采用聯(lián)合算法識(shí)別人-橋耦合系統(tǒng)時(shí)變模態(tài)參數(shù)

方露，彭佳敏

（福建農(nóng)林大學(xué)交通與土木工程學(xué)院，福州 350002）

0 引言

在人致激勵(lì)下，人行橋的頻率和阻尼比不可避免地會(huì)發(fā)生變化[1]，這使得其在服役過(guò)程中存在嚴(yán)重的安全隱患。為監(jiān)控服役期間人行橋的安全狀態(tài)，需對(duì)其頻率和阻尼比進(jìn)行識(shí)別。獲得自由衰減振動(dòng)信號(hào)是識(shí)別人行橋時(shí)變模態(tài)參數(shù)的首要工作。當(dāng)人行橋受到近似周期性激勵(lì)時(shí)，其響應(yīng)信號(hào)由強(qiáng)迫振動(dòng)分量和自由衰減振動(dòng)分量?jī)蓚€(gè)部分構(gòu)成[2]。因此，通過(guò)解析模態(tài)分解（Analytical Mode Decomposition,AMD）[3]等分解方法可以獲取自由衰減振動(dòng)信號(hào)[4]。然而，受測(cè)量方法和噪聲的影響，自由衰減振動(dòng)信號(hào)的獲取結(jié)果可能存在失真情況，這導(dǎo)致阻尼診斷結(jié)果相對(duì)頻率的識(shí)別結(jié)果而言偏差較大[5]。為此，本文引入差分自回歸移動(dòng)平均模型（Autoregressive Integrated Moving Average Model, ARIMA）[6]對(duì)失真處的信號(hào)進(jìn)行預(yù)測(cè)。目前，基于自由衰減振動(dòng)信號(hào)識(shí)別結(jié)構(gòu)時(shí)變阻尼比的主要方法有連續(xù)小波變換（Continuous Wavelet Transform,CWT）[7]和同步擠壓小波變換（Synchrosqueezing Wavelet Transform,SWT）[8]等。然而，CWT在低頻信號(hào)的處理過(guò)程中頻率分辨率較低[9]，從而降低了阻尼比識(shí)別結(jié)果的精度。雖然SWT通過(guò)同步擠壓操作可以提高頻率分辨率，但也會(huì)造成對(duì)數(shù)形式的SWT系數(shù)模值曲線(xiàn)產(chǎn)生不平穩(wěn)現(xiàn)象，從而影響了阻尼比的識(shí)別效果。作為一種新的瞬時(shí)頻率識(shí)別方法，多重同步提取變換（Multi-Synchrosqueezing Extracting Transform, MSSET）[10]不僅擁有較高的時(shí)頻分辨率，而且具有穩(wěn)定的時(shí)頻系數(shù)模值。因此，本文基于AMD、ARIMA和MSSET算法提出了一種識(shí)別人-橋耦合系統(tǒng)時(shí)變模態(tài)參數(shù)的聯(lián)合方法。通過(guò)人橋耦合數(shù)值算例和華威人行試驗(yàn)橋?qū)λ岱椒ㄟM(jìn)行了驗(yàn)證。研究表明：聯(lián)合方法可以有效解決多種因素下自由衰減振動(dòng)信號(hào)提取結(jié)果不準(zhǔn)確的問(wèn)題。此外，該方法識(shí)別的瞬時(shí)頻率和時(shí)變阻尼比曲線(xiàn)可以清晰地表征行人空間位置變化對(duì)鋼-混組合人行橋頻率和阻尼比的變化趨勢(shì)。

1 聯(lián)合方法

聯(lián)合方法結(jié)合了AMD、ARIMA和MSSET等算法。首先，通過(guò)AMD從人-橋耦合系統(tǒng)響應(yīng)信號(hào)中分解出人行橋在人行荷載激勵(lì)下被激發(fā)的模態(tài)分量信號(hào)。當(dāng)人行橋作受迫振動(dòng)時(shí)，AMD分解獲得的模態(tài)分量信號(hào)即為自由衰減振動(dòng)分量信號(hào)。然后，根據(jù)時(shí)頻方法識(shí)別的瞬時(shí)頻率和對(duì)數(shù)時(shí)頻系數(shù)模值曲線(xiàn)的結(jié)果，判斷并舍棄自由衰減振動(dòng)信號(hào)中失真的部分。在此之后，采用ARIMA預(yù)測(cè)該失真部分的信號(hào)。最后，結(jié)合MSSET識(shí)別第一階豎向模態(tài)振型分量信號(hào)和自由衰減振動(dòng)信號(hào)的MSSET系數(shù)及瞬時(shí)頻率，再將MSSET系數(shù)模值以對(duì)數(shù)的形式表示并推導(dǎo)瞬時(shí)頻率、MSSET系數(shù)模值與阻尼比三者之間的函數(shù)關(guān)系，從而最終估算出系統(tǒng)的時(shí)變阻尼比。其中，有關(guān)AMD、ARIMA和MSSET的詳細(xì)內(nèi)容可參考文獻(xiàn)[3]、[6]和[10]，在此不再贅述。本文主要闡述瞬時(shí)頻率、MSSET系數(shù)模值與阻尼比三者之間函數(shù)關(guān)系的推導(dǎo)過(guò)程。

在t時(shí)刻有阻尼的單自由度振動(dòng)系統(tǒng)的自由衰減振動(dòng)幅值信號(hào)為XA（t）=Aef0 t，（f0=－ξωn），將XA（t）經(jīng)過(guò)MSSET后得到的MSSET系數(shù)如式（1）所示：

式中，g贊ω（·）為緊支高斯窗函數(shù)gω（·）的傅里葉變換。

由于MSSET提取的結(jié)果為瞬時(shí)頻帶而非時(shí)頻脊線(xiàn)，因此，本文引入模極大值法求取MSSET的時(shí)頻脊線(xiàn)，如式（2）所示：

式中，k為時(shí)頻圖中頻率軸的最大值，c為MSSET系數(shù)矩陣的維數(shù)，P（t，η）為T(mén)MSSET（t，η）的模極大值。

在得到MSSET系數(shù)和瞬時(shí)頻率之后，人-橋耦合系統(tǒng)時(shí)變阻尼比的具體估算過(guò)程如下。

在式（1）中，當(dāng)ω=f0時(shí)，g贊（ω－f0）=1。此時(shí)，可得

將式（3）左右兩邊先同時(shí)取絕對(duì)值，再將其結(jié)果以對(duì)數(shù)形式表示，如式（4）所示：

式（4）兩邊同時(shí)對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)，可得時(shí)頻系數(shù)、瞬時(shí)頻率和阻尼比之間的函數(shù)關(guān)系，如式（5）所示：

式中，ωMSSET為人-橋耦合系統(tǒng)的瞬時(shí)圓頻率。

2 數(shù)值算例驗(yàn)證

2.1 人-橋耦合有限元模型的建立

2.1.1 連續(xù)步行荷載模型

本文采用傅里葉級(jí)數(shù)表示具有近似周期性的連續(xù)步行荷載模型[11]。為符合我國(guó)國(guó)民的體質(zhì)，本文行人模型的體重和步頻參數(shù)根據(jù)文獻(xiàn)[12]分別選取626.34 N和1.77 Hz。最終模擬的連續(xù)步行激勵(lì)荷載曲線(xiàn)如圖1所示。根據(jù)參考文獻(xiàn)[11]，人行橋上所施加的連續(xù)步行激勵(lì)如式（6）和圖2所示。

圖1 連續(xù)步行激勵(lì)荷載曲線(xiàn)

圖2 連續(xù)步行激勵(lì)豎向加速度曲線(xiàn)

式中：Fh為連續(xù)步行荷載，N；W為行人體重，N；g為重力加速度。

2.1.2 人-橋耦合模型

通過(guò)ABAQUS建立連續(xù)鋼-混凝土組合人行橋模型，如圖3所示。該人行橋總跨長(zhǎng)為16 m，共兩跨，每跨8 m，橋面凈寬為1.6 m，板內(nèi)布置雙層鋼筋網(wǎng)，布置情況均為?8@200 mm。人行橋中的主梁和橫梁均采用H型鋼梁。鋼筋和混凝土面板的彈性模量E和泊松比等材料參數(shù)如表1所示。

表1 鋼筋混凝土面板材料參數(shù)

圖3 鋼-混組合人行橋有限元模型

通過(guò)ABAQUS計(jì)算獲得人行橋的一階和二階豎向彎曲模態(tài)頻率分別為9.816 Hz。根據(jù)規(guī)范ISO 10137，將鋼-混組合人行橋模型的阻尼比設(shè)定為0.6%[13]。

在人-橋耦合系統(tǒng)中，行人應(yīng)作為一個(gè)獨(dú)立的動(dòng)力系統(tǒng)依附在人行橋上。根據(jù)文獻(xiàn)[14]，本文通過(guò)彈簧阻尼器連接兩個(gè)不同的質(zhì)量塊建立SMD人體模型。行人模型的剛度設(shè)為14.11 kN/m，阻尼比為0.3[15]。將質(zhì)量塊與橋面之間的摩擦因數(shù)設(shè)為0。為防止行人模型行進(jìn)時(shí)發(fā)生穿刺現(xiàn)象，將行人模型與橋面的法向?qū)傩远x為硬接觸以此實(shí)現(xiàn)人橋耦合，如圖4所示。然后，設(shè)定人體模型以1 m/s沿縱橋方向勻速行進(jìn)，將隱式動(dòng)力分析步中默認(rèn)施加的重力加速度替換為式（6）中的豎向加速度Ah。

圖4 人-橋耦合有限元模型

2.2 數(shù)值算例結(jié)果

設(shè)定分析步時(shí)間間隔為2 ms，對(duì)組合人行橋進(jìn)行隱式動(dòng)力分析，提取鋼-混組合人行橋左側(cè)跨中的加速度響應(yīng)信號(hào)，如圖5所示。從圖5可以觀察到行人剛進(jìn)入人行橋時(shí)產(chǎn)生了較大的沖擊，然后隨著行人的行進(jìn)響應(yīng)逐漸增大，當(dāng)行至跨中位置時(shí)達(dá)到頂峰，隨后逐漸減小。對(duì)鋼-混組合人行橋響應(yīng)信號(hào)進(jìn)行快速傅里葉變換，結(jié)果如圖6所示。在圖6中，0～9 Hz范圍內(nèi)的5個(gè)分量信號(hào)為5個(gè)強(qiáng)迫振動(dòng)分量信號(hào)，而在9～12 Hz區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)的信號(hào)為人行橋一階豎向彎曲模態(tài)振型的分量信號(hào)。根據(jù)文獻(xiàn)[2]、[4]可知該信號(hào)也為自由衰減振動(dòng)分量信號(hào)（圖6中方框）。選取截止頻率為9.6 Hz和13 Hz，采用AMD分解獲得的自由衰減振動(dòng)分量信號(hào)如圖7所示。

圖5 鋼-混組合人行橋響應(yīng)信號(hào)

圖6 鋼-混組合人行橋響應(yīng)信號(hào)FFT幅值圖

圖7 AMD分解獲得的自由衰減振動(dòng)響應(yīng)信號(hào)

通過(guò)觀察圖7可知：在14～16 s區(qū)域，自由衰減振動(dòng)響應(yīng)信號(hào)并未較好地呈現(xiàn)出遞減的現(xiàn)象，其原因是受到了提取方法的限制以及結(jié)構(gòu)阻尼衰減的影響。為解決此問(wèn)題，本文采用ARIMA對(duì)14～16 s區(qū)域的信號(hào)進(jìn)行預(yù)測(cè)，其最終得到的預(yù)測(cè)模型為ARIMA（19, 0, 0），預(yù)測(cè)的自由衰減振動(dòng)分量信號(hào)如圖8所示。通過(guò)對(duì)比圖7和8可知：圖8在14～16 s區(qū)域中信號(hào)衰減的現(xiàn)象更為明顯。

圖8 預(yù)測(cè)后鋼-混組合人行橋自由衰減振動(dòng)響應(yīng)信號(hào)

采用附加移動(dòng)質(zhì)量法獲得人行橋固有頻率理論值[11]，設(shè)定每次移動(dòng)的距離為1000 mm，最終得到圖9和10中黑色實(shí)線(xiàn)所示的理論固有頻率曲線(xiàn)。將AMD分解出的自由衰減振動(dòng)信號(hào)和預(yù)測(cè)后的自由衰減振動(dòng)信號(hào)分別進(jìn)行CWT、SWT、SET和MSSET處理得到系統(tǒng)的瞬時(shí)頻率曲線(xiàn)，如圖9和10所示。從圖9可知：CWT（十字實(shí)線(xiàn)）和SWT（菱形點(diǎn)線(xiàn)）識(shí)別的瞬時(shí)頻率曲線(xiàn)無(wú)法反映人行橋在服役狀態(tài)下的時(shí)變特性，而SET（菱形虛線(xiàn)）和MSSET（圓形虛線(xiàn)）識(shí)別的結(jié)果可以很好地表現(xiàn)出時(shí)變特性，其中MSSET的效果最佳（圖9矩形框）。對(duì)比圖9與10可知：圖10在14～16 s區(qū)域中各算法識(shí)別的頻率結(jié)果與理論值更為吻合（圖10矩形框所示）。

圖9 預(yù)測(cè)前鋼-混組合人行橋瞬時(shí)頻率

圖10 預(yù)測(cè)后鋼-混組合人行橋瞬時(shí)頻率

對(duì)AMD分解獲得的自由衰減振動(dòng)信號(hào)及其預(yù)測(cè)后信號(hào)分別進(jìn)行CWT、SWT、SET和MSSET處理，提取各算法時(shí)頻系數(shù)模值并以對(duì)數(shù)形式表示，如圖11和圖12所示。在圖11和圖12中，除了在14～16 s區(qū)域外，相比SWT，CWT、SET和MSSET均較好地保持了對(duì)數(shù)時(shí)頻系數(shù)模值的穩(wěn)定性。然后，通過(guò)線(xiàn)性最小二乘擬合對(duì)數(shù)時(shí)頻系數(shù)模值曲線(xiàn)，如圖11和圖12中虛線(xiàn)所示。

圖11 預(yù)測(cè)前時(shí)頻系數(shù)對(duì)數(shù)模值圖及其擬合曲線(xiàn)

圖12 預(yù)測(cè)后時(shí)頻系數(shù)對(duì)數(shù)模值圖及其擬合曲線(xiàn)

在獲取各算法識(shí)別的瞬時(shí)頻率和對(duì)數(shù)時(shí)頻系數(shù)模值之后，根據(jù)式（5）估算人-橋耦合系統(tǒng)的時(shí)變阻尼比，如圖13和14所示。從圖13和圖14可以得知：除14～16 s之外的時(shí)間范圍內(nèi)，MSSET和SET的識(shí)別結(jié)果精度高于CWT和SWT的識(shí)別結(jié)果，即MSSET和SET的識(shí)別結(jié)果與理論阻尼比值（理論阻尼比值為0.6%）更為接近，其中MSSET的識(shí)別結(jié)果略高于SET的識(shí)別結(jié)果（圖13矩形框所示）。此外，從圖13和14可以觀察到：行人在行進(jìn)時(shí)，阻尼比在逐漸增大。當(dāng)行人行至各跨跨中時(shí)，阻尼比值達(dá)到峰值，隨后又在逐漸減小。通過(guò)對(duì)比圖13與圖14可知：圖14在14～16 s區(qū)域中各算法識(shí)別的時(shí)變阻尼比結(jié)果與理論值更為吻合（圖14矩形框所示）。

圖13 預(yù)測(cè)前鋼-混組合人行橋時(shí)變阻尼比

圖14 預(yù)測(cè)后鋼-混組合人行橋時(shí)變阻尼比

3 試驗(yàn)驗(yàn)證

在本節(jié)中，采用文獻(xiàn)[16]提供的華威橋試驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)證明聯(lián)合方法的有效性。華威橋是單跨鋼-混組合人行橋，全長(zhǎng)19.9 m，橋體由混凝土面板和兩根H型鋼梁組成。該橋在一階豎向彎曲模態(tài)振型下的頻率為2.4 Hz，模態(tài)阻尼比為0.3%[16]。試驗(yàn)時(shí)，測(cè)試者在華威橋上近似勻速行走，使其位置隨時(shí)間而變化，從而實(shí)現(xiàn)了人-橋耦合系統(tǒng)的時(shí)變特性。此次試驗(yàn)采用QA加速度傳感器和NI9234采集卡獲取步行激勵(lì)下人行橋垂直方向的加速度，采樣頻率為100 Hz。

本文截取測(cè)試者返程時(shí)走過(guò)全橋的加速度信號(hào)，時(shí)長(zhǎng)約為11 s，如圖15所示。從圖15可知：當(dāng)行人逐漸行至跨中時(shí)，華威橋的響應(yīng)逐漸增大并在跨中位置達(dá)至頂峰，隨后逐漸減小。將其響應(yīng)信號(hào)經(jīng)過(guò)CWT處理得到圖16所示的小波量圖，其中處于2 Hz的分量信號(hào)為激勵(lì)信號(hào)，2.4 Hz的分量信號(hào)為人行橋受步行激勵(lì)而產(chǎn)生的一階豎向彎曲模態(tài)信號(hào)。

圖15 華威橋響應(yīng)信號(hào)

圖16 華威橋響應(yīng)信號(hào)小波量圖

選取AMD的截止頻率分別為2.2 Hz和4.0 Hz，從華威橋響應(yīng)信號(hào)中分解出圖16中2.4 Hz處的分量信號(hào)。將分解出的信號(hào)經(jīng)過(guò)CWT、SWT、SET和MSSET處理后得到該信號(hào)的瞬時(shí)頻率，如圖17所示，其中，黑色實(shí)線(xiàn)是根據(jù)文獻(xiàn)[11]求得的公式值。從圖17可以看出：相比于其他3種方法，MSSET不僅能夠更穩(wěn)定地反映出頻率隨行人空間位置發(fā)生的變化趨勢(shì)，而且具有更高的時(shí)頻分辨率。

圖17 華威橋瞬時(shí)頻率識(shí)別結(jié)果圖

文獻(xiàn)[16]采集的自由衰減振動(dòng)信號(hào)如圖18所示。類(lèi)似地，分別采用CWT、SWT、SET和MSSET處理自由衰減振動(dòng)信號(hào)得到各算法時(shí)頻系數(shù)的對(duì)數(shù)模值，通過(guò)最小二乘擬合各對(duì)數(shù)模值曲線(xiàn)得到各曲線(xiàn)的斜率，如圖19虛線(xiàn)所示。

圖18 預(yù)測(cè)前華威橋自由衰減振動(dòng)響應(yīng)信號(hào)

圖19 預(yù)測(cè)前華威橋時(shí)頻系數(shù)對(duì)數(shù)模值曲線(xiàn)圖及其擬合曲線(xiàn)

由于自由衰減振動(dòng)信號(hào)末端的能量相對(duì)較小，因而容易被噪聲淹沒(méi)并產(chǎn)生一定的誤差，這導(dǎo)致CWT對(duì)數(shù)模值曲線(xiàn)在尾部失真。為改善此問(wèn)題，通過(guò)ARIMA對(duì)85～100 s的自由衰減振動(dòng)信號(hào)（如圖20）進(jìn)行預(yù)測(cè)，經(jīng)計(jì)算，其預(yù)測(cè)模型為ARIMA（19, 0, 7），失真區(qū)域信號(hào)的預(yù)測(cè)結(jié)果如圖21所示。對(duì)比圖20和圖21可知，經(jīng)預(yù)測(cè)后的信號(hào)曲線(xiàn)更光滑，信號(hào)幅值遞減趨勢(shì)更顯著。為更好地表征目標(biāo)信號(hào)，圖22給出了0～100 s的預(yù)測(cè)自由衰減振動(dòng)信號(hào)。

圖20 預(yù)測(cè)前85～100 s華威橋自由衰減振動(dòng)響應(yīng)信號(hào)

圖21 預(yù)測(cè)后85～100 s華威橋自由衰減振動(dòng)響應(yīng)信號(hào)

圖22 預(yù)測(cè)后華威橋自由衰減振動(dòng)響應(yīng)信號(hào)

類(lèi)似地，將預(yù)測(cè)后的信號(hào)分別進(jìn)行CWT、SWT、SET和MSSET處理，得到其時(shí)頻系數(shù)模值并以對(duì)數(shù)表示，結(jié)果如圖23所示。通過(guò)對(duì)比圖19（a）、（b）和圖23（a）、（b）圖可以觀察到：CWT和SWT處理預(yù)測(cè)后信號(hào)所得到的時(shí)頻系數(shù)對(duì)數(shù)模值曲線(xiàn)比未預(yù)測(cè)的結(jié)果更加理想，遞減的趨勢(shì)更趨于穩(wěn)定。然后，通過(guò)線(xiàn)性最小二乘擬合得到各算法對(duì)數(shù)模值曲線(xiàn)的斜率值，如圖23虛線(xiàn)所示。

圖23 預(yù)測(cè)后華威橋時(shí)頻系數(shù)對(duì)數(shù)模值曲線(xiàn)圖及其擬合曲線(xiàn)

根據(jù)式（5）估算華威橋時(shí)變阻尼比，結(jié)果如圖24和圖25所示。從圖24和圖25可知：人行橋在服役期間，其阻尼比將隨行人空間位置變化而變化；相比于其他算法，MSSET的識(shí)別結(jié)果更能清晰穩(wěn)定地體現(xiàn)出人行橋的時(shí)變模態(tài)參數(shù)隨行人空間變化而引起的變化趨勢(shì)。通過(guò)對(duì)比圖24和圖25可知：ARIMA可以顯著地改善CWT和SWT算法的阻尼比識(shí)別效果。因此，本文提出的方法不僅可以較好地解決提取自由衰減振動(dòng)信號(hào)中尾部信號(hào)不夠精確的問(wèn)題，而且基于該方法識(shí)別的時(shí)變模態(tài)參數(shù)具有更高的精確度。

圖24 預(yù)測(cè)前華威橋時(shí)變阻尼比曲線(xiàn)圖

圖25 預(yù)測(cè)后華威橋時(shí)變阻尼比曲線(xiàn)圖

4 結(jié)語(yǔ)

為更加準(zhǔn)確地識(shí)別服役狀態(tài)下鋼-混組合人行橋的時(shí)變模態(tài)參數(shù)，本文從人-結(jié)構(gòu)相互作用的角度出發(fā)，提出了一種基于AMD、ARIMA和MSSET等算法的人-橋耦合系統(tǒng)時(shí)變模態(tài)參數(shù)聯(lián)合算法。最后，通過(guò)數(shù)值算例和步行試驗(yàn)對(duì)文中方法的有效性和準(zhǔn)確性進(jìn)行了驗(yàn)證。研究結(jié)果表明：聯(lián)合方法可以有效解決自由衰減振動(dòng)信號(hào)提取結(jié)果不準(zhǔn)確的問(wèn)題，并且該方法識(shí)別的瞬時(shí)頻率和時(shí)變阻尼比曲線(xiàn)可以清晰地表征行人空間位置變化對(duì)鋼-混組合人行橋頻率和阻尼比的變化趨勢(shì)。