雙端腔Ⅱ類倍頻產生四組份糾纏光場*

郝景晨 杜培林2) 孫恒信2)3) 劉奎2)3) 張靜2) 楊榮國2)? 郜江瑞2)3)

1) (山西大學物理電子工程學院,太原 030006)

2) (山西大學,量子光學與光量子器件國家重點實驗室,太原 030006)

3) (山西大學光電研究所,太原 030006)

量子糾纏是執行量子計算和構建量子通信網絡的關鍵資源,制備與操控糾纏態光場是實現量子信息處理的基礎要素.本文提出了利用雙端光學腔倍頻產生四組份糾纏態的理論模型,從耦合波方程出發得到Ⅱ類倍頻過程的傳輸矩陣,通過腔內自再現方程和輸入輸出傳輸矩陣理論研究了輸出的兩束倍頻光的噪聲特性;對于兩束倍頻光和兩束基頻泵浦場,利用多組份糾纏光場的充分必要判據PPT 方法(positivity under partial transposition criterion)分析了最小辛本征值與泵浦功率及分析頻率之間的關系,研究結果表明基頻泵浦光與倍頻光之間存在四組份糾纏.

1 引言

量子信息是量子力學與信息科學相結合的交叉學科,它以量子系統為基本單元完成信息的處理與傳送.量子糾纏是執行量子計算和構建量子通信網絡的關鍵資源,制備與操控糾纏態光場是實現量子信息處理的基礎要素,它既可以用于檢驗量子力學的基本原理,也可以為實現量子測量以及量子通信[1-4]提供重要的物理基礎.隨著科學技術的發展,多組份糾纏已被廣泛應用于量子通訊和量子離物傳態網絡[5,6]、遠程克隆[7-9]、可控密集編碼[10,11]和量子計算[12-14]等方面.具有不同頻率的多色多組份糾纏由于其在量子信息存儲和量子信息通訊方面不可替代的作用變得更加重要.目前,產生多組份糾纏態的方法和裝置各式各樣[15,16],參量下轉換作為一種典型的非線性過程,產生的孿生光子對(信號光與閑置光)具有較強的糾纏,在散粒噪聲譜和量子非破壞性測量等方面有重要應用[17-20].除參量下轉換外,光波的倍頻產生,又叫二次諧波產生(second-order harmonic generation,SHG)也可用于產生多色多組份糾纏,且方便地制備下轉換不易到達的光譜區域.倍頻過程中的基頻光和倍頻光的壓縮特性以及關聯特性已有較多的研究報道[21-25].

本文提出了利用雙端光學腔Ⅱ類倍頻產生四組份糾纏態的理論模型,從倍頻耦合波方程出發得到Ⅱ類倍頻過程的傳輸矩陣,通過腔內自再現方程和輸入輸出傳輸矩陣理論研究了輸出的兩束倍頻光的噪聲特性.利用PPT 判據(positivity under partial transposition criterion)研究了兩束基頻泵浦光與兩束倍頻光之間的量子相關性,表明在一定的泵浦功率和分析頻率范圍內存在四組份糾纏態.該方案的核心裝置是一個內置非線性晶體的雙端倍頻腔,其器件簡單、結構緊湊、實驗可行性強,使用一個光學腔就可以產生多色多組份糾纏態光場,而且可以通過不同端口、不同波長、不同偏振實現糾纏光束空間上的分離.

2 理論模型及Ⅱ類倍頻過程傳輸矩陣

圖1 為利用雙端倍頻腔產生四組份糾纏態的理論模型.其物理過程為: 頻率為ω1湮滅算符的基頻光通過偏振分束器1 (PBS1)的一個端口進入并與另一個端口湮滅算符的真空模耦合.為了實現Ⅱ類相位匹配,使用半波片1 (HWP1)將基頻光偏振旋轉45°,在HWP1 的輸出處得到兩束具有湮滅算符頻率相同偏振垂直的基頻泵浦光.我們稱這兩個基頻泵浦光為S 偏振方向的基頻泵浦光1 與P 偏振方向的基頻泵浦光2.基頻泵浦光1 與基頻泵浦光2 經輸入腔鏡M1 入射到腔內,從左向右穿過非線性晶體,產生頻率為ω2的倍頻光1,并從腔鏡M2 完全透射從腔輸出,將這個輸出的倍頻光稱為輸出光場1.從腔鏡M2 反射回來的基頻光從右向左穿過晶體再次發生倍頻過程,產生的倍頻光2 以及部分基頻光從腔鏡M1 輸出,稱為輸出光場2.此過程只有基頻光在腔內共振,產生的倍頻光直接從雙端腔兩端腔鏡輸出.

圖1 雙端倍頻腔產生四組份糾纏態的理論模型Fig.1.Theoretical model diagram of quadripartite entanglement generated by a dual-ported singly resonant cavity.

Ⅱ類倍頻過程的耦合波方程:

對于Ⅱ類相位匹配,使用基頻場各模之間的分束器轉換關系,可以將耦合波方程組(1)轉化為

為了簡化計算過程,根據Asmstrong 等[26]的工作,Li 和Kumar[27]定義了新的無量綱變量并將由(2)式得到的平均場方程以及量子漲落方程分別變形為以下公式:

定義新的無量綱變量為

相位為

為了求解(4)式與(5)式,定義正交算符:

其中,l=0,1,2 分別表示真空模,基頻泵浦場以及倍頻場.從(4)式和(5)式中得到正交算符的方程:

由于在倍頻實驗中完美相位匹配的條件下可以實現諧波轉化效率最大化,故要求θ=0 .此時將方程組(3)中u1,u2的解代入方程組(7),求得方程組(7)的解為

傳輸矩陣N(ζi) 中的元素如下:

3 倍頻場量子噪聲計算

在雙端倍頻腔理論模型中,我們認為內腔基頻場與倍頻場在穩態條件是自再現的,將參考位置設置在腔鏡M1 右邊C處位置,該位置處內腔場湮滅算符為,即

這里i=1,2 分別代表基頻場和二次諧波場,是頻率為i在鏡子j處引入的真空噪聲.j=1,2代表腔鏡M1,M2.τ是光在腔內傳播一周所用的時間.

本文忽略了由于晶體吸收和晶體表面反射導致的內腔損耗,對于腔鏡M1,M2 的透射和反射用非零對角元6×6 矩陣表示:

式中,Tij為頻率為i在腔鏡j處的功率透射率.N(ζi)是單次穿過晶體過程的傳輸矩陣,它表示為晶體內部任意非線性作用長度時的光場量子噪聲的輸入輸出關系,其中,穿過晶體的歸一化傳輸長度為

這里引入了非線性轉化效率ε1=P21/Pin,ε2=P22/Pin,P21和P22為往返穿過晶體的倍頻光功率,Pin代表注入光學腔的泵浦功率.ENL1和ENL2為往返晶體的單次轉化效率:

其中,La是晶體的長度,c是真空中的光速,zR1=πn1ω1w2/(2πc)是基頻光的瑞利長度.

將時域內的自再現方程(11)變為頻域內的傅里葉自再現形式:

通過使用光場的正交振幅與正交位相定義:

我們可以得到基頻場與倍頻場的正交振幅與正交位相的向量表示:

其中,內腔基頻和倍頻場的量子起伏列向量表示為

這里,x和y表示正交振幅和正交位相分量,右下標1 和2 分別表示基頻和倍頻,C是自再現方程的位置.Vj代表由腔鏡M1,M2 引入的真空噪聲,真空噪聲列向量表示為

這里u1j和v1j是頻域內基頻光的正交振幅和正交位相噪聲,u2j和v2j是倍頻光正交噪聲.ω為分析頻率.矩陣,為內腔場環形一周引起的相移,vci=c/(2Lc+2niLa)是腔的自由光譜區,Lc為空腔中空氣的長度.

輸出光場1 與輸出光場2 的正交振幅和位相的列向量表示為X1與X2,

X1與X2可以由腔內自再現項表示為

由于基頻場在腔內共振,產生的倍頻場在兩個腔鏡中全部透射,所以和T21=T22=1.接著,通過上述腔內自再現方程得到X1與X2列向量中對應的元素,X2j,Y2j.

下面討論兩個二次諧波的歸一化噪聲譜,Ω=,為歸一化到腔帶寬的頻率:

根據上述方程,可以得到兩束倍頻光隨泵浦功率Pin的噪聲譜,如圖2 所示.兩束倍頻光都是正交振幅噪聲壓縮,正交位相是反壓縮的,并且可以發現,兩束光的正交噪聲大小略有差異.這是由于腔內基頻場從左向右第一次穿過晶體時有一小部分轉化為倍頻光,導致基頻場從右向左穿過晶體時的功率略小于第一次穿過晶體時的基頻場功率.

圖2 雙端腔倍頻產生的兩束倍頻光的噪聲特性 (a) 正交振幅噪聲的壓縮譜;(b) 正交位相噪聲的反壓縮譜Fig.2.Output squeezing spectra of the harmonic fields: (a) Compression spectrum of orthogonal amplitude noise;(b) inverse compression spectrum of orthogonal phase noise.

4 利用PPT 判據研究四模糾纏特性

通過PPT 判據求解所有光模的部分轉置協方差矩陣的最小辛本征值來度量多組份糾纏.該判據為糾纏的充分必要判據,辛本征值越小糾纏度越大[28,29].首先,雙端倍頻腔產生獨立的可分離的四個光束,用11,12,21,22 分別表示基頻光1,基頻光2,倍頻光1,倍頻光2,該系統的協方差矩陣寫為

對協方差矩陣進行全等變換,v′=STvS,得到新矩陣v′,其中S為辛變換矩陣,表達式為

其中I1是一個4×4 的單位矩陣,對于模k的部分轉置相當于改變模k的正交位相的跡,因此模k的部分轉置協方差矩陣可以表示為,這里Tk為一個2N×2N的對角矩陣,除T2k,2k=-1外,其他所有對角元素均為1.對部分轉置協方差矩陣進行區域對角化,對角化矩陣,.隨后,求區域對角化后矩陣的最小辛本征值來度量糾纏.

這里,選擇長度為1 cm 的KTP 作為非線性晶體,最佳焦距為21.1 μm,參數為ENL1=ENL2=0.015,n1=n2=2.1,deff=11 pm/V,Tij=0.04,λ=1560 nm,皆為實驗可行性參數[21-23,30].

當Ω=0 時,四個光場的部分轉置協方差矩陣的最小辛本征值隨泵浦功率的變化如圖3 所示.在一定的泵浦功率范圍內,部分轉置矩陣對應的最小辛本征值均小于1,說明在合適的腔參數條件下,四組份糾纏存在.隨著泵浦功率的增大,糾纏趨于飽和.由圖3(b)和圖3(c)可以看出,兩條曲線在較大的功率處有略微差異,這是由于腔內基頻泵浦場功率不可避免的衰減導致,因為從左向右的基頻場在第一次穿過晶體時有一小部分轉化為了倍頻光使得腔內從右向左的基頻場功率略小于從左往右的基頻場功率,但在穩態條件下左端腔鏡處源源不斷有基頻光注入,內腔基頻場整體平衡.

圖3 最小辛本征值與泵浦功率 Pin 的關系圖 (a) i 表示兩束基頻光的糾纏,ii 表示兩束倍頻光的糾纏;(b) iii 表示基頻光1 與倍頻光1 的糾纏,iv 表示基頻光1 與倍頻光2 的糾纏;(c) v 表示基頻光2 與倍頻光1 的糾纏,vi 表示基頻光2 與倍頻光2 的糾纏Fig.3.Lines about symplectic eigenvalues are plotted as functions of Pin when Ω=0 : (a) i represents the entanglement of two fundamental beams,ii represents the entanglement of two frequency-doubling beams;(b) iii represents the entanglement of fundamental beam1 and frequency-doubling beam1,iv represents the entanglement of fundamental beam1 and frequency-doubling beam2;(c) v represents the entanglement of fundamental beam2 and frequency-doubling beam1,vi represents the entanglement of fundamental beam2 and frequency-doubling beam2.

當Pin=2 W 時,光場部分轉置矩陣對應的最小辛本征值隨分析頻率的變化如圖4 所示.這里,Ω=,γ=0.01 .從圖4 可以看出,在一定頻率范圍內,四組份糾纏都存在且在零頻處存在最大的糾纏.隨著分析頻率的增加,四組份糾纏逐漸減弱.圖4(a)可以發現,Ω＜0.05 時,兩束基頻光的糾纏強于兩束倍頻光的糾纏,隨著分析頻率的增加,兩束基頻光的糾纏度下降快于兩束倍頻光的糾纏度導致兩束倍頻光的糾纏逐漸強于兩束基頻光的糾纏.圖4(b)和圖4(c)中的兩條曲線略有差異,是由于腔內基頻泵浦場功率不可避免的衰減所造成.

實驗上,可以利用基頻、倍頻光雙波長輸出的激光器,將基頻泵浦光注入到內含KTP 晶體的雙端光學倍頻腔中,從雙端腔中得到四個輸出光場.分別利用基頻、倍頻雙波長本地光搭建四套平衡零拍探測器,通過鎖定相對相位,測量各個光場的正交振幅與正交位相噪聲,由此構建一個8×8 的協方差矩陣,對協方差矩陣進行分析研究,得到輸出光場之間的糾纏特性.此外,也可以采用分析腔掃描的方法來測得每一個光場的量子噪聲[31],再構建協方差矩陣,分析辛本征值所反映的量子糾纏特性.

5 總結

本文提出了雙端光學腔Ⅱ類倍頻過程產生四組份糾纏的理論模型,并用PPT 充分必要判據研究給出了四模糾纏特性.光學倍頻過程作為一種產生多組份糾纏態方法,實驗結構簡單,產生的功率大,易于短波長光場的制備,結合能對應1560 nm光纖低損耗窗口和780 nm 的Rb 原子吸收線優勢,可以為量子通訊網絡和量子存儲奠定相應的量子資源,有助于促進量子通訊網絡的發展.