發(fā)揮信息技術(shù)優(yōu)勢 提升課堂教學(xué)效果
——幾何畫板在探究直線和圓的位置關(guān)系中的應(yīng)用

? 江蘇省蘇州市桃塢高級中學(xué)校 吳久輝

數(shù)學(xué)是一門比較抽象的學(xué)科,有些內(nèi)容僅憑教師單方面的講授學(xué)生很難理解和掌握.基于此,在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師有必要更新教學(xué)方式和教學(xué)手段,將抽象的內(nèi)容生動、直觀地呈現(xiàn)出來,這樣既易于學(xué)生理解和掌握,又可以調(diào)動學(xué)生參與的積極性,有利于深度學(xué)習(xí)的達(dá)成.而將信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)相結(jié)合,可以將知識系統(tǒng)、直觀地呈現(xiàn)出來,有效淡化數(shù)學(xué)知識的抽象感,使數(shù)學(xué)課堂豐富起來、生動起來,切實(shí)提升課堂教學(xué)效果[1].在“直線和圓的位置關(guān)系”教學(xué)中,筆者借助幾何畫板,將圓與直線的位置關(guān)系形象、直觀、準(zhǔn)確地呈現(xiàn)出來,在幫助學(xué)生理解知識的同時,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣,提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).現(xiàn)結(jié)合具體案例,談?wù)剮缀萎嫲宓慕虒W(xué)優(yōu)勢.

1 巧借幾何直觀,促進(jìn)理解

解析幾何既是教學(xué)重點(diǎn),也是教學(xué)難點(diǎn),許多學(xué)生在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時容易產(chǎn)生畏難情緒,從而影響最終學(xué)習(xí)效果.確實(shí),對于初學(xué)解析幾何的高一新生來講,這部分內(nèi)容比較抽象,涉及層面較廣,綜合應(yīng)用比較靈活,僅憑教師講授很難讓學(xué)生將相關(guān)知識、方法等學(xué)懂、吃透.在實(shí)際教學(xué)中,為了讓學(xué)生更加直觀地感悟直線與圓的位置關(guān)系,大多教師會滲透數(shù)形結(jié)合思想,以期借助形的直觀淡化問題的抽象性,幫助學(xué)生克服畏難情緒,提高學(xué)生參與課堂的積極性.在具體實(shí)施過程中,教師若選擇課上手工繪圖,這樣不僅會浪費(fèi)寶貴的課堂時間,而且難以準(zhǔn)確表達(dá)蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)關(guān)系.而利用幾何畫板可以有效解決以上問題,快速、直觀、準(zhǔn)確地呈現(xiàn)圖形,更易于學(xué)生理解和掌握.

案例1中點(diǎn)軌跡問題

教學(xué)中,教師設(shè)計了如下幾個問題:

(1)已知P是定圓O上一動點(diǎn),Q為圓O外一定點(diǎn),連接PQ,M是PQ的中點(diǎn),當(dāng)P在圓O上運(yùn)動時,點(diǎn)M的軌跡是什么?

(2)已知P是定圓O上一動點(diǎn),點(diǎn)Q在過圓心O的定直線上,且線段PQ為定長,M是PQ的中點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動時,點(diǎn)M的軌跡又是什么?

(3)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,P,Q分別為y軸和x軸上的兩動點(diǎn),且線段PQ為定長,M是PQ的中點(diǎn),當(dāng)動點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動時,M的軌跡又是什么?

教學(xué)中,教師先讓學(xué)生思考并提出自己的猜想,然后運(yùn)用幾何畫板進(jìn)行動態(tài)演示,讓學(xué)生借助圖形進(jìn)一步觀察(如圖1～圖3),幫助學(xué)生加深對中點(diǎn)軌跡問題的理解.通過直觀演示可以輕松得到如下結(jié)論:問題(1)中,中點(diǎn)M的運(yùn)動軌跡是圓;問題(2)中,中點(diǎn)M的運(yùn)動軌跡是橢圓;問題(3)中,中點(diǎn)M的運(yùn)動軌跡是圓.

圖1

圖2

圖3

這樣借助幾何畫板就將中點(diǎn)軌跡的三個問題直觀、快速、準(zhǔn)確地呈現(xiàn)出來了.通過經(jīng)歷以上過程,學(xué)生可以感受軌跡的產(chǎn)生過程,有利于培養(yǎng)空間意識,提升直觀想象素養(yǎng).另外,通過動態(tài)展示,抽象的問題會變得更加直觀、簡潔、生動,便于理解和掌握.通過經(jīng)歷以上過程,還可以幫助學(xué)生積累豐富的活動經(jīng)驗(yàn),有利于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和核心素養(yǎng).

2 借助直觀精準(zhǔn),促進(jìn)發(fā)現(xiàn)

直線與圓相結(jié)合的圖形運(yùn)動問題是高考的一個重要考點(diǎn),該類型的題目比較抽象,具有一定難度.在日常教學(xué)中,若教師僅是就題論題式的講授,將影響學(xué)生知識體系的建構(gòu),不利于學(xué)生解決問題能力的提升.因此在實(shí)際教學(xué)中,教師不妨借助多媒體的直觀化、系統(tǒng)化、精準(zhǔn)化,引導(dǎo)學(xué)生對相關(guān)知識進(jìn)行歸納總結(jié),讓學(xué)生的腦海中形成清晰的知識脈絡(luò),從而提高遷移水平[2].

對于兩個非同心圓的一般方程,若將兩圓的一般方程作差,則得到一個二元一次方程,即一條直線l的方程.該直線與已知兩圓可能會有一定的特殊的關(guān)系,這是一個值得探究的問題.兩圓的位置關(guān)系有多種,受其影響,直線l與兩圓的特定關(guān)系也會有所不同.這種不同很難單純地靠說或板書來表達(dá),教學(xué)中可著重演示這一動態(tài)變化過程,引導(dǎo)學(xué)生在變化中逐漸抽象概括,從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律.在具體實(shí)施過程中,教師不妨借助幾何畫板來動態(tài)演示,引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、抽象概括等過程,提高教學(xué)實(shí)效性.

案例2直線和兩圓的位置與方程的關(guān)系

教學(xué)中,教師以兩圓相交這一位置關(guān)系為引例,開啟探究之旅:

問題如圖4,作兩相交圓圓O1和圓O2,其交點(diǎn)為M,N,令點(diǎn)M,N所在直線為l,在直線l上取一點(diǎn)P(異于點(diǎn)M,N),過點(diǎn)P分別作圓O1和圓O2的切線PE,PF,連接O1O2.結(jié)合圖形,說說你有何發(fā)現(xiàn)?

圖4

學(xué)生通過直觀觀察易于發(fā)現(xiàn):(1)在直線l上任取一點(diǎn)作兩圓的切線,則切線長相等;(2)直線l與兩圓的連心線垂直.基于以上發(fā)現(xiàn),教師讓學(xué)生度量兩圓及直線的方程,觀察、猜想并驗(yàn)證它們之間的關(guān)系.猜想及證明過程如下:

猜想:若圓O1和圓O2相交,則直線l的幾何意義是兩圓的公共弦所在的直線.

在此基礎(chǔ)上,教師讓學(xué)生繼續(xù)思考:兩圓相離、相切或內(nèi)含時,是否有符合以上條件的直線l?這樣借助幾何畫板的直觀、快速、準(zhǔn)確,打開了學(xué)生的思維大門,讓學(xué)生對蘊(yùn)含于圖形中的一些特殊結(jié)論了然于心,有利于提升學(xué)生學(xué)習(xí)信心,發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3 提供實(shí)踐機(jī)會,提升素養(yǎng)

幾何畫板是研究幾何問題的重要工具,可以將抽象的知識和復(fù)雜的問題直觀地展示出來,從而為知識的理解和問題的解決提供便利.在現(xiàn)實(shí)教學(xué)中,幾何畫板以教師操作為主,這樣雖然高效,但是學(xué)生的思路被教師牽著走,學(xué)生的發(fā)現(xiàn)局限于教師的預(yù)設(shè)中,影響學(xué)生創(chuàng)新意識的培養(yǎng).在實(shí)際教學(xué)中,教師可以提供機(jī)會讓學(xué)生自己操作,這樣既可以調(diào)動學(xué)生參與的積極性,又能激活學(xué)生的思維,提高學(xué)生的動手探究能力和創(chuàng)造力.在課堂教學(xué)中,只有真正將主動權(quán)交給學(xué)生,才能充分釋放學(xué)生的無限潛能,提升學(xué)習(xí)品質(zhì)和教學(xué)有效性[3].

案例3和兩個定圓相切的動圓圓心軌跡

如圖5,已知兩定圓O1和O2的半徑分別為r1,r2,動圓M與兩圓相外切.

圖5

(1)如果兩定圓相離,那么圓心M的軌跡是什么?

(2)如果兩定圓外切,情況會怎樣?

(3)如果兩定圓相交、內(nèi)含、內(nèi)切,又能得到怎樣的結(jié)論?

(4)如果兩定圓內(nèi)切于動圓M,圓心M的軌跡又會怎樣呢?

對于以上問題,若直接讓學(xué)生推理分析,容易滋生學(xué)生的畏難情緒,因此教師不妨提供機(jī)會讓學(xué)生動手實(shí)踐探究,讓學(xué)生通過操作、觀察、分析、歸納等活動輕松地解決問題.另外,通過動手實(shí)踐探究形成的直觀認(rèn)識,會給后續(xù)的推理驗(yàn)證提供助力,有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)、分析和解決問題能力的提升.

事實(shí)證明,適度地將幾何畫板等多媒體技術(shù)應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中,可以使抽象、枯燥的數(shù)學(xué)知識變得形象、直觀、生動,可以有效激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣,從而讓學(xué)生的學(xué)變得更加積極、主動.值得注意的是,在實(shí)際操作中,教師切勿獨(dú)攬課堂,要提供機(jī)會讓學(xué)生去操作、去發(fā)現(xiàn),這對學(xué)生提高自主探究能力、發(fā)展直觀想象素養(yǎng)、提升數(shù)學(xué)思維能力等都是極其有益的.同時,教學(xué)中要提供機(jī)會讓學(xué)生去合作、交流,讓學(xué)生充分體會繪圖的樂趣以及體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)的喜悅,充分激發(fā)學(xué)生的主體性和主動性,促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落實(shí).

總之,幾何畫板作為優(yōu)質(zhì)的教學(xué)軟件,操作簡單,功能強(qiáng)大,將其應(yīng)用于教學(xué)能發(fā)揮傳統(tǒng)教學(xué)無法比擬的作用.在實(shí)際教學(xué)中,教師要適時、適度、適當(dāng)?shù)丶右詰?yīng)用,充分發(fā)揮其直觀、生動、快捷等優(yōu)勢,加快新知內(nèi)化進(jìn)程,助力學(xué)生全面提升.