空間串聯機構重力平衡設計方法與仿真分析

胡松華，楊竣皓，孫利雄，李樹東

(云南電網有限責任公司保山供電局，云南保山678000)

0 前言

重力平衡又稱重力補償，是指在一定的重力補償器作用下，某一機構能夠在重力環境中保持靜態平衡。重力補償機構廣泛應用于機器人中，作為產生反重力和節省能量的被動部件[1]。雖然重力補償器的設計已經取得了很大的進展，但通常假定重力補償器的軸線與平衡連桿的軸完全對齊的嚴格條件，往往在實踐中是難以實現的[2]。

在重力補償機構相關研究中，馬保平等[3]研究了手術機器人操作手的定位精度，提出了構件的等效質心位置以實現機械臂的重力補償，通過有限元對比分析了重力補償前后的動力學響應特性，驗證了重力補償的有效性。王攀峰等[4]針對絲桿傳動并聯機構，根據虛功原理提出了含有重力補償的計算方法，通過反饋力的控制實驗驗證了重力補償設計算法的有效性。蔣君俠等[5]針對倒掛式遙控機械手的運動穩定性，提出了重力補償方法，建立了機械手運動學動力模型，對比分析了各個位姿下的關節軸扭矩情況，表明所提重力補償算法具有較高的補償精度。劉巖等人[6]針對機械手負載過程中力傳感器的測量，提出了機械手負載端重力補償策略，建立了重力補償系統模型，通過MATLAB和有限元聯合仿真，分析了所提重力補償策略的合理性。喬丹等人[7]針對用于人機交互的并聯機構，建立了并聯機構的動力學模型，在此基礎上提出了重力補償控制器，分析結果表明該機構通過重力補償后，并聯機構的控制精度得到了有效提高。段宇飛等[8]在機器人末端安裝了力傳感器，在牽引力作用下提出了機器人重力補償策略，該策略能有效控制誤差波動，能夠實現力和位移的階段性變化，提高機器人的控制精度。

使用上述重力平衡機構的機器人，由于重力補償器的軸線與平衡連桿的軸完全對齊的條件比較苛刻，會導致人機系統過度約束，且容易產生較大的接觸力或扭矩，往往在實踐中難以實現。本文作者提出一種對被平衡機構旋轉中心滑動不敏感的可穿戴式空間重力補償器的設計方法。該方法不需要將人體關節與補償器的關節精確對齊，能夠兼容因佩戴誤差和個體間形態不同而導致的人機關節錯位。

1 空間串聯連桿的重力等效子系統

圖1所示為具有轉動關節的連桿空間串聯機構示意，其勢能Ug[9]可表示為

(1)

圖1 空間串聯連桿示意

其中：mi表示連桿i的質量；g表示重力加速度；rmi表示連桿i的質心在全局坐標系o-xyz中的坐標。

rmi表示為

(2.1)

(2.2)

(2.3)

將式(2.1)—(2.3)代入式(1)，得到：

(3)

式(3)表示空間串聯機構的重力勢能等于n個解耦子系統的重力勢能之和，第一項為第n-1個重力等效子系統，第二項為第n個重力等效子系統。重力等效子系統i由連桿i組成，其旋轉中心移到全局坐標系o-xyz的原點o，并將從連桿i+1到連桿n的質量之和添加到連桿i的遠端，如圖2所示。如果每個子系統都是平衡的，即每個子系統的勢能保持不變，而不考慮關節的旋轉，則串聯機構的總勢能也保持不變，整個系統是平衡的。而且這些子系統的重力公式是相似的，即它們可以由同一個重力補償器進行平衡。近端連桿的旋轉會影響遠端連桿的方向，隨著連桿數量的增加，遠端連桿的旋轉會變得非常復雜。每個子系統都可以看作是一個定點旋轉系統，通過分析單連桿定點旋轉的重力平衡方法，可以解決各子系統的平衡問題。

圖2 重力等效子系統示意

2 偏航平面單連桿重力補償器的設計

2.1 單自由度剛體旋轉的運動分析

單自由度剛體旋轉可分解為耦合的三軸旋轉。在確定了連桿的方向后，可以通過逆運動學求解出對應的三軸旋轉角[10]，即沿y軸方向的偏航角α、偏航平面中的傾角β和沿連桿縱軸方向的跨度角γ，如圖3所示，xy平面為垂直平面，xz平面為水平面，yST平面為偏航平面。如果采用球形關節S連接到基座上的單連桿機構可以平衡，那么其他類型的轉動關節也可以平衡。

圖3 固定點旋轉的運動分解

作者認為只有傾斜角β影響系統的重力勢能，忽略角α和γ的影響，分析偏航平面內的平衡條件。系統的重力勢能為

Eg=-mglcosβ

(4)

其中：m是平衡連桿的質量；l是旋轉中心O到平衡連桿的質心的距離。通過彈簧來平衡系統的重力，彈簧的彈性勢能為

Es=1/2kΔx2

(5)

式中：k為彈簧剛度；Δx為彈簧變形。

重力平衡的理想條件是，在任何構型中，重力力矩τg和由關節S處的彈簧力引起的力矩τs之和總是等于零[11]，即：

(6)

式(6)要求Eg和Es與傾角β無關，即Es必須包含cos項來消去Eg的cos項。式(6)成立的充分條件是彈簧變形Δx與傾斜角β之間存在約束，即：

Δx2=c0+c1cosβ

(7)

其中：c0和c1是待定系數。將式(7)代入式(5)，并將得到的Es和式(4)代入式(6)，則有：

c1=2mgl/k

(8)

將式(8)代入式(7)，得到：

Δx2=c0+2mgl/kcosβ

(9)

其中：待定系數c0沒有其他約束。實現完美重力平衡的關鍵是如何物理實現約束方程(9)。

(1)基于余弦公式

根據式(9)，可以通過三角形的余弦定律來實現，即：

Δx2=a2+b2-2abcosβ

(10)

式中：a和b為三角形中偏航角β的相鄰邊長度；彈簧伸長Δx為偏航角β的對邊長度。式(10)的形式與式(9)相同，則有：

c0=a2+b2

(11.1)

k=-mgl/(ab)

(11.2)

(2)基于雙角公式

如果將式(9)右側的項轉化為平方函數，則可以簡化約束式(9)。cosβ可以通過倍角公式轉化為二次型，即：

cosβ=1-2sin2(β/2)

(12)

將式(12)代入式(9)，調整待定系數c0以消除所得方程的常數項，得到：

(13)

(14.1)

k=-4mgl/r2

(14.2)

2.2 偏航面上連桿的平面重力補償

基于雙角公式的重力補償器由兩個傳動子系統組成，即齒輪傳動和諧波位移發生器。齒輪傳動包括大齒輪(BG)、小齒輪(SG)和耦合器(CP)。BG的節距半徑是SG的節距半徑的2倍，可知BG始終是齒輪傳動的輸出環節，它將與諧波位移發生器相連。SG和CP中的一個固定連接到平衡連桿作為輸入環節，另一個固定作為底座，由此推導出如圖4所示的兩種構型。對于串聯連桿的重力平衡，構型2更優，因為有足夠的軸向空間安裝諧波位移發生器[12]，并將用作重力補償器的部件。

圖4 齒輪機構的兩種構型

互補諧波位移發生器由兩個雙滑塊機構(DSM)組成，即DSM 1和DSM 2，如圖5所示。在每個DSM中，滑塊1和滑塊2的滑動方向是正交的。在滑塊1和滑塊2之間設置了一個自由長度為l0的壓縮彈簧。互補性是指當一個DSM的壓縮彈簧不被壓縮時，另一個DSM中的彈簧始終處于壓縮狀態，這就保證了平衡連桿可以用任何旋轉角度進行平衡。在實際應用中，只要BG相對于原始位置的旋轉角度ε在一個區間(0，180°)內，即ε∈(0，180°)，則只有DSM 1工作。在接下來的分析和設計中，諧波位移發生器只包含了DSM 1。

圖5 互補諧波位移發生器

齒輪傳動裝置與僅包含DSM1的諧波位移發生器組成平面重力補償單元，如圖6所示。為了使平面重力補償單元中的彈簧保持壓縮狀態，即ε∈(0，180°)，CP (平衡連桿)的傾角β應滿足約束β∈(0，360°)，即平衡連桿不穿過垂直向上的構型。為簡單起見，假設平面重力補償單元的質心始終在平衡連桿的縱軸上，從旋轉中心o到平面重力補償單元質心的距離lc是恒定的。為了保證完全的重力平衡，包括重力勢能和彈性勢能在內的勢能應該與傾角β無關。根據式(14.2)確定彈簧剛度為

(15)

圖6 平面重力補償單元結構示意

其中：lc為旋轉中心o到平面重力補償單元質心的距離；lm為旋轉中心o到平衡連桿質心的距離；mc為平面重力補償單元的質量；m為平衡連桿的質量；r為平面重力補償單元中的曲柄半徑。

3 平面串聯機構的重力平衡

為實現n連桿串聯平面機構在偏航平面上的完全重力平衡，將同步機構(TBMs)與平面重力補償單元按傳遞垂直方向的順序串聯，如圖7所示，其中叉(×)表示各部件剛性連接。具體來說，TBMi(i=1,2,…,n-1)由左同步滑輪i(LTPi)、右同步滑輪i(RTPi)和同步帶i(TBi)組成，LTPi的角度通過同步帶TBi傳遞給RTPi，LTPi與平衡連桿i的關節Si以及SGi的旋轉軸同軸，與SGi固定，RTPi與SGi+1同軸并固定連接。使用Si表示圖7中的轉動關節i，表示第5節中球形關節i。

圖7 平面串聯連桿機構的平面重力補償機構

由于n個連桿串聯機構可視為n個解耦子系統，如果每個子系統都是重力平衡的，那么整個系統的勢能將是恒定的，即整個系統的重力平衡就會實現。根據式(3)(15)，平衡子系統i的平面重力補償單元i的彈簧剛度ki可以確定為

(16)

其中：mi表示平衡連桿i的質量；mci表示平面重力補償單元i的質量；lmi表示平衡連桿i相對于關節Si的旋轉軸的質心；lci表示平面重力補償單元i相對于關節Si的旋轉軸的質心；li表示關節Si軸線到關節Si+1軸線的距離；ri表示平面重力補償單元i的曲柄半徑。

對于一組特殊的空間機構，其近端第一個關節α的旋轉軸與重力方向平行，其他所有關節Si垂直于同一偏航面，由于第一關節α不受重力力矩的影響，可以根據所提的平面重力補償器進行平衡。

4 空間串聯連桿的重力平衡

4.1 空間重力補償單元

具有定點轉動的單連桿機構的空間重力補償單元如圖8所示。當平面重力補償單元以γ角繞其縱軸旋轉，且連桿1所在的垂直面可能以相對于原垂直面o-xy的偏航角α轉向偏航面時，需對其修改以適應空間固定點旋轉。

圖8 空間重力補償單元等效原理

對于旋角γ，它對平衡連桿的重力勢能沒有影響，即自旋運動不應傳遞到空間重力補償單元，因此在連桿1與平面重力補償單元之間的連接處增加了旋轉關節R1。對于偏航角α，轉動-轉動-圓柱鏈(R4R3C)替換平面重力補償單元中SG與底座之間的固定連接，連桿3固定在SG上。R4R3C鏈限制SG的兩次旋轉，使SG軸保持在一定的水平面內，并阻止SG繞其軸旋轉，以傳遞垂直方向運動或力。在平面重力補償單元中，SG與底座固定連接，不能繞自身軸旋轉。而在空間重力補償單元中，R4R3C模擬了這種連接，即SG不能繞關節R2旋轉，但關節R2可繞垂直方向進行空間平移和旋轉，以適應連桿1的偏航運動。平面重力補償單元替換為關節R2，其軸線與SG的軸線對齊，且有一個等效的扭矩τc由作用在連桿2上的平面重力補償單元提供，它將最終平衡空間重力補償單元和平衡連桿的重力。顯然，存在一個反力矩-τc作用在連桿3上，連桿1和空間重力補償單元形成一個由6個關節組成的閉環R4R3CR2R1S。在確定連桿1的方向后，即鎖住關節S，空間重力補償單元應成為具有零自由度的正則構型，即：

(17)

式中：f表示循環的自由度；ci表示關節i的連接數量；d為機構所在空間的維數；l為閉環的個數。

空間重力補償單元在關節R2處被拆卸分為上、下兩部分，如圖9所示。下半部分中，R4R3C的3個關節軸是豎直且非共面的，R2的軸線垂直于由連桿3的形狀所確定的C軸。這個運動鏈使連桿3能夠在空間中自由平移，并繞垂直軸旋轉。關節R2軸線被約束在某個平面1上。上半部分中，關節R1軸線與連桿1的方向HJ重合，經過關節S。關節R2軸線與線HJ垂直，顯然四邊形IJKL總是一個矩形[13]。關節R2下半部分和上半部分是同一個關節，連接時重疊。關節R2軸線的兩個約束，即關節R2軸線在平面1和平面2上，需要同時滿足。因此關節R2軸線與連桿1為相互垂直。根據上述幾何關系，連桿2與y軸的夾角等于連桿1與y軸的傾角β。

圖9 空間重力補償單元的分解

4.2 空間串聯連桿的重力平衡方法

當連桿旋轉時，旋轉中心往往會漂移[14]，當關節S的中心漂移時，機構不阻止平衡連桿的運動。圖10中3種類型關節的不同排列方式導致了不同的重力平衡性能。

圖10 空間重力補償單元3種類型的靜力特性

圖10(a)中，關節R2的軸LI不一定要經過關節S的中心H，即機械關節不一定與解剖關節對齊。在連桿1的旋轉過程中，始終保留了第4.1節中的運動特性，矩形IJKL的形狀沒有改變，這使得在按照式(15)確定彈簧剛度時，整個系統的勢能保持不變。這樣，就實現了完全的引力平衡[15]。當關節S的旋轉中心H因人體關節的解剖特征而漂移時，整個機構可視為一個等效系統：關節S的旋轉中心H保持靜止，但關節R4的旋轉中心N沿某一方向具有三維位移。R4R3C鏈可以完全自行補償點N的三維位移而不影響其他部位，即關節C以上部位的位姿保持靜止，平衡條件成立。R4R3C鏈的姿態因點N的運動而改變，但對機構的平衡性能沒有影響。當關節S的旋轉中心H移動時，空間重力補償單元仍然可以保持完全的重力平衡。

圖10(b)中的類型要求關節R2的LI軸精確地通過關節S的中心H，否則當連桿1旋轉時，矩形IJKL將不再成立，直線LK與y軸的夾角將不再等于傾斜角β，從而無法實現完全的重力平衡。顯然，當關節S的中心H漂移時，就不能滿足上述要求，從而無法實現完全的重力平衡。

圖10(c)中的類型也需要R2的LI軸通過中心H。其他分析與圖10(b)相似。當關節S的中心H漂移時，無法實現完全的重力平衡。

由于篇幅所限，本文作者僅討論基于空間重力補償單元型的R4R3CR2R1空間串聯連桿的重力平衡方法，重力平衡機構可以通過如圖11所示的方法構建。

圖11 空間補償的構建方法

在實際實施中，通過TBM傳遞垂直方向的方法，關節被平衡地串聯在連桿運動過程中，氣缸體積較小，不需要較大的空間，且空間重力補償單元與串聯連桿之間能夠避免干擾。關節1R4 與底座固定連接，SG1、LTP1和連桿1L3固定連接，RTP1與連桿2L0固定連接。連桿2L3、LTP2和SG2固定連接。

5 機器人重力補償仿真分析

5.1 仿真設置

文中進行了兩次仿真，以驗證機器人的重力補償性能。假設一個人的質量和身高分別為m=70 kg和H=170 cm。根據統計數據，上臂(平衡連桿1)和前臂(平衡連桿2)的長度分別為l1=0.186H=0.316 2 m和l2=0.146H=0.248 2 m，對應質量m1=0.028m=1.96 kg和m2=0.016m=1.12 kg。上臂質心與肩關節S1之間的距離為lm1=0.436l1=0.137 9 m，上臂質心與肘關節S2之間的距離為lm2=0.43l2=0.106 7 m，手被簡化為位于前臂遠端S3的點質量m3=0.006m=0.42 kg。空間重力補償單元i的質量為mci(mc1=mc2=1 kg)，空間重力補償單元i的質心與關節Si軸線之間沿x軸的距離為lci(lc1=lc2=0.06 m)，空間重力補償單元i的質心相對于肢體o-xy平面的偏移量為loi(lo1=lo2=0.065 m)，空間重力補償單元i具有半徑為ri的曲柄(r1=0.048 m，r2=0.045 m)，根據式(16)確定空間重力補償單元i的彈簧剛度ki(k1=19 284 N/m，k2= 5 492.8 N/m)。盂肱關節相當于3個轉動關節α、β、γ，肘關節簡化為關節δ。在后續的兩次仿真中，上肢在初始構型中沿x軸的正方向姿勢，即點E的初始坐標為rE(0)=(l1+l20 0]T。

(1) 上臂運動的仿真

仿真如圖12所示，關節γ、δ被鎖定，上肢點E的遠端由關節α、β驅動，并在橢球面上做螺旋運動。這個運動在o-zy平面上的投影是一個半徑逐漸增大的螺旋，由一個帶半軸a和b的橢圓包圍，其軌跡表示如下：

(18)

圖12 上臂運動的仿真

其中：T為運動的總時間，T∈[0，T]為當前時間；n為T中螺旋的圈數。

從逆運動學分析關節的動作模式，即α(t)和β(t)可以得到解決。在仿真中，T=20 s，n=2，A=(l1+l2)sin80°，B=(l1+l2)sin60°。因此，在仿真過程中，α∈[-80°，80°]，β∈[-60°，60°]。

(2)前臂運動的仿真

仿真如圖13所示，在此仿真中，關節α和β始終處于鎖定狀態。該仿真由兩個階段組成，其對應的運動時間為T1和T2。第一階段，前臂由關節δ驅動，使遠端按五階多項式定律沿關節E旋轉δT1=90°。

(19)

圖13 前臂運動的仿真

其中：t∈[0,T1]，五階多項式施加了約束：δ(0)=δ′(0)=δ′(T1)=δ″(0)=δ″(T1)=0和δ(T1)=δT1。

第二階段，點E在關節γ和δ的驅動下在橢球面上做螺旋運動。這個運動在o-xy平面上的投影是一個半徑逐漸增大的螺旋，被具有半軸a和b的橢圓所限定，軌跡表示為

(20)

其中：t∈[T1,T1+T2]。

從逆運動學分析，在關節的驅動模中式，當t∈[T1,T1+T2]，可以求解γ(t)和δ(t)，在仿真中，T1=5 s，T2=15 s，n=2，A=(l1+l2)sin10°，B=(l1+l2)sin80°。

5.2 仿真結果

在運動學仿真中，外骨骼與上肢之間未發現干擾。仿真1和仿真2的4個關節α、β、γ和δ的扭矩分別如圖14和圖15所示，比較了上肢佩戴帶彈簧(平衡)和不帶彈簧(不平衡)的外骨骼時每個關節的期望扭矩，期望扭矩由逆動力學得到。在仿真1中，如圖14所示，平衡后β關節內的扭矩降低到非常低的水平(-0.075～0.1 N·m)，平衡前的扭矩為6～14 N·m。由于動作運動較慢，關節α、γ和δ中的扭矩相對較小。

圖14 上臂運動平衡前后的關節力矩

圖15 前臂運動平衡前后的關節力矩

在仿真2中，如圖15所示，平衡后關節β和γ中的扭矩降低到非常低的水平，分別為0～0.05 N·m和-0.04～0.07 N·m，無彈簧的扭矩分別為10.4～13.8 N·m和0～2.7 N·m。由于動態運動，關節α和δ中的扭矩相對較小。兩次仿真的力矩曲線表明：該機構能夠很好地平衡自身重力和上肢重力，而不會對其他關節施加其他的力矩，驗證了所提機構的重力平衡性能和所提設計方法的有效性。

6 結論

本文作者介紹了一種可穿戴式機器人空間重力平衡機構的設計，可有效避免平衡連桿旋轉中心與補償器軸線不對中的問題。總結如下：

(1)將空間多連桿串聯機構的重力勢能視為多個子系統的重力勢能之和，在平衡連桿的偏航面旋轉中，設計了平面重力補償單元，然后將補償單元改裝成空間重力補償單元，以適應平衡連桿的一般性旋轉。

(2)為平面單連桿設計了重力補償單元，并推廣到通過按順序組合重力補償單元和同步帶結構來實現平面串聯連桿的重力補償。將RRC和R關節添加到平面重力補償單元中，從而實現單連桿與空間固定點旋轉相平衡。

(3)通過對空間重力補償的仿真分析，驗證了重力平衡性能和所提設計方法的有效性。由于其符合人機耦合系統和重力平衡性能，能在可穿戴式機器人的重力平衡機構中得到有效利用。