二維旋轉諧振子勢中單粒子的跳頻壓縮及演化*

王渝 吳藝豪 李易璞 盧凱翔 伊天成 張云波

(浙江理工大學物理系,浙江省光場調控重點實驗室,杭州 310018)

本文主要研究二維旋轉諧振子勢中單粒子的動力學行為,通過跳頻的方式分析該粒子的壓縮演化過程,并分析了相應的物理機制.一方面,研究跳頻過程對回旋半徑模式的壓縮演化,通過選擇適當的跳頻時刻,分析跳頻過程對壓縮的影響.研究表明,回旋半徑坐標的壓縮程度并未在跳頻時刻發生改變,但可在后續的演化中出現更強的壓縮現象.另一方面,主要研究跳頻過程中心導向模式的壓縮演化.通過參數的選擇,分析了兩種壓縮模式,即發散模式和振蕩模式的壓縮及演化.有趣的是,在中心導向模式壓縮中,外勢存在一個由旋轉角速度決定的臨界勢阱縱橫比.壓縮模式在此處發生突變,且在振蕩模式中,勢阱縱橫比趨于該臨界值時,將出現明顯的壓縮.

1 引言

基于特定的外場實現微觀粒子行為的調控一直是物理學領域的研究熱點之一[1-3].外場的引入使得這些微觀粒子自由度相互耦合,從而導致它們的原本運動軌跡和行為發生顯著改變,甚至可能催生出奇妙的量子現象.例如,通過外部電場、磁場或光場來改變粒子的能級結構,實現粒子量子態的調控,使得出現量子態壓縮等現象[4];通過冷卻技術（激光冷卻、離子阱等）可以降低粒子的溫度,使它們進入更低的能級,從而表現出更明顯的量子行為[5];通過引入拓撲絕緣體可以改變粒子的能帶結構,引發拓撲量子相變,從而實現量子態的調控[6].對于這些現象的深入研究不僅能促進對量子體系中動力學行為的理解,還能為在量子信息與計算、量子精密測量等領域的應用提供重要的理論依據.

自1976 年Yuen[7]提出壓縮態以來,此概念受到了諸多理論和實驗物理學家的關注.在此后的幾十年中,壓縮態在量子光學、精密測量等各個領域中均取得了諸多重要的進展.至今,壓縮態已經可以在各種物理系統中產生,包括電磁場[8]、自旋系統[9]、微機械振蕩器[10-12]和單個捕獲離子的運動模式[13,14]等,同時也得到了廣泛的應用.例如,在精密測量領域,通過量子態的壓縮可以實現更精確的測量結果,甚至可以探測到微弱的信號或現象,典型的應用如近年來的光學干涉測量、引力波探測等[15].同時,在原子鐘的研制中,通過對量子態的壓縮可以降低原子鐘內的熱運動和噪聲,從而顯著提高原子鐘的精度和穩定性[16].此外,量子態的壓縮還可以用于制備精密的量子傳感器,如量子陀螺儀、量子加速計等[17].近年來,通過可逆壓縮技術實現被測量信號的增強,從而實現弱信號的高精度測量在一些體系中也取得了成功.研究表明,在光學干涉測量術[18]和自旋系統[19]中,壓縮相互作用的逆轉可以增強較弱的相移信號,從而放寬探測的要求[20];在微波腔中,光子場位移也使用類似的相敏放大方案進行了增強[21,22].然而,該技術在機械振蕩器系統中的實現仍存在一定困難[1].目前,如何通過壓縮來進一步提高測量精度仍然是量子精密測量領域的挑戰.特別是,通過設計特定的壓縮方案來顯著降低在實驗探測過程中嘈雜的噪聲,進而實現更高精度測量一直是該領域關注的焦點.

20 世紀90 年代左右,通過諧振子頻率的變化產生壓縮態的問題受到了廣泛的討論[23-31],其他與時間相關的振蕩器也在文獻[32-34]中被研究.相關研究發現,任何非絕熱的頻率變化均會導致壓縮,且如Agarwal 和Kumar[31]所指出,在頻率突變(跳頻)的情況下,壓縮將尤為明顯.隨后,Janszky 和Adam[35]發現壓縮與跳頻之間的時間間隔有很強的相關性,并證明一系列適時的跳頻會導致更強的壓縮.在諧振子中,產生壓縮的速率通常是由量子速度限定的,而諧振子頻率的突變可將基態投射到壓縮狀態,從而避免時間的約束.由此,Xin 等[36]于2021 年通過聲光調制器來操控光學晶格中原子諧波振蕩頻率的跳變,從而創建了原子運動的壓縮態,實現了諧振子跳頻的快速量子壓縮.該研究結果可以加快量子門的速度,并在嘈雜的環境中實現量子傳感和量子信息處理.另一方面,Fletcher 等[2]通過使二維諧振子勢場存在一定旋轉的頻率,在最低朗道能級中動態產生了占據單個朗道規范波函數的玻色-愛因斯坦凝聚體,并證明了軌道引導中心的幾何壓縮比標準量子極限低7 dB 以上.這一研究結果為實現強相關流體和玻色子量子霍爾態提供了一條新的途徑.

目前,對于在旋轉諧振子外勢中,研究跳頻導致的量子態壓縮卻鮮有報道.因此,本工作將在文獻[2,36]的基礎上,理論分析單粒子系統在旋轉二維外勢中的跳頻壓縮.對于具體的實驗系統,我們設想可以首先從磁光阱中將冷原子系綜裝載到二維光學晶格,并對超精細態進行可分辨拉曼邊帶冷卻從而制備出處于振動基態的原子[37].在諧振子勢光阱裝載冷原子的基礎上通過調節光束的阱深(光功率、光束直徑),或者改變光束(一般是高斯光束)的瑞利距離對囚禁勢頻率進行調節,對光束的調節可以在很快時間內實現跳頻.

2 單粒子哈密頓量

考慮單個粒子處于勻速旋轉的二維各向異性諧振子勢阱的情況,若選取z方向為旋轉軸,則在相應的旋轉參考系中,系統的哈密頓量為[2]

3 回旋半徑模式的壓縮

回旋半徑坐標主要描述該系統中朗道能級的物理量,本節主要研究將x,y方向頻率互換的跳頻過程對回旋半徑模式壓縮的影響,跳頻時序如下:

根據海森伯運動方程,可得到以下獨立的微分方程

相應的解為

根據回旋半徑坐標的定義,可得其演化為

由于跳頻過程主要使得粒子的哈密頓量在H+和H-轉變,因此后續的兩次跳頻所滿足的運動方程及其解的形式仍由(6)式和(7)式表示,選擇β+τ2=π/2 以及β+τ3=3π/2 為第二、三次的跳頻時刻,相應解的系數為

相應的漲落為

至此,關于各階段回旋半徑的壓縮演化的解析形式已經得到.從上述公式中,不難發現跳頻使得回旋半徑的壓縮演化發生了改變,來回的跳頻也使得回旋半徑壓縮出現了交替演化的現象.接下來,選取特定的跳頻時刻以及壓縮參數進一步分析相應的物理現象.

2.1.3 復合菌劑對玉米根際土壤堿性磷酸酶活性的影響 不同施肥處理下，2個玉米品種根際土壤堿性磷酸酶活性在生育期呈現出：抽雄期>灌漿期>苗期>成熟期；抽雄期與灌漿期均呈現出金穗4號>先玉335，苗期和成熟期不同處理表現各異。抽雄期時，2個玉米品種表現為：B>C>A>D>E，處理B比A，E處理分別提高19.7%、53%(先玉335)和8.5%、31.9%(金穗4號)(圖3)。

圖1 展示了三次跳頻下回旋半徑漲落的演化過程.從圖1 可以發現,在跳頻的時刻回旋半徑的壓縮并未出現突變,但在后續的演化中出現了不同程度的壓縮.同時,在多次來回跳頻的過程中,漲落的演化也出現了在兩種狀態 {ωx,1,ωy,1,H+} 和 {ωx,2,ωy,2,H-} 中切換的現象.

圖1 三次跳頻下回旋半徑漲落隨 β+t 的演化過程,其中ε=0.125 和 Ω/ω=0.9.實線和虛線分別表示 演化曲線Fig.1.Variances of cyclotron coordinates evolve with β+t under three frequency jumping,where ε=0.125 and Ω/ω=0.9.The solid and dashed lines respectively represent the evolution curves of .

4 中心導向模式的壓縮

中心導向坐標主要是描述該系統中能級簡并度的物理量,本節重點關注單次跳頻對中心導向模式的壓縮:

由海森伯運動方程可得:

其中,f(Ω/ω)=1+(Ω/ω)2-.容易看出,函數f(Ω/ω) 的符號決定了最終解的模式,且僅當 0＜Ω/ω＜時出現振蕩解,相應的兩個模式分布如圖2 所示.圖中的臨界曲線即為f(Ω/ω)=0 時ε與Ω/ω滿足的關系.從f(Ω/ω) 的表達式可以看出,在 0＜ε,Ω/ω＜1 范圍內,|f(Ω/ω)|的取值均不超過 1.因此,β-的取值將無法超過系統頻率ω 的限制,從而不會出現由于β-過大而導致的漲落隨時間t高速振蕩的情況.

圖2 變量 (ε,Ω/ω) 中,兩個壓縮模式的相圖Fig.2.In the variables (ε,Ω/ω),the phase diagram of squeezing modes.

圖3 中心導向坐標最大壓縮量隨 ε 的變化曲線,其中 Ω/ω=0.8.藍線和紅線分別為 和 的曲線Fig.3.Variances of maximum squeezing of guiding center coordinates change with ε,where Ω/ω=0.8 .Blue and red lines represent and .

圖4 中心導向坐標 和 在最大壓縮量處的漲落 (a)振蕩模式;(b)發散模式Fig.4.Fluctuations of guiding center coordinates andat maximum squeezing: (a) Oscillation mode;(b) divergence mode.

由上述分析可見,對于中心導向模式,跳頻過程并不在跳頻時刻改變壓縮,同時也不改變相應的壓縮模式.因此,這里可設置跳頻時刻τ=0,并直接分析跳頻后的演化過程.對于 {ωx,2,ωy,2,H2} 的情況,相應的通解為

其中,對于發散模式和振蕩模式的系數都為

類似地,中心導向坐標可表示為

其中,對于發散的情況,

相應的漲落為

對于振蕩的情況,

相應的漲落為

5 結論

本研究聚焦于二維旋轉諧振子外勢中單粒子回旋半徑坐標和中心導向坐標的漲落壓縮現象,旨在深入探討壓縮過程的物理機制.通過對單粒子的跳頻分析,首先觀察了回旋半徑模式的壓縮演化.通過合適的跳頻時刻的選擇,揭示了跳頻對壓縮的影響,尤其是在后續演化中可能引發更明顯的壓縮效應.結果表明,回旋半徑坐標的壓縮程度在跳頻時刻并未顯著改變,但在后續演化中,壓縮效應得以顯著增強.另一方面,本文還著重研究了中心導向坐標在單次跳頻過程中的壓縮演化.通過適當選擇參數,成功識別了兩種不同的壓縮模式,即發散模式和振蕩模式,并揭示了它們背后的物理規律.值得說明的是,研究發現外勢存在一個由旋轉角速度決定的臨界縱橫比,這對中心導向坐標的壓縮模式產生顯著影響.在振蕩模式中,當外勢縱橫比趨近于這一臨界值時,壓縮效應顯著增強,呈現出明顯的突變.這一發現不僅豐富了對諧振子外勢中壓縮現象的理解,還為進一步探索量子傳感等應用提供了有趣的線索.

附錄A

這里給出(1)式通過幺正變換G=e-iκxy(mω/?)至(2)式的推導,即計算H=GHlG?.首先考慮如下對易關系:

因此可以得到,

類似地,

同理,有

同時,對于Lz的變換為

此外,有

將上述變換結果分別代入H=GHlG?,即可將(1)式變換至(2)式.