以“圓錐曲線”教學為例談數形結合思想的滲透

? 江蘇省靖江市第一高級中學 聞 君

數形結合將抽象思維轉化為形象思維,從而實現抽象、復雜問題直觀化、形象化,凸顯數學本質,促進學生分析和解決問題能力的提升[1].數形結合實現了“數”與“形”相互溝通,其為數學學習提供方向,有利于數學能力和數學素養的發展與提升.

“圓錐曲線”既是高中數學的重點,也是教學難點,還是高考的考點,其在高中數學教學中的地位和價值是不言而喻的.在“圓錐曲線”教學中,教師中應該重視滲透“數形結合”思想,以此借助圖形的形象、直觀激發學生的學習興趣,加深相關知識的理解,幫助學生突破教學的重難點,提高學生應用相關知識解決問題的能力.那么在圓錐曲線教學中,如何發揮數形結合思想方法的優勢,以助學生更好地把握知識,提高教學有效性呢?以下筆者結合自己的教學經驗談幾點粗淺的認識,供參考!

1 巧借數形結合,促進知識理解

高中范圍內圓錐曲線主要包括橢圓、雙曲線和拋物線這三大板塊,這三大板塊的內容具有一定的抽象性和相似性.在日常教學中,若教師直接呈現相關概念、結論等讓學生熟記,很容易造成混淆,從而影響解題效果和學習信心.基于此,在研究定義、性質等相關內容時,教師不妨滲透數形結合思想,以此充分發揮圖形直觀的優勢,幫助學生在腦海中形成清晰的知識脈絡,建構完善的知識體系[2].

例如,在學習“橢圓”的定義時,為了讓學生更好地理解橢圓的定義,教師可以先引導學生將文字語言轉化為符號語言——|MF1|+|MF2|=2a(其中|F1F2|<2a),在此基礎上,借助圖形來觀察△MF1F2,并引導學生利用“三角形的三邊關系”去理解定義,以此加深對“|F1F2|<2a”的理解.學習了雙曲線的定義后,教師可以用同樣的方式讓學生理解,為什么定義中強調“|F1F2|>2a”.這樣通過文字語言、符號語言和圖形語言的相互轉化,學生腦海中有了圖形和定義,日后在研究圓錐曲線的標準方程時,自然可以借助圖形獲得等量關系,從而輕松地實現由“形”到“數”的轉化,增強學習信心.

又如,在教學“拋物線的定義”時,教師可以利用幾何畫板進行演示,讓學生體會“數隨形動”,借助幾何直觀獲得其中的數量關系,得到拋物線的定義.這樣借助形使拋物線的定義更加生動形象,更易于學生理解和掌握,以便學生建立關于拋物線的圖形和數量關系的知識體系,為數學知識的應用打下堅實的基礎.

2 巧借數形結合,直觀把握性質

在日常教學中發現,學生能夠快速地求出圓錐曲線的標準方程,但是在描述各量之間的關系,并用蘊含其中的數量關系解決問題時,部分學生常感無從下手.究其原因就是學生的腦海中并未建立直觀圖形,這樣學生在表述其中蘊含的數量關系時就顯得缺乏邏輯性和層次感.基于此,教學中,教師若能借助圖形將其中蘊含的數量關系直觀地表示出來,定能達到事半功倍的效果.

例如,橢圓標準方程中引入a,b,c三個量,教學中教師不僅要讓學生知道相關的量分別代表的幾何意義,還要提供機會讓學生去提煉其中的等量關系.在實際教學中,為了讓學生更好地把握知識,教師給出圖1～4所示的圖形讓學生觀察、抽象.如對于圖1,M是橢圓上一點,F1,F2為橢圓的焦點,則有|MF1|+|MF2|=2a;對于圖2,若橢圓的長軸端點分別為A,B,F1,而F2為橢圓左、右焦點,則|AF1|+|AF2|=|AF1|+|BF1|=2a;對于圖3,若橢圓短軸端點是C,D,則|CF1|+|CF2|=2a,|CF1|=|CF2|=a;對于圖4,結合勾股定理,易得a2=b2+c2.這樣借助圖形的直觀可以幫助學生更好地理解其中蘊含的數量關系,從而為解題帶來便利.

圖1

圖2

圖3

圖4

學習了圓錐曲線的相關性質后,教師不要急于讓學生去記憶,應該嘗試引導學生借助圖形去分析、去抽象、去感悟,這樣可以使圓錐曲線的性質更加直觀、形象,以此幫助學生直觀化地把握性質,有效提高解題效率和解題準確率.

3 巧借數形結合,將幾何問題代數化

在學習數學的過程中,既要借助形的直觀來理解數,也要用數的嚴謹分析形,通過形與數的相互轉化,形成正確的解題思路,提升學生分析和解決問題的能力.

例如,直線與圓錐曲線的位置關系是高考的一個重要考點.在研究位置關系時,若僅從形的角度去觀察,顯然不具說服力,為此在研究位置關系時,需要將幾何問題代數化,運用代數知識來解決.在研究位置關系時,教師可以鼓勵學生聯想研究圓與直線位置關系的方法,利用方程思想解決問題,通過判斷一元二次方程的實根個數,確定圓錐曲線與直線的位置關系.

在學習的過程中,教師要有意識地引導學生進行新舊知識的類比,通過新與舊的有效溝通,提高學生自主探究能力,幫助學生建構完善的體系.

4 巧借數形結合,拓展數學思維

數與形是相互聯系的有機整體,二者相互補充,密不可分.在研究圓錐曲線中的數量關系和幾何關系時,教師要有意識地引導學生將二者有效地聯系在一起,通過彼此的相互轉化實現化抽象為具體、化無形為有形,幫助學生快速地形成解題策略,提高解題效率[3].

總之,無論是從加深知識理解的角度,還是從提升解題能力的角度來分析,研究圓錐曲線離不開“數”與“形”的相互轉化.因此,在日常教學中,教師要將“數形結合”思想方法融于圓錐曲線的課堂教學實踐中,讓學生充分感知數形結合的應用價值,以此培養數形結合意識,提升學生數學核心素養.