把握單元整體脈絡 構建精準復習課堂

■王競進 唐崇明

一、問題背景

《義務教育數學課程標準（2022 年版）》明確指出，改變過于注重以課時為單位的教學設計，推進單元整體教學，體現數學知識之間的內在邏輯關系，以及學習內容與核心素養表現的關聯。在此理念下，筆者嘗試將課堂教學任務分為單元前建構、單元-課時和單元后建構三種類型，現以蘇科版數學教材七（下）第十章“二元一次方程組”單元后建構為例，闡釋單元整體教學視角下單元后建構教學的實踐與思考。

二、教學目標

后建構課堂要求教師引導學生對已經掌握的知識進行重新建構，用一條知識結構主線將分散的知識串聯起來，形成結構化的知識體系，讓學生重新認知，形成思想方法，提升核心素養。因此，本單元的目標確定為：借助問題情境，讓學生在自主活動的過程中主動構建本章的知識結構；經歷“問題情境→建立模型→求解→解釋與應用”的學習過程，加深理解相關數學知識；通過思考、交流等活動，體會類比、轉化、整體等數學思想。

三、教學重難點

重點：二元一次方程（組）和二元一次方程（組）的解，正確建立數學模型解決實際問題；難點：二元一次方程組在實際生活中的應用。

四、教學活動設計

1.情境導入，梳理概念

問題1 五月陽光明媚、春暖花開，七年級225 名同學準備乘坐大客車和中巴車去九龍口春游，已知每輛大客車可乘坐45人，中巴車可乘坐30人，剛好坐滿。請問大客車與中巴車各有多少輛？

師：這個問題，你能夠解決嗎？

生：設大客車有x輛，中巴車有y輛，根據等量關系，我們建立方程45x+30y=225。

師：你還想到了哪些知識呢？

生：二元一次方程的定義，含有兩個未知數，并且所含未知數的項的次數都是1的方程叫作二元一次方程。

生：二元一次方程的一對未知數的值叫作這個二元一次方程的一個解。

師：一個二元一次方程一般有幾個解？

生3：無數個。

師：結合實際情境，大客車和中巴車的數量有限制條件嗎？你能解決問題嗎？

生：x和y都是非負整數。利用枚舉法，從最小的非負整數0 開始，給出x的值，然后求出符合條件的y值。

師：很好。但很明顯這個方法的計算量比較大，還有更簡單的方法嗎？

生：我們可以將45x+30y=225 兩邊同時除以15，將其化簡為3x+2y=15，再利用枚舉法求非負整數解，計算上更加簡便。

生：可以用含有x的代數式來表示y，即，因為y是非負整數，所以15-3x要能夠被2 整除，則x是奇數，x可以取1、3、5，可 以 求 得 非 負 整 數 解 為

生：我們可以利用含一個未知數的代數式表示另一個未知數的方法，求出方程有非負整數解時x、y的取值范圍，然后進一步確定解。

【設計意圖】以真實的情境——春游為背景，把知識的回顧與問題情境結合在一起。通過對情境問題的再創造、再解決，不斷追問，復習二元一次方程及二元一次方程的解的概念。同時，通過對實際問題的分析、解決，歸納、總結求非負整數解過程中的一般方法。

2.問題解決，滲透思想

問題2 七年級225名同學準備乘坐大客車和中巴車去九龍口春游，已知每輛大客車可乘坐45人，中巴車可乘坐30人……

師：從這個生活實際問題中，你想到了什么數學問題呢？

生：可設大客車有x輛、中巴車有y輛，根據題意，可得一個二元一次方程45x+30y=225。

師：你能對這個問題添加適當的條件和問題，并加以解決嗎？

生：一共安排了6輛車，剛好坐滿，請問大客車與中巴車各多少輛？

生：根據條件可設大客車有x輛、中巴車有y輛，根據題意，可得一個二元一次方程組

（教師追問，引導學生完善二元一次方程、二元一次方程解的概念，進一步完善知識結構。）

師：我們解二元一次方程組的基本方法有哪些？你能解這個方程嗎？

（請學生用兩種不同的方法板演完成二元一次方程組的求解過程。）

師：解二元一次方程組的基本思路是什么？體現了什么樣的數學思想？

生：把“二元”轉化為“一元”，體現了轉化的數學思想。

【設計意圖】通過對情境問題添加條件，復習二元一次方程組的概念。再通過復習解二元一次方程組的基本方法，滲透轉化思想，為學習多元一次方程組解法埋下伏筆。

3.典例分析，方法提升

問題3 解方程組：

師：我們該如何求解這個方程組呢？請兩名同學用不同方法板演（求解過程略）。

師：他們的求解過程有什么不同？體現了什么樣的數學思想？

生：第一種是直接化簡，應用加減消元法或消元法；第二種應用了“整體”思想。

【設計意圖】從問題3 中的方程組求解過程出發，幫助學生回憶含分母和含括號的二元一次方程組解法，引導學生發現這個方程組的整體特點，讓學生感受整體思想。

4.自主探究，提升思維

問題4 同學們來到了九龍口，看到了商店里琳瑯滿目的商品，決定買點食物與飲料。下面是兩名同學的對話。甲同學：我買了1 瓶飲料和3 份肉串共花了m元。乙同學：我買了2 瓶飲料和5 份肉串，比你多花了11元。

師：針對上述對話，你能提出哪些問題？你能運用所學知識解決這些問題嗎？

生：設一瓶飲料x元、一份肉串y元，則

生：不能求得方程組的解，因為未知數有3個，而方程只有兩個，所以求不出來。

師：如果請你來添加一個條件，你會怎么添加？能求出各自的單價嗎？

（學生自主添加條件，展示求解過程。）

師：如果同學丙說，我買了1 瓶飲料、1份肉串，共花了7 元，現在你能求出飲料和肉串的單價嗎？

生：根據丙的條件，可以得到x+y=7，得到關于x、y、m的三元一次方程組：

師：這個方程組你該如何求解？

（學生交流用兩種不同的方法求解。）

師：兩位同學解決這個問題的方法是什么？體現了什么樣的數學思想？

生：消元法。先將三元一次方程組轉化為二元一次方程組，再將二元一次方程組轉化為一元一次方程，體現了轉化的數學思想。

【設計意圖】通過開放性問題的設計，培養學生發現問題、解決問題的能力。學生通過一題多解，開拓思維，體會到解決含參問題的本質就是消元，加深對轉化思想的認識。

5.學以致用，積累經驗

問題5 在九龍口，同學們決定租船游湖。如果租3 艘大船、2 艘小船，則可以載21 人；如果租2 艘大船、1 艘小船，則可以載13 人。（1）請問每艘大船和小船各可以坐多少人？（2）七年級7 班共40 名同學參加，請問要怎么租船，可以使船剛好坐滿呢？

師：問題（1）中，存在什么樣的數量關系？我們可以通過什么方法使數量關系變得清晰？

（學生運用列表格法進行解答，求得每艘大船可以坐5人、每艘小船可以坐3人。）

師：問題（2）中，所蘊含的數量關系又是什么？你能列出方程嗎？

生：設租了m條大船、n條小船，可得5m+3n=40。

師：這個方程隱含著什么樣的條件呢？其實質是什么？

生：m、n為非負整數。

生：求二元一次方程5m+3n=40 的非負整數解。

學生計算，得出結果，5m+3n=40 的非負整數解為從而確定了解決方案。

所以，方案①：租大船5 條，小船5 條；方案②：租大船2條，小船10條。

【設計意圖】延續情境，提出新問題，體現了數學來源于生活且應用于生活。學生面對實際問題，要能運用所學數學知識和方法，尋求解決問題的策略，增強數學應用意識。

6.反思提升，形成知識網絡

（1）今天與大家復習了哪些知識？這些知識點分別蘊含著哪些數學思想和數學方法？

（2）二元一次方程和我們學過的哪些知識有內在聯系？后續我們還會研究哪些方程？

（3）你能結合本節課所學，畫出本章知識的思維導圖嗎？

【設計意圖】通過對本節課的學習，學生復習了本章的核心知識，形成知識脈絡，同時滲透轉化、類比等數學思想；利用思維導圖總結本章知識，完善知識框架，形成關于方程的知識結構，即實際問題→數學問題→構建方程（組）→解方程（組）→求出方程（組）的解→解決實際問題，感悟知識的整體性、結構性、關聯性，激發學習的興趣和動力，為后續分式方程和一元二次方程的學習作鋪墊。

五、教學反思

1.基于學情，梳理結構，建構整體脈絡

單元整體教學關注知識邏輯，注重學生發展，最大可能地促進學生能力發展和素養提升。單元后建構課堂更強調知識之間的整體性與關聯性，需要對“單元-課時”課堂中零散的知識進行重組、整合與再構，而不是機械的簡單回顧。因此，教師進行教學設計時，需要基于學生的學情，選擇合適的問題情境，以核心概念為骨架展開問題設計，給學生留足思考時間，讓學生經歷數學知識的形成過程，通過適時的追問，將本單元內的基礎知識、基本方法和思想聯系起來，構建完整的思維導圖。

2.基于思維，促進學生高階思維發展

傳統的復習課堂往往會出現兩種誤區：一是以例題、習題訓練代替小結復習；二是以知識的簡單羅列代替小結復習。這樣會造成復習課堂是對前面所學知識的簡單、機械重復，學生學習的積極性不高。數學是思維的科學，因此，在單元后建構課堂中，我們以學生的認知發展水平和已有經驗為基礎，處理好思維層次與知識探究的關系，著眼學生思維的不斷提升與發展，通過對問題的不斷設問、追問，調動學生積極思考，通過開放性問題的編擬、方法的探索，促使學生高階思維的形成。

3.拓展提升，構建精準高效復習課堂

在單元后建構課堂的教學中，教師要靈活地根據問題情境，對其進行恰當的變式提升、開放性設問，對問題的條件進行增設與改編，促進學生深度思考，促使學生在知識結構、能力結構、方法結構中形成整體互通、系統關聯的結構化知識。單元后建構課堂既要實現知識的系統化、結構化，也要生長出新的知識生長點，讓知識結構能夠在后續發展中可持續生長起來，從而達到培養學生能力，提高思維品質，發展核心素養的目的。