少齒差剛柔復合擺線減速器靜態特性分析

黃思語，唐源，李晴朝，劉彥霆，唐健凱，吳昊

（中國核動力研究設計院核反應堆系統設計技術重點實驗室，成都 610213）

0 引言

少齒差行星減速器有著尺寸小、減速比大、可靠性強、方便加工的優點，同時還具有運行穩定、受載能力高、振動小、傳動效率高的運轉優點，所以其在國防軍事、醫療器械、航天航空等精密領域被廣泛應用。吳素珍等[1]以自主研發的工業機器人關節減速器齒輪副為研究對象，考慮齒寬、齒隙和表面粗糙度等因素，采用有限元法分析不同工況下漸開線少齒差行星齒輪的接觸應力應變，發現理論計算和有限元法的結果基本一致；Li[2]使用有限元方法研究了帶有加工誤差、組裝誤差、輪齒變形等因素的少齒差齒輪接觸強度和彎曲強度問題；Chavadaki等[3]運用有限元法分析了兩種FGM材料AISI4140合金和Ti6242S合金在不同齒根半徑下的彎曲應力和變形，發現與根部半徑為1.2 mm的Ti6242S合金相比，根部半徑為1.2 mm的AISI4140合金的變形更小；Bekheet[4]對漸開線齒廓進行建模，并進行了應力和變形分析的有限元仿真，仿真結果與用AGMA彎曲和接觸應力方程進行估算的結果比較，發現2D模型比3D模型更準確，同時材料的彈性模量對接觸應力有很大影響；Chang[5]采用柔性齒輪轉子驅動急回機構，研究了轉子-機構耦合效應，采用有限元法和哈密頓方法建立系統模型，得到系統的動態響應并討論了齒輪轉子對急回機構三維振動的耦合作用；翟聰等[6]對一種新型少齒差行星減速器箱體受載情況進行靜力學分析，改進后進行有限元模態分析，并對比分析了減速器的轉頻和嚙合頻率；黃偉等[7-9]分析了金屬橡膠材料的力學性能，建立一對剛柔復合齒輪副的動力學模型及方程并進行動態特性分析，針對復合齒輪副進行振動性能驗證，說明了加入耐高低溫、抗腐蝕的金屬橡膠材料后的復合齒輪副比金屬齒輪副減速器齒輪傳動中的振動沖擊減小，傳動更平穩，且傳動效率也有所改善。

國內外學者對少齒差行星減速器及齒輪剛柔耦合模型均展開了大量研究，但是關于減速器齒輪副剛柔耦合有限元特性分析等方面還有一定的提升空間與研究價值，本文便針對這方面展開研究。

1 少齒差行星傳動結構原理與傳動特性分析

考慮到減速器尺寸大小與成本，為了壓縮少齒差行星減速器的體積尺寸，將圖1（a）所示傳統雙排雙聯齒輪結構改進換成如圖1（b）所示的單排雙聯齒輪結構，該減速器主要傳動部件包括輸入偏心套、固定內齒圈（Z4）、行星輪也是雙聯齒輪（Z2、Z3）、行星架、輸出輪（Z1）。改進后的偏心套筒與雙聯齒輪通過軸承連接，不影響其繞輸出軸線公轉，也不影響其自轉。圖1（b）中，內齒圈4固定，偏心軸套H輸入，帶動單排雙聯齒輪繞偏心軸的軸線轉動，還和輸入軸套一起繞著輸出軸軸線回轉，雙聯齒輪的內齒輪2帶動輸出小齒輪1輸出運動，實現減速，雙聯齒輪3和固定內齒輪4在下方嚙合時，輸出齒輪1和雙聯齒輪2在上方嚙合，二者之間的力可以相互抵消一部分，改善了減速器的受力情況，有效減少振動。

圖1 少齒差減速器結構改進示意圖

1.1 少齒差行星傳動理論傳動比計算

該NN型少齒差行星齒輪傳動比可依據行星齒輪傳動的方法計算（如圖1（b）），雙聯齒輪2、3作為行星輪，既繞著偏心軸自轉，還繞著輸出軸公轉，計算過程如下：

通用公式：

而

則：

得：

由于：

可得：

1.2 減速器傳動原理

根據軸承和齒輪參數在MATLAB里畫出復合擺線齒廓后，在SolidWorks里建立少齒差行星減速器三維裝配模型如圖2所示。

圖2 新型少齒差復合擺線減速器示意圖

輸入端軸承3和輸出端軸承13起支承內齒圈11也相當于機座的作用；偏心端軸承5在偏心套7上偏心安裝，起支承偏心套作用，帶動銷軸套9公轉，使通過開槽螺釘15固連的雙聯齒輪能夠作偏心運動，既可以自轉，同時繞輸出端中心線公轉。輸出端16通過8個六角螺釘17與輸出小齒輪18固連，開槽螺釘1固連輸入端端蓋2以及內齒圈11。當電動機帶動偏心套繞機座中心轉動時，偏心端軸承把偏心套的轉動通過銷軸套傳遞給固連的雙聯齒輪，而內齒圈11固定不動，所以雙聯齒輪繞輸出輪軸線做偏心公轉運動，同時雙聯齒輪繞偏心套中心所做的運動為反向自轉運動。雙聯外齒輪與固定內齒圈這第一對齒輪副相嚙合實現第一級傳動，雙聯內齒輪與輸出小齒輪這第二對齒輪副相嚙合，完成第二級傳動。

2 剛柔復合齒輪副有限元特性分析

2.1 聚氨酯彈性體彈性模量

聚氨酯作為一種有機高分子材料，其材料力學性能的可操作空間很大，控制結晶的剛性鏈段和不結晶的柔性鏈段的組成比例，聚氨酯彈性體就可以獲得不一樣的力學性能[10]，這決定了其具有良好的力學強度、耐磨損、耐高低溫、承載能力大、輔助降噪、加工性能好、成本低、壽命長等優異性能。將其用于新型少齒差復合擺線雙聯齒輪副中，對于齒輪運轉過程中吸振、減振有重要作用。

彈性體的力學參數中對齒輪副影響最大的就是彈性模量，氨基甲酸酯組成剛性鏈段，聚酯或聚醚組成柔性鏈段，它們的化學結構和物理性質的不同使這兩者不能結合而形成微區結構[11-12]，可以通過改變微區結構性能來實現對彈性模量的變量控制，聚氨酯彈性體的彈性模量決定了在一定的負載下剛柔復合齒圈角度的轉動量，為了建立有限元分析模型，需要對彈性體的彈性模量最小值進行分析。

根據徐濤等[13]的設計思路，將CSF-25減速器的扭轉剛度作為聚氨酯彈性體變形量的計算條件。可以直接使用諧波減速器測試扭轉剛度時的轉矩與轉角之比作為扭轉剛度的參考值，查閱諧波減速器產品手冊，CSF-25諧波減速器扭轉剛度kg為1.2×104N·m/rad。

在雙聯齒輪之間填充8個間隔相同距離的完全一樣的彈性體，如圖3所示，通過其彈性變形吸收振動沖擊并過濾掉噪聲，同時可以傳遞一部分轉矩，在雙聯齒輪間以及銷軸上均設計間隙，使減速器齒輪在控制范圍內能產生微小的浮動，雙聯齒輪上類似鍵槽的形狀可以防止彈性體變形過大導致失效的情形，有效提高了新型減速器在不同工況的適用范圍，避免在極端環境下的突發狀況，如空轉、卡死、卡頓等[14]。

圖3 少齒差行星減速器雙聯齒輪示意圖

若齒輪1固定，齒輪3上施加60 N·m的轉矩，聚氨酯彈性體會發生擠壓變形與剪切變形，在這里可以假設均勻分布在雙聯齒輪上的8個彈性體在齒輪3和5之間受到的作用力是相等的。圖4所示為其中一個彈性體受力變形示意圖，當齒輪承受負載轉矩時，負載力矩將使齒輪3和5對彈性體產生一對相反的作用力Fs，彈性體與齒輪3和5接觸的部分會產生擠壓造成壓縮變形，在齒輪3和5之間間隙的剪切面處會產生剪切變形。

圖4 圓柱彈性體受力示意圖

Fs為在轉矩作用下彈性體所受壓力，rm為彈性體半徑，Rg為齒輪中心到剪切面的半徑，β為彈性體剪切面相對齒輪中心所對應的角度。則彈性體所受壓力計算公式為

式中：n為彈性體在圓周方向的分布個數，T為轉矩。

假設A1表示擠壓等效壓縮面的投影面積，計算公式為

其中，hR為彈性體的長度，根據幾何關系可得：

彈性體的擠壓應力可以表示為

剪切面面積計算如下：

式中，lR為弧形面長度，lR=βRg。

彈性體的剪切應力可以表示為

假設聚氨酯彈性體變形量較小，就可以根據連續介質力學，得到剪切面上的剪切應力γs為

式中：GM為剪切模量，GM=EM/[2（1+μM）]；EM為彈性模量；μM為泊松比。

基于圣維南定理[15]，在遠離接觸面的區域，擠壓變形不明顯，實際擠壓應力比計算得到的σs小得多。假設彈性體的平均擠壓應力為

式中：C1為比例因子，C1＜1。通過平均應力來對變形的彈性體應變能密度進行計算，可得擠壓應變能密度和剪切應變能密度分別如下：

按照力學能量法，彈性體內存在的應變能與外力對其所作的功相當，則：

應變能為擠壓應變能和剪切應變能之和，分別表示如下：

其中，V1為發生擠壓變形的體積，可以看做彈性體的體積：

V2表示發生剪切變形的體積，由于其只作用于分界面的薄層也就是間隙處，故只占總體積的一小部分：

則可得：

彈性模量EM表達如下：

代入相關數值，求得聚氨酯彈性體最小彈性模量為39.7 MPa。

2.2 有限元模型建立

在SolidWorks中建立少齒差剛柔復合擺線齒輪副三維模型，將該模型轉換為后綴是“.xt”的格式，在ANSYS Workbench中打開，先進行材料屬性定義，在原有結構鋼密度的基礎上另外定義彈性體密度為1.26×10－6kg/mm3，彈性模量為62 MPa，泊松比為0.43。使用增廣拉格朗日乘子法進行接觸定義，與傳統的拉格朗日法相比，增加了一個外點罰函數，可使求解時等式約束的乘子收斂速度更快，改善收斂性使收斂性更強。彈性體和雙聯齒輪之間定義為frictional，摩擦因數取0.25，法向接觸剛度因子取0.1，齒輪副之間也定義為frictional，摩擦因數取0.1，法向接觸剛度因子則取1。再進行網格劃分，為減少網格劃分數量，提高計算效率，齒輪副嚙合面接觸處網格尺寸定義為0.2 mm，彈性體以及雙聯齒輪間網格尺寸大小為0.4 mm，其余網格尺寸為0.7 mm，網格劃分結果如圖5所示。最后進行約束定義，內齒輪外圈固定，約束全部自由度，雙聯齒輪以及輸出小齒輪定義遠端位移約束，只有繞z軸的旋轉自由度，其余5個自由度全部約束；全部彈性體由于與雙聯齒輪過盈配合，沒有旋轉自由度，加轉矩后會發生變形，定義位移約束，僅約束z軸軸向位移；輸出輪上施加力矩60 N·m，為了平衡在雙聯齒輪2上施加2.3 N·m的反方向力矩。

圖5 剛柔復合擺線齒輪副有限元網格模型

分析彈性體半徑Rt以及雙聯齒輪3和5體積變化，也就是齒輪3、5間分割之處半徑Rc大小變化對齒輪副嚙合輪齒應力及齒面接觸力大小的影響，將齒面接觸力在徑向方向分力的大小作為減速器支承軸承所受的載荷。第一組改變彈性體體積尺寸，雙聯齒輪分割處半徑大小為25 mm不變；第二組改變雙聯齒輪分割處半徑大小，彈性體體積尺寸為第一組嚙合應力最小的尺寸不變，如表1所示。

表1 有限元模型結構參數取值

2.3 不同彈性體半徑的靜力學特性分析結果

為了便于觀察輪齒嚙合最大應力情況，限于篇幅，在這里僅展示應力最大的雙聯齒輪5嚙合處部分輪齒應力圖，彈性體半徑變化下的剛柔復合擺線齒輪副有限元模型求解結果如下。

圖6所示為雙聯齒輪分割處半徑取25 mm不變、彈性體半徑Rt取值分別為1.9 mm至2.6 mm相應值時的應力圖，分析齒面應力、齒面接觸力變化。表2為改變彈性體半徑有限元結果相關統計參數。

表2 以Rt為變量有限元結構模型結果

圖6 改變彈性體半徑雙聯齒輪齒應力圖

根據表2數據可知，隨著彈性體半徑增加，雙聯齒輪5與輸出小齒輪嚙合部位輪齒最大應力整體呈先減小再增加的趨勢，在Rt為2.2 mm時，應力最小為665.27 MPa；隨著彈性體半徑增加，雙聯齒輪3與內齒輪1接觸力沿著x方向分力增加，齒輪傳遞載荷越大，接觸力沿著y方向分力減小，支承軸承所受到的載荷越小，y方向分力減小幅度比x方向分力增加幅度大得多，所以總合力呈現減小趨勢；雙聯齒輪5與輸出輪6接觸力沿著x方向分力增加，比齒輪1、3接觸力沿著x方向分力增加幅度大，接觸力沿著y方向分力減小，齒輪1、3接觸力比齒輪5、6接觸力沿著y方向分力減小幅度略大，y方向分力減小幅度比x方向分力增加幅度大，總合力呈現略微減小趨勢，但是x、y方向分力以及合力均比齒輪1和3的相對應的接觸分力、合力大，說明彈性體半徑的增加一定程度上減少嚙合沖擊，減小齒輪副接觸合力，并且對支承軸承所受載荷的影響大于齒輪間的傳遞載荷。

2.4 不同雙聯齒輪分割處半徑的靜力學特性分析結果

雙聯齒輪3、5分割處半徑變化下的剛柔復合擺線齒輪副有限元模型求解結果如下。

圖7所示為彈性體半徑取2.2 mm不變、雙聯齒輪3、5分割處半徑Rc取值分別為24.0～25.4 mm相應值時的應力圖，分析齒面應力、齒面接觸力變化。表3為改變雙聯齒輪3、5分割處半徑有限元分析結果相關統計參數。

表3 以Rc為變量有限元結構模型結果

圖7 改變雙聯齒切除處半徑雙聯齒輪齒應力圖

根據表3數據可知，隨著雙聯齒輪3、5分割處半徑增加，雙聯齒輪5與輸出小齒輪嚙合部位輪齒最大應力整體呈先減小再增加的趨勢，在Rc為24.2 mm時，應力最小為607.06 MPa；隨著分割處半徑增加，雙聯齒輪3與內齒輪1接觸力沿著x方向分力呈現增大趨勢，齒輪傳遞載荷越大，接觸力沿著y方向分力減小，支承軸承所受到的載荷越小，y方向分力減小幅度比x方向分力增加幅度大，總合力呈現減小趨勢，x方向分力比改變彈性體半徑的增加趨勢大，y方向分力以及總合力比改變彈性體半徑的減小趨勢小；雙聯齒輪5與輸出輪6接觸力沿著x方向分力增加，與齒輪1、3接觸力沿著x方向分力增加幅度相比變化不大，接觸力沿著y方向分力呈現減小趨勢，齒輪1、3接觸力比齒輪5、6接觸力沿著y方向分力減小幅度大，齒輪5、6總合力沒有明顯變化趨勢，y方向分力比改變彈性體半徑的減小趨勢小，分割處半徑的增加使雙聯齒輪3結構尺寸減小，齒輪5結構尺寸增加，說明雙聯齒輪3、5分割處半徑的增加會減小齒輪3、內齒輪1間接觸合力，并且對支承軸承所受載荷的影響大于齒輪間的傳遞載荷，對齒輪5及輸出齒輪6間接觸合力以及沿x、y方向分力影響不大。

3 結論

本文建立不同彈性體半徑、雙聯齒輪分割處半徑情況下的剛柔復合擺線齒輪副有限元分析模型，查看兩者半徑大小變化對輪齒嚙合最大應力大小以及齒面接觸力在徑向、周向方向以及整體的接觸力大小的影響規律，結果表明，彈性體半徑為2.2 mm、雙聯齒輪分割處半徑為24.2 mm時出現最大輪齒應力最小值。隨著彈性體半徑的增加，兩對齒輪副接觸合力均小幅減小，并且對支承軸承所受載荷的影響大于齒輪間的傳遞載荷；隨著雙聯齒輪分割處半徑的增加，雙聯齒輪3和內齒輪1間接觸合力小幅減小，并且對支承軸承所受載荷的影響大于齒輪間的傳遞載荷，對輸出輪6和雙聯齒輪5間接觸合力以及沿x、y方向分力的影響不大。