則下，BRTIRUS1510A機械臂D-H參數名義值如表4所示。

表4 機械臂MD-H參數賦值

其第6關節到末端執行器坐標系t的變換參數如表5所示。

表5 MD-H規則下的第6關節到坐標系t變換矩陣賦值

同樣采用DETMAX算法生成24個測量構型，即可依據第2.2—2.4節所述方法分別建立運動學誤差模型，并由式(22)(23)求出觀測指數和條件數，如表6所示。

表6 MD-H運動學誤差模型性態水平

由表6可知：在y-x-z和x-y-z這兩種歐拉變換下，MD-H運動學誤差模型的J矩陣均為滿秩，且觀測指數和條件數均非常接近，因此具有接近的性態水平；然而在x-z-y歐拉變換下，J并不滿秩，由此導致觀測指數較小且條件數極大，此時的運動學誤差模型為嚴重病態，無法準確識別24個運動學參數誤差，因此不推薦采用x-z-y歐拉變換下的MD-H運動學誤差模型用于標定。

綜合表3、6可知：MD-H模型相比SD-H模型具有更高的觀測指數和更小的條件數，即更良好的性態水平，但僅憑這一結果還難以對兩類模型的標定精度做出準確評價，而需結合模型線性化誤差的影響進行綜合分析。

4 各誤差模型的線性化誤差仿真分析

4.1 線性化誤差計算流程

首先假定各項運動學參數誤差值如表7所示。

接著針對每種歐拉變換，采用式(5)—(11)建立其運動學誤差模型，進而得到m個測量構型處的坐標系t位姿誤差E，提取E在xt、yt、zt方向的位置誤差，得到3m×1維的位置誤差向量ΔpJ。

然后基于同樣的m個測量構型，結合名義正運動學模型(式(1)(2)(12)(14)(15)(18)(20))及其真實正運動學模型(將式(1)(2)(12)(14)(15)(18)(20)中的θi、di、ai、αi和βi分別替換為θi+δθi、di+δdi、ai+δai、αi+δαi和βi+δβi)，可得到每個測量構型下對應的坐標系t位姿誤差ET。提取ET在xt、yt、zt方向的位置誤差，得到3m×1維的位置誤差向量ΔpT。

最后，由于ΔpT來源于無線性化誤差的正運動學模型，因此將ΔpJ與ΔpT按下式相減，即可得到各種運動學誤差模型的線性化誤差大小。

(24)

4.2 SD-H運動學誤差模型的線性化誤差

依據第4.1節所述方法及表7誤差值，得到z-x-y和z-y-x變換下的SD-H運動學誤差模型線性化誤差，分別如圖5、6所示。

圖6 z-y-x變換下的SD-H運動學誤差模型線性化誤差

由圖5、6可知：兩種SD-H運動學誤差模型線性化誤差均為微米級。通常，機械臂末端絕對定位精度在未標定前為毫米級。因此可以初步預測，微米級線性化誤差對Δu辨識結果的影響可以忽略不計。

4.3 MD-H運動學誤差模型的線性化誤差

按照第4.1節所述方法，得到y-x-z和x-y-z變換下的MD-H運動學誤差模型線性化誤差(x-z-y型不推薦使用，因此不參與仿真驗證)，分別如圖7、8所示。

圖7 y-x-z變換下的MD-H運動學誤差模型線性化誤差

圖8 x-y-z變換下的MD-H運動學誤差模型線性化誤差

由圖7、8可知：MD-H誤差模型線性化誤差與SD-H為同一量級。雖然前文所述MD-H誤差模型的性態水平優于SD-H，但二者對Δu的辨識精度還需在后續仿真中進一步驗證。

5 運動學參數辨識精度仿真驗證

5.1 仿真流程

仿真的目的是驗證第3小節所述4種運動學誤差模型在模擬的真實場景下對Δu的辨識精度。首先是模擬測量過程中的隨機誤差。假定采用一般精度水平的視覺測量方式，設視覺測距精度為±1 mm且機械臂末端靶標尺寸為80 mm×80 mm，測量不確定度可參考表8設定。

表8 測量不確定度賦值

然后依次以4種運動學誤差模型為對象，按照表8所示分布，為位姿誤差向量E隨機生成104組測量不確定度ΔE，用E+ΔE替代式(10)中的E，即可按下式求解出Δu的實際辨識結果Δua

ΔE+E=JΔua

(25)

其中：E+ΔE和Δua分別為120×104維和24×104維矩陣。對Δua每行求平均值，再按下式計算出Δu向量中第k個運動學參數誤差的辨識誤差占比

(26)

其中：Δu(k)的數值與表7一致。分別對每種運動學誤差模型執行上述仿真流程102次，求各δu(k)對應的102個數據的均值作為其辨識誤差。

5.2 辨識結果及分析

兩種SD-H運動學誤差模型的δu(k)分別如圖9、10所示。

圖9 z-x-y變換下的SD-H模型對Δu的辨識精度

圖10 z-y-x變換下的SD-H模型對Δu的辨識精度

由圖9、10可知：兩種SD-H運動學誤差模型均對角度類Δu(δθi、δαi和δβi，對應圖中k=1，4，5，7，8，9，12，13，16，17，20，21，24)具有極高辨識精度(0.1%～1.1%)，而對位置類Δu(δdi和δai，對應圖中k=2，3，6，10，11，14，15，18，19，22，23)的辨識精度明顯降低(6.6%～39.3%)。

兩種MD-H運動學誤差模型的δu(k)分別如圖11、12所示。

圖11 x-y-z變換下的MD-H模型對Δu的辨識精度

圖12 y-x-z變換下的MD-H模型對Δu的辨識精度

由圖11、12可知：兩種MD-H運動學誤差模型均對角度類Δu(δθi、δαi和δβi，對應圖中k=1，4，5，8，9，11，12，13，16，17，20，21，24)具有較高辨識精度(0.1%～1.6%)，而對位置類Δu(δdi和δai，對應圖中k=2，3，6，7，10，14，15，18，19，22，23)辨識精度較差(4.7%～71.2%)。與SD-H相比，MD-H對距離類Δu的辨識精度有所降低。

5.3 仿真結論

由仿真數據可初步得出結論：

(1)x-z-y變換下的MD-H運動學誤差模型不滿秩，存在冗余的待辨識參數，因此不適用于標定。

(2)雖然MD-H比SD-H運動學誤差模型具有更高的性態水平，引入的線性化誤差量級等同，但在兩類因素綜合影響下，SD-H模型卻具有更高的運動學參數誤差辨識精度。因此推薦采用SD-H模型標定串聯機械臂。

(3) SD-H和MD-H運動學誤差模型均對角度類Δu具有較高辨識精度，而對距離類Δu辨識精度較低，原因是距離類Δu在模型中不產生倍增效應。因此當測量噪聲量級與距離類Δu接近甚至更大時，其辨識精度將急劇劣化。因此若對標定效率無特殊要求，可采用無模型辨識方法如CPA(Circle Point Analysis[14-15])來解算距離類Δu。

6 結束語

本文作者首先依據不同的歐拉變換順序分別建立了基于SD-H和MD-H規則的運動學誤差模型；然后量化分析了以上5種運動學誤差模型的性態水平以及其中4種滿秩模型的線性化誤差；最后對4種滿秩模型的運動學參數誤差辨識精度進行了對比分析，以此綜合評價模型性態水平和線性化誤差對標定結果的影響程度，為機械臂高精度標定模型的建立以及各類誤差辨識方法的合理實施提供了理論依據和參考。

下一步研究計劃是從理論推導上繼續挖掘MD-H運動學誤差模型存在冗余參數且線性化誤差偏大的根本原因，并據此探索針對標定方法的優化方案。在此基礎上搭建試驗平臺對4種模型在真實場景下的標定精度進行對比，并驗證優化方案的可行性。