分裂齒集中繞組永磁游標電機電磁轉(zhuǎn)矩特性分析

馬澤軒，劉旭，劉福貴

(1.省部共建電工裝備可靠性與智能化國家重點實驗室(河北工業(yè)大學(xué))，天津 300401；2.河北省電磁場與電器可靠性重點實驗室(河北工業(yè)大學(xué))，天津 300130；3.河北工業(yè)大學(xué)電氣工程學(xué)院，天津 300130)

0 前言

永磁游標電機(Permanent Magnet Vernier Motor，PMVM)因其高轉(zhuǎn)矩密度和相對簡單的機械結(jié)構(gòu)而成為低速、高轉(zhuǎn)矩直驅(qū)應(yīng)用領(lǐng)域的有力競爭者[1-6]。PMVM的磁通調(diào)制極與磁齒輪中的鐵芯具有相同的磁場調(diào)制功能，從而實現(xiàn)磁齒輪效應(yīng)。因此，PMVM可以提供類似磁齒輪的高轉(zhuǎn)矩密度[2]。根據(jù)定子齒和繞組配置的不同[7]，PMVM主要有兩類，即單齒分布繞組PMVM和分裂齒集中繞組PMVM。后者具有端部繞組短、電機尺寸小和容錯性能好的優(yōu)點[8-9]。雖然兩者均采用表貼式結(jié)構(gòu)，但在定轉(zhuǎn)子外徑相同的情況下，分裂齒集中繞組PMVM的轉(zhuǎn)矩脈動比前者大。經(jīng)有限元仿真驗證兩款電機的齒槽和磁阻轉(zhuǎn)矩相差不大，因此后者轉(zhuǎn)矩脈動主要來源為電磁轉(zhuǎn)矩[10-11]。關(guān)于分裂齒數(shù)選擇，當(dāng)定轉(zhuǎn)子外徑相同、定子齒數(shù)為6，繞組配置為集中繞組時，不同分裂齒數(shù)產(chǎn)生電磁轉(zhuǎn)矩性能不同，分裂齒數(shù)分別為2、3、4時對比，齒數(shù)為3時電磁轉(zhuǎn)矩最大脈動較小[10]。

計算永磁電機電磁轉(zhuǎn)矩可采用3種方法[12-14]：洛倫茲力法，此法精確度很高但很難確定導(dǎo)電區(qū)域中的磁密分布，適用于有限元仿真；能量法，此法僅需計算反電勢，過程方便但很難準確計算瞬時轉(zhuǎn)矩，適用于解析法計算平均轉(zhuǎn)矩；麥克斯韋應(yīng)力張量法，此法可計算各次諧波產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩且僅需計算氣隙徑向及切向磁密分量，精確度較高，適用于半解析法計算。磁場調(diào)制原理可以從氣隙磁場調(diào)制諧波相互作用的角度解釋電磁轉(zhuǎn)矩產(chǎn)生機制[15]，通過分析得出產(chǎn)生電磁轉(zhuǎn)矩的各次諧波，結(jié)合麥克斯韋應(yīng)力張量法可以直觀分析各次諧波對電磁轉(zhuǎn)矩的影響，此方法適用于分析磁齒輪效應(yīng)電機[16-20]。

為此，針對分裂齒集中繞組PMVM的電磁轉(zhuǎn)矩特性進行分析。本文作者基于磁場調(diào)制原理對6槽18調(diào)制極(定子齒數(shù)為6，分裂齒數(shù)為3)32轉(zhuǎn)子極PMVM的電磁轉(zhuǎn)矩特性進行分析，建立PMVM的磁動勢磁導(dǎo)模型并得出產(chǎn)生平均轉(zhuǎn)矩及轉(zhuǎn)矩脈動的主次諧波，采用麥克斯韋應(yīng)力張量法計算瞬時轉(zhuǎn)矩以得出各主次諧波對平均轉(zhuǎn)矩和轉(zhuǎn)矩脈動的影響。通過有限元仿真對以上分析結(jié)果進行驗證。

1 PMVM的結(jié)構(gòu)

6槽18調(diào)制極32轉(zhuǎn)子極PMVM的拓撲如圖1所示。

圖1 6槽18調(diào)制極32轉(zhuǎn)子極PMVM拓撲

圖1中，分裂齒集中繞組PMVM具有分裂齒表貼式的定轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)，轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)簡單，永磁體交替徑向充磁安裝在轉(zhuǎn)子上。采用三相集中式繞組，每相繞組分為2組，各自繞制在1個定子齒上，且每個定子槽內(nèi)包含兩相的部分繞組，每3個分裂齒即調(diào)制極在定子齒末端。該電機的主要結(jié)構(gòu)參數(shù)見表1。

表1 PMVM主要結(jié)構(gòu)參數(shù)

2 PMVM氣隙磁密諧波

2.1 永磁體作用下氣隙磁密諧波

永磁體作用下氣隙磁密諧波將由該電機的永磁體磁動勢和定子調(diào)制極磁導(dǎo)模型得出，因轉(zhuǎn)子鐵芯表面光滑對氣隙磁場無調(diào)制作用暫不建模。推導(dǎo)該電機氣隙磁密所用模型的基本結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 分裂齒集中繞組PMVM的示意

需要注意，采用此方法分析氣隙磁場時需滿足以下假設(shè)：(1) 忽略該電機的漏磁，鐵芯局部飽和，端部效應(yīng)。(2) 只考慮永磁體的徑向磁密且相對磁導(dǎo)率與空氣相同。

2.1.1 永磁體磁動勢模型

根據(jù)圖2，永磁體產(chǎn)生的磁動勢模型如圖3所示，關(guān)鍵結(jié)構(gòu)參數(shù)已在圖中標出。

圖3 永磁體磁動勢模型

圖中：θm為永磁體弧長，F(xiàn)m為永磁體磁動勢幅值。對該模型進行傅里葉分解，得出永磁體磁動勢模型的公式FPM(θ，t)為

(1)

式中：ω為轉(zhuǎn)子機械角速度；Pm為永磁體極對數(shù)；θ為轉(zhuǎn)子對應(yīng)在調(diào)制極上的角度；θ0為定轉(zhuǎn)子相差的初始角度；i為傅里葉次數(shù)，僅含奇數(shù)次諧波；t為時間；Fi為傅里葉系數(shù)。

2.1.2 調(diào)制極氣隙磁導(dǎo)模型

根據(jù)圖2，調(diào)制極磁導(dǎo)模型如圖4所示，關(guān)鍵結(jié)構(gòu)參數(shù)已在圖中標出。

圖4 調(diào)制極磁導(dǎo)模型

對該模型進行傅里葉分解，得出調(diào)制極磁導(dǎo)模型公式P(θ)為

(2)

其中：Ns為定子齒數(shù)；n為傅里葉次數(shù)；P0、Pn為傅里葉系數(shù)；Ph、Pl為調(diào)制極磁導(dǎo)的幅值；θ1為調(diào)制極的半齒弧長；θ2為槽開口弧長。

2.1.3 永磁體作用下氣隙磁密諧波

永磁體作用下氣隙磁密模型的公式Br為

Br(θ，t)=FPM(θ，t)P(θ)

(3)

將公式(1)(2)代入公式(3)得：

(4)

根據(jù)公式(4)可以得出永磁體產(chǎn)生氣隙磁密的諧波次數(shù)(極對數(shù))和轉(zhuǎn)速，如表2所示。

表2 永磁體氣隙磁密諧波特性

諧波1為永磁體單獨作用下產(chǎn)生，諧波2、3為永磁體經(jīng)過調(diào)制極調(diào)制后產(chǎn)生。其中諧波3轉(zhuǎn)速有正負兩種情況，當(dāng)極對數(shù)為負時轉(zhuǎn)速為負，即諧波旋轉(zhuǎn)方向與轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)方向相反。

2.2 電樞繞組作用下氣隙磁密諧波

電樞繞組作用下氣隙磁密諧波將由電樞繞組磁動勢和定子調(diào)制極磁導(dǎo)模型得出，假設(shè)條件與永磁體求解時相同，同樣忽略轉(zhuǎn)子鐵芯磁導(dǎo)，示意如圖2所示。

2.2.1 電樞繞組磁動勢模型

根據(jù)圖2，電樞繞組產(chǎn)生的磁動勢模型如圖5所示。此時僅為電樞繞組在定子齒部分(不包括調(diào)制極部分)產(chǎn)生的磁動勢，關(guān)鍵結(jié)構(gòu)參數(shù)已在圖中標出。

圖5 電樞繞組磁動勢模型

對該模型進行傅里葉分解，得出電樞繞組磁動勢模型公式FABC(θ，t)為

FABC(θ，t)=FA(θ，t)+FB(θ，t)+FC(θ，t)

(5)

(6)

(7)

(8)

式中：F0、F1為傅里葉系數(shù)；F為磁動勢幅值，F(xiàn)=NC·i(t)，NC為繞組匝數(shù)，i(t)為三相正弦電流；θ3為定子半齒弧長；q為傅里葉次數(shù)。將公式(6)—(8)代入公式(5)中得：

(9)

式中：ωe為電角速度；m為正整數(shù)；FABC1為傅里葉系數(shù)；φ為電樞電流初始角。

2.2.2 電樞繞組作用下氣隙磁密諧波

電樞繞組作用下氣隙磁密模型的公式BrABC為

BrABC(θ，t)=FABC(θ，t)P(θ)

(10)

將公式(2)(9)代入式(10)，當(dāng)q=2+6m時：

(11)

當(dāng)q=4+6m時：

(12)

根據(jù)公式(11)(12)可以得出電樞繞組產(chǎn)生氣隙磁密的諧波次數(shù)和轉(zhuǎn)速，總結(jié)如表3、4所示。

表3 電樞繞組氣隙磁密諧波特性(q=2+6m)

表4 電樞繞組氣隙磁密諧波特性(q=4+6m)

表3、4中諧波1為電樞繞組單獨作用下產(chǎn)生，諧波2、3為電樞繞組磁動勢經(jīng)過調(diào)制極調(diào)制后產(chǎn)生。諧波3轉(zhuǎn)速有正負兩種情況，當(dāng)極對數(shù)使轉(zhuǎn)速為負時，其旋轉(zhuǎn)方向與轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)方向相反。

3 電磁轉(zhuǎn)矩產(chǎn)生機制

根據(jù)磁場調(diào)制原理，永磁體氣隙磁密諧波和電樞繞組氣隙磁密諧波之間產(chǎn)生轉(zhuǎn)矩的條件[10]歸納如下：(1)兩者有相同的極對數(shù)和機械速度，產(chǎn)生平均轉(zhuǎn)矩。(2)兩者有相同的極對數(shù)，但機械速度不同，產(chǎn)生轉(zhuǎn)矩脈動。(3)兩者極對數(shù)不同，不產(chǎn)生轉(zhuǎn)矩。

結(jié)合表2—4中兩者氣隙磁密諧波次數(shù)(極對數(shù))和轉(zhuǎn)速的表達式，推導(dǎo)出產(chǎn)生平均轉(zhuǎn)矩和轉(zhuǎn)矩脈動的諧波次數(shù)，從中選取幅值較大的主次諧波，即傅里葉系數(shù)較小的諧波。通過有限元驗證并利用麥克斯韋應(yīng)力張量法計算各主次諧波產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩大小。

3.1 產(chǎn)生平均轉(zhuǎn)矩和轉(zhuǎn)矩脈動的諧波

永磁體氣隙磁密諧波特性如表2中所示，選取傅里葉系數(shù)較小、幅值較大的主次諧波。電樞繞組氣隙磁密諧波特性如表3、4所示，選取傅里葉系數(shù)較小、幅值較大的主次諧波。

總結(jié)以上兩者氣隙磁密主次諧波次數(shù)及轉(zhuǎn)速如表5所示。

表5 永磁體及電樞繞組氣隙磁密主次諧波次數(shù)及轉(zhuǎn)速

表5中4、8、10、14、22、48次諧波部分對應(yīng)轉(zhuǎn)速未給出，由表2—4可知滿足該諧波的傅里葉系數(shù)較大，諧波幅值較小，不屬于主次諧波。

因此永磁體氣隙磁密諧波與電樞繞組氣隙磁密諧波次數(shù)和機械轉(zhuǎn)速相同產(chǎn)生平均轉(zhuǎn)矩的諧波次數(shù)為2、16、20、34、38、52、56、70，機械轉(zhuǎn)速不同產(chǎn)生轉(zhuǎn)矩脈動的諧波次數(shù)為80。

對以上分析結(jié)果進行有限元仿真驗證，分別仿真空載時永磁體氣隙磁密和去掉永磁體時電樞繞組氣隙磁密整個電周期內(nèi)的幅值和相位角度變化。由幅值可知兩者氣隙磁密中的主次諧波，由相位角的變化周期可得出該諧波的電轉(zhuǎn)速。

永磁體氣隙磁密及諧波特性仿真結(jié)果如圖6所示，電樞繞組氣隙磁密及諧波特性仿真結(jié)果如圖7所示。

圖7 電樞繞組氣隙磁密及諧波特性仿真結(jié)果

圖6(a)、7(a)分別為兩者氣隙磁密波形仿真結(jié)果，圖6(b)、7(b)對應(yīng)為兩者氣隙磁密波形的傅里葉分解結(jié)果，主次諧波次數(shù)和推導(dǎo)結(jié)果一致。圖6(b)中16次諧波即16對極永磁體單獨產(chǎn)生的氣隙磁密基波(i=1)幅值最大，其次為永磁體氣隙磁密基波(i=1)和18極調(diào)制極(Nsn=3)調(diào)制產(chǎn)生的34次諧波，永磁體單獨產(chǎn)生的氣隙磁密3次諧波(i=3)即48次諧波。圖7(b)中2次諧波即2對極電樞繞組單獨產(chǎn)生的氣隙磁密基波(q=2)幅值最大，其次為電樞繞組單獨產(chǎn)生的氣隙磁密二次諧波(q=4)即4次諧波，電樞繞組氣隙磁密基波和18極調(diào)制產(chǎn)生的16次諧波。圖6(c)、7(c)分別為兩者氣隙磁密主次諧波幅值整個電周期內(nèi)變化情況，結(jié)果顯示幅值幾乎不變，說明諧波調(diào)制來源穩(wěn)定。圖6(d)、7(d)分別為兩者氣隙磁密主次諧波相位角度整個電周期內(nèi)變化情況，圖6(d)中48、80次諧波為兩圖中剩余諧波電周期的3倍和5倍，剩余諧波電周期均相同，與推導(dǎo)結(jié)果一致。

3.2 各主次諧波對轉(zhuǎn)矩的影響

雖然已得出產(chǎn)生平均轉(zhuǎn)矩和轉(zhuǎn)矩脈動的諧波次數(shù)，但其對轉(zhuǎn)矩的具體影響未知。利用麥克斯韋應(yīng)力張量法和有限元仿真計算各主次諧波產(chǎn)生的平均轉(zhuǎn)矩以得出其產(chǎn)生轉(zhuǎn)矩在總平均轉(zhuǎn)矩中的占比，計算整個電周期內(nèi)瞬時轉(zhuǎn)矩以得出各主次諧波產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩脈動，以此確定主要影響平均轉(zhuǎn)矩和轉(zhuǎn)矩脈動的諧波次數(shù)。

麥克斯韋應(yīng)力張量法計算電磁轉(zhuǎn)矩的公式為

(13)

式中：R為電機氣隙半徑；μ0為真空相對磁導(dǎo)率；Lef為電機有效軸長；Br、Bt分別為電機負載時氣隙磁密的徑向分量和切向分量；Tk(t)是由k次諧波產(chǎn)生的電磁轉(zhuǎn)矩分量，其計算公式為

(14)

式中：Brk、Btk分別為Br、Bt的第k次傅里葉系數(shù)；θrk、θtk分別為對應(yīng)的相位弧度角。

有限元仿真得出該電機負載時(電流角φ為零)氣隙徑向磁密和切向磁密諧波幅值和對應(yīng)的相位弧度角。代入式(14)求解以上各主次諧波所產(chǎn)生的平均轉(zhuǎn)矩，得出其在該電機平均轉(zhuǎn)矩中的占比。該電機的瞬時轉(zhuǎn)矩仿真結(jié)果如圖8所示，平均轉(zhuǎn)矩為21.41 N·m。平均轉(zhuǎn)矩占比計算結(jié)果如圖9和表6所示。結(jié)果表明：16次諧波即由永磁體的氣隙磁密基波和電樞繞組與調(diào)制極調(diào)制產(chǎn)生的氣隙磁密基波，貢獻了絕大部分平均轉(zhuǎn)矩，占比為98.83%。可見該電機平均轉(zhuǎn)矩主要由永磁體氣隙磁密基波和電樞繞組及調(diào)制極調(diào)制的氣隙磁密基波產(chǎn)生。

表6 各主次諧波在總平均轉(zhuǎn)矩中的占比

圖8 電機瞬時轉(zhuǎn)矩

圖9 各主次諧波在總平均轉(zhuǎn)矩中的占比

由圖6(b)、7(b)可知，永磁體氣隙磁密基波幅值比后者大，因此可改變永磁體的用量和形狀增大其產(chǎn)生的氣隙磁密基波以提升平均轉(zhuǎn)矩。2、20、38、56次諧波轉(zhuǎn)速方向為負，提供負轉(zhuǎn)矩。所得主要工作諧波次數(shù)與理論分析一致。

分析影響該電機轉(zhuǎn)矩脈動的諧波次數(shù)，分別求出該電機各主次諧波產(chǎn)生的瞬時轉(zhuǎn)矩，計算各諧波產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩脈動，得出其在所有主次諧波產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩脈動中的占比。根據(jù)式(13)可知，總瞬時轉(zhuǎn)矩為各諧波瞬時轉(zhuǎn)矩的疊加。

各主次諧波產(chǎn)生的瞬時轉(zhuǎn)矩仿真結(jié)果如圖10和表7所示。

表7 各主次諧波在總轉(zhuǎn)矩脈動中的占比

圖10 各主次諧波的瞬時轉(zhuǎn)矩

結(jié)果表明：占比最大的諧波為16、34、48次，16次諧波產(chǎn)生了最大的轉(zhuǎn)矩脈動，占所有主次諧波產(chǎn)生轉(zhuǎn)矩脈動總和的25.56%，其次為48次和34次諧波，占比14.42%和12.31%，三者占所有主次諧波產(chǎn)生轉(zhuǎn)矩脈動總和的52.29%。因為磁場調(diào)制作用各次氣隙磁密諧波調(diào)制來源并不唯一，可通過氣隙磁密諧波特性表達式看出，除傅里葉系數(shù)較小、幅值較大、轉(zhuǎn)速較慢的基波分量，還有傅里葉系數(shù)較大、幅值較小、轉(zhuǎn)速較快的高次分量，由于兩者諧波次數(shù)相同、轉(zhuǎn)速不同，使其產(chǎn)生轉(zhuǎn)矩脈動。圖10(a)可以看出：除80次諧波外其他諧波的瞬時轉(zhuǎn)矩波動較多，這是由其諧波所含高次分量導(dǎo)致。而80次諧波的瞬時轉(zhuǎn)矩波形較規(guī)律說明其諧波來源比較單一為基波分量，產(chǎn)生規(guī)則的轉(zhuǎn)矩脈動，與理論分析一致。

4 結(jié)語

本文作者針對分裂齒集中繞組PMVM電磁轉(zhuǎn)矩的產(chǎn)生機制，對6槽18調(diào)制極32轉(zhuǎn)子極PMVM的電磁轉(zhuǎn)矩特性進行分析。通過建立永磁體和電樞繞組單獨作用下的磁動勢和磁導(dǎo)模型，推導(dǎo)出相應(yīng)的氣隙磁密諧波次數(shù)和旋轉(zhuǎn)速度。從磁通調(diào)制原理角度解釋該電機的電磁轉(zhuǎn)矩產(chǎn)生機制，分析電磁轉(zhuǎn)矩特性，利用麥克斯韋應(yīng)力張量法計算了各主次氣隙磁場調(diào)制諧波產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩，確定了各主次諧波對該電機電磁轉(zhuǎn)矩的影響。通過有限元仿真對以上分析結(jié)果進行了驗證。結(jié)果表明：該電機的電磁平均轉(zhuǎn)矩絕大部分由16次諧波產(chǎn)生，占比98.83%；轉(zhuǎn)矩脈動主要由16、34、48次諧波產(chǎn)生，占比52.29%。PMVM電磁平均轉(zhuǎn)矩的來源主要為永磁體產(chǎn)生的氣隙磁密基波，因此可改變永磁體的用量和形狀，增大其產(chǎn)生的氣隙磁密基波，以提升PMVM電磁轉(zhuǎn)矩性能。

文中主要針對分裂齒集中繞組PMVM的電磁轉(zhuǎn)矩特性進行分析，未來可根據(jù)分析結(jié)果優(yōu)化電機永磁體結(jié)構(gòu)、提升電磁轉(zhuǎn)矩性能，同時也可從磁齒輪效應(yīng)角度分析該電機的電磁轉(zhuǎn)矩特性。