淺談2023年新高考全國Ⅰ卷第21題的教學啟示

作者簡介：宋桃富（1986～），男，漢族，廣東梅州人，廣東省佛山市順德區樂從中學，中學一級教師，研究方向：高中數學。

摘? 要：文章對2023年新高考全國Ⅰ卷的第21題進行探究，分析了試題的背景探究和試題變式，并對試題進行溯源，梳理了同一知識點衍生出的模擬題，最后給出了一些教學建議。

關鍵詞：概率；馬爾可夫鏈；命題背景；溯源；教學啟示

中圖分類號：G633.6??? 文獻標識碼：A??? 文章編號：1673-8918（2024）12-0009-04

一、 試題呈現與解法探究

試題（2023年新高考全國Ⅰ卷第21題）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規則如下：若命中則此人繼續投籃，若未命中則換為對方投籃。無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8。由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5。

（1）求第2次投籃的人是乙的概率；

（2）求第i次投籃的人是甲的概率；

（3）已知：若隨機變量Xi服從兩點分布，且 P（Xi=1）=1-P（Xi=0）=qi，i=1，2，…，n，則 E（∑ni=1Xi）=∑ni=1qi。記前n次（即從第1次到第n次投籃）中甲投籃的次數為Y，求E（Y）。

本試題是概率統計問題，以投籃的現實生活情境為背景，并與數列遞推關系相結合，考查了積事件概率、全概率公式、數列構造、數列分組求和、等比數列的通項及等比數列求和、隨機變量求期望等。關鍵能力的考查，主要有數學建模、數學運算能力和邏輯推理能力。試題的思維過程和運算過程均體現了能力立意的思想，很好地考查了概率統計的核心內容和基本思想方法，與數列知識點相結合，體現了綜合性和應用性。本題對考生運用數學知識，尋找合理的解題策略以及推理論證和運算能力有較高的要求。

解析：（1）記“第i次投籃的人是甲”“第i次投籃的人是乙”為事件Ai、Bi，則P（B2）=P（A1B2）+P（B1B2）=P（A1）P（B2｜A1）+P（B1）P（B2｜B1）=0.5×（1-0.6）+0.5×0.8=0.6。

（2）設P（Ai）=pi，依題可知，P（Bi）=1-pi，則P（Ai+1）=P（AiAi+1）+P（BiAi+1）=P（Ai）P（Ai+1｜Ai）+P（Bi）P（Ai+1｜Bi），

所以，pi+1=0.6pi+（1-0.8）×（1-pi）=0.4pi+0.2，

構造數列｛pi+λ｝，設pi+1+λ=25（pi+λ），解得λ=-13，則pi+1-13=25pi-13，

又p1=12，p1-13=16，所以pi-13是首項為16，公比為25的等比數列，

即pi-13=16×25i-1，pi=16×25i-1+13。

（3）若第i次是甲投籃則記Yi=1，第i次是乙投籃則記Yi=0，則Yi服從兩點分布，且

P（Yi=1）=1-P（Yi=0）=Pi，

則E（Y）=E∑ni=1Yi=∑ni=1qi，因為pi=16×25i-1+13，i=1，2，…，n，

所以當n∈N*時，E（Y）=p1+p2+…+pn=16×1-25n1-25+n3=5181-25n+n3，

又因為當n=0時，E（Y）=0，也滿足上式，

所以，E（Y）=5181-25n+n3。n∈N

解法分析：本題第（1）問直接考查全概率公式，將投籃情境轉化為數學必備知識和符號的表達是問題（1）的難點。第（2）問切入點是根據題意找到“第i次投籃的人是甲”的概率遞推式，然后應用數列構造方法求解。第（3）問根據題設條件Xi服從兩點分布，且P（Xi=1）=1-P（Xi=0）=qi，i=1，2，…，n，則E∑ni=1Xi=∑ni=1qi，直接代入轉化為數列求和。

二、 試題的背景探析

本題的知識背景是隨機過程的馬爾可夫鏈（Markov Chain），馬爾可夫鏈是俄國數學家安德烈·馬爾可夫提出的一個用數學方法來解釋自然變化的一般規律模型。馬爾可夫鏈為狀態空間中經過從一個狀態到另一個狀態的轉換的隨機過程，該過程要求具備“無記憶性”，即下一狀態的概率分布只能由當前狀態決定，在時間序列中它前面的事件均與之無關。這種特定類型的“無記憶性”稱作馬爾可夫性質。假設我們的序列狀態是…Xi-1，Xi-1，Xi，Xi+1…，那么在i+1時刻的狀態Xi+1的條件概率僅依賴于前一刻的狀態Xi，即：P（Xi+1｜…Xi-1，Xi-1，Xi）=P（Xi+1｜Xi），由于某一時刻狀態轉移的概率只依賴于它的前一個狀態，所以解決問題時我們只需求出系統中任意兩個狀態之間的轉換概率，這樣馬爾可夫鏈的模型就可以確定下來。

試題中“第i次投籃的人是甲”的概率pi，則“第i次投籃的人是乙”為1-pi，第i次投籃的人命中與否的狀態決定第i+1次投籃的人是甲還是乙。這本質上表達了馬爾可夫鏈的傳遞規律，從pi傳遞到pi+1，以此類推。這個傳遞的關系式由全概率公式可得，從而得到遞推關系，結合數列知識可以解決問題（2），試題設計以具體的生活情境為背景，重視對現實問題的解決。馬爾可夫鏈是概率論中重要的一類問題，應用非常廣泛，教師在平時教學中要引起重視。

三、 試題變式及模擬題探究

變式1：把問題（2）中“求第i次投籃的人是甲的概率”改為“比較第i次投籃的人是甲的概率大還是乙的概率大，并說明理由?！?/p>

變式2：把題設“甲每次投籃的命中率均為 0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8”改為“甲每次投籃的命中率均為α，乙每次投籃的命中率均為β”，設問不變。

變式3：把問題（3）中“已知：若隨機變量Xi服從兩點分布，且

P（Xi=1）=1-P（Xi=0）=qi，i=1，2，…，n則E∑ni=1Xi=∑ni=1qi?！边@個條件去掉，設問不變。讓考生探索并推導公式E∑ni=1Xi=∑ni=1qi。

模擬題1（2023年1月佛山一模第20題）近幾年，隨著生活水平的提高，人們對水果的需求量也隨之增加，我市精品水果店大街小巷遍地開花，其中中華獼猴桃的口感甜酸、可口，風味較好，廣受消費者的喜愛。在某水果店，某種獼猴桃整盒出售，每盒20個，已知各盒含0或1個爛果的概率分別為0.8和0.2。

（1）顧客甲任取一盒，隨機檢查其中4個獼猴桃，若當中沒有爛果，則買下這盒獼猴桃，否則不會購買此種獼猴桃。求甲購買一盒獼猴桃的概率；

（2）顧客乙第1周網購了一盒這種獼猴桃，若當中沒有爛果，則下一周繼續網購一盒；若當中有爛果，則隔一周再網購一盒；以此類推，求乙第5周網購一盒獼猴桃的概率。

模擬題2（2023年4月佛山二模第16題）有n個編號分別為1，2，…，n的盒子，第1個盒子中有2個白球1個黑球，其余盒子中均為1個白球1個黑球，現從第1個盒子中任取一球放入第2個盒子，再從第2個盒子中任取一球放入第3個盒子，以此類推，則從第2個盒子中取到白球的概率是??? ，從第n個盒子中取到白球的概率是??? 。

模擬題3（2023年4月茂名二模第22題）馬爾可夫鏈因俄國數學家安德烈·馬爾可夫得名，其過程具備“無記憶”的性質，即第n+1次狀態的概率分布只跟第n次的狀態有關，與第n-1，n-2，n-3，…次狀態是“沒有任何關系的”。現有甲、乙兩個盒子，盒子中都有大小、形狀、質地相同的2個紅球和1個黑球，從兩個盒子中各任取一個球交換，重復進行n（n∈N*）次操作后，記甲盒子中黑球個數為Xn，甲盒中恰有1個黑球的概率為an，恰有2個黑球的概率為bn。

（1）求X1的分布列；

（2）求數列｛an｝的通項公式；

（3）求Xn的期望。

四、 追本溯源

題源1：（教材人教A版《選擇性必修第三冊》第50頁例題4）某學校有A，B兩家餐廳，王同學第1天午餐時隨機地選擇一家餐廳用餐。如果第1天去A餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.6；如果第1天去B餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.8。計算王同學第2天去A餐廳用餐的概率。

解：設A1=“第1天去A餐廳用餐”，B1=“第1天去B餐廳用餐”，A2=“第2天去A餐廳用餐”，則Ω=A1∪B1，且A1與B1互斥，根據題意得

P（A1）=P（B1）=0.5，P（A2｜A1）=0.6，P（A2｜B1）=0.8。

由全概率公式，得

P（A2）=P（A1）P（A2｜A1）+P（B1）P（A2｜B1）=0.5×0.6+0.5×0.8=0.7。

因此，王同學第2天去A餐廳用餐的概率為 0.7。

題源2：（教材人教A版《選擇性必修第三冊》第91頁復習參考題第10題）甲、乙、丙三人相互做傳球訓練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人，求n次傳球后球在甲手中的概率。

解：記An表示事件“經過n次傳球后，球在甲的手中”，n次傳球后球在甲手中的概率為pn，n=1，2，3，…，n，則有p1=0，An+1=An·An+1+An·An+1，

則pn+1=P（An·An+1+An·An+1）=P（An·An+1）+P（An·An+1）=P（An）·P（An+1｜An）+P（An）·P（An+1｜An）=（1-pn）·12+pn·0=12（1-pn），

即pn+1=-12pn+12，n=1，2，3，…，

所以，pn+1-13=-12pn-13，且p1-13=-13，

所以，數列pn-13表示以-13為首項，-12為公比的等比數列，

所以，pn-13=-13×-12n-1，pn=-13×-12n-1+13=131-（-1）n·12n-1。

即n次傳球后球在甲手中的概率是131-（-1）n·12n-1。

題源3：（2019年新課標1卷理科第21題）為了治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行動物試驗。試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗，隨機選一只施以甲藥，另一只施以乙藥。一輪的治療結果得出后，再安排下一輪試驗。當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認為治愈只數多的藥更有效。為了方便描述問題，約定：對每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得-1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得-1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分。甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗中甲藥的得分記為X。

（1）求X的分布列；

（2）若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，pi（i=0，1，…，8）表示“甲藥的累計得分為i時，最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率，則p0=0，p8=1，pi=api-1+bpi+cpi+1（i=1，2，…，7），其中a=P（X=-1），b=P（X=0），c=P（X=1）。假設α=0.5，β=0.8。

（?。┳C明：｛pi+1-pi｝（i=0，1，2，…，7）為等比數列；

（ⅱ）求p4，并根據p4的值解釋這種試驗方案的合理性。

本題是近幾年高考中第一次出現的概率統計取代導數題目，是全國Ⅰ卷的壓軸題，也是概率統計問題與其他知識相結合的加強考查題型。

從往年高考真題和新教材都能找到今年考題的“同源題”。而且教材人教A版《選擇性必修第三冊》第91頁復習參考題第10題和2019年新課標Ⅰ卷理科第21題兩個問題和今年高考考查內容是一致的，只是2019年舊教材沒有全概率公式內容，題設直接給出了概率的遞推關系pi=api-1+bpi+cpi+1，降低了難度，2023年學生學習了全概率公式，考生要自己運用全概率公式推導概率的遞推關系。這種延續同一知識考點，但又加入不同生活背景的問題體現了經典傳承，又進行了適度創新，這些都說明命題專家很重視回歸教材和傳承經典題型，教師平時的教學應回歸教材，深入研究高考真題。

五、 教學建議

1. “條件概率與全概率公式”是新教材人教A版2019版《選擇性必修三》7.1的內容，2022年新高考Ⅰ卷第20題考查了條件概率公式的轉換推導，問題并不難，但從改卷反饋來看得分并不理想，對條件概率公式很多同學只會簡單代入數據運算，對公式之間的轉換和邏輯運算并不熟練。2023年新高考Ⅰ卷第21題考查了全概率公式的應用，并以壓軸題的形式出現。教師應對新教材調整的內容進行高度重視。特別是像條件概率、全概率公式、貝葉斯公式等知識，在平時生活、人工智能、統計決策等方面應用非常廣泛。條件概率和全概率公式利用已知信息使問題化繁為簡，提供了解決復雜事件概率問題的有效途徑，既是概率論中最基本的公式之一，也是進行統計決策的強有力工具，教學和高三復習都應足夠重視。不管是新課教學還是高三復習，教師都要站在單元整體教學設計的角度，結合古典概型的具體問題，提供經典的模型幫助學生借助樹狀圖、列表等直觀化的方法分析問題，幫助學生直觀了解事件概率之間的關系，建立條件概率和全概率公式的關聯和應用。

2. 教學回歸數學本質，注重數學學習過程，提高學生的數學思維水平。首先，概率知識模塊概念較多，相對零散。在數學概念、公式等教學過程中，應注重對知識的理解和思維水平的培養，比如，在教學全概率公式時，要引導學生理解全概率公式就是概率的加權平均。高三復習備考不能被輔導用書牽著走，導致“舍本求末”，應該引導學生回歸教材，回歸基本概念、定理，回歸知識的本源。同時，借助思維導圖，形成從知識點到知識之間的關聯，再到架構知識體系。其次，在問題解決中，應引導學生深入思考情境中的數學關系，并用數學語言進行表述，應用轉化與回歸的思想將情境問題數學化，探索解決問題的方法。再次，在數學建模和探究中，要讓學生經歷“發現數學關聯、提出數學問題、構建數學模型、得到數學結論、說明結論意義”的全過程。

3. 加強數學基礎訓練，培養學生關鍵能力。教育部在2022年和2023年高考數學全國卷的評析中均指出：要反套路、反刷題，強調考查關鍵能力和學科素養，強調實際應用，加強教考銜接。要讓學生跳出題海，就得讓學生在數學學習上多“體悟”，而不能停留在表面的方法傳授，應加強學生對基本公式、基本原理的推導，加深學生對知識的聯系與發生的認識。除了訓練學生的數學基礎知識和基本技能外，更要培養學生的基本數學思想，注重每個專題內容中的“通性通法”，提倡一解多題。

4. 關注高考數學改革，把握復習備考方向。在高考改革的新時期，我們要時刻了解政策的實質，認真學習相關的文件，從而把握高考復習備考的方向。從文章所分析的試題可以看出，高考命題緊緊圍繞高考改革方向，注重傳承經典，又適度創新；注重回歸教材，又創設真實情景；不回避同一知識點的多年重復考查，也不回避各地模擬卷有相關知識的考查。同時，應加強數學核心素養的培養及數學思想方法的滲透。高考命題的趨勢是以知識為載體，能力立意，考查數學核心素養為目標。從本試題及近幾年概率統計的命題可以看出，概率統計命題兼顧基礎性、綜合性、應用性和創新性，結合生活情境，弘揚科學價值和人文價值。概率統計的情境包含面非常廣泛，近幾年的高考題對概率統計的考查要求有逐漸提高的趨勢，背景與題型變化較多，也多次出現在壓軸題的位置。因此，教學過程中，教師更加要重視基本原理，引導學生找到問題的本質。

參考文獻：

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