含有非熱電子和陷俘離子的復雜等離子體中非線性塵埃聲波的傳播特征

林麥麥 宋晨光 王明月 陳富艷

(西北師范大學物理與電子工程學院,蘭州 730070)

本文研究了同時含有非熱(nonthermal)電子和陷俘(trapped)離子分布的復雜等離子體系統中非線性塵埃聲波的傳播特征.首先,利用線性化方法推導得到非線性塵埃聲波的色散關系.接著,借助Sagdeev 勢方法推導得到表征非線性塵埃聲波運動的二維自治系統、Sagdeev 勢方程和Sagdeev 勢函數的具體表達式.然后,依據數值模擬的方法分析了多種系統因素對二維自治系統相圖的重要影響.結果表明: 含有nonthermal 電子和trapped 離子的復雜等離子體系統中同時存在線性周期波、非線性周期波和孤立波.接下來,通過討論Sagdeev 勢函數隨系統參數的變化規律發現: 該復雜等離子體系統中僅存在振幅大于零的壓縮型孤立波.最后,探討多種系統因素對非線性塵埃聲孤波的振幅、寬度和波形等傳播特征的重要影響.結果顯示: 馬赫數、nonthermal 電子和trapped 離子以及塵埃顆粒未擾動的數密度、溫度及荷電量等參數對該復雜等離子體系統中非線性塵埃聲孤波的振幅、寬度和波形等傳播特性均具有顯著影響,且該結果與Sagdeev 勢函數的分析結果保持一致.

1 引言

近年來,復雜等離子體中非線性波動過程的研究已經成為等離子體物理的熱門前沿課題之一[1-3].由于復雜等離子體廣泛存在于實驗室環境、自然界以及星際空間中,因此復雜等離子體的理論研究在天體物理學、核聚變物理學等眾多學科領域具有重要的研究價值和實踐意義[4-6].復雜等離子體作為由電子、離子、質子以及塵埃顆粒所組成的電離氣體系統,存在非線性電子聲波、非線性離子聲波等多種典型的非線性波動模式.而非線性塵埃聲波作為典型的非線性波動模式之一,關于其傳播特性的研究則是等離子體物理的重要研究課題之一.眾多科研工作者對復雜等離子體中的多種非線性波動過程進行了廣泛的研究[7-17],例如1990 年,Rao 等[7]在理論上首次預言了非線性塵埃聲波的存在性.1995 年,Barkan 等[8]在實驗室中觀測到非線性塵埃聲波,進而驗證了Rao 等[7]預言的準確性.1998年,Xie 等[9]考察了塵埃電荷的存在對塵埃聲孤子的影響.2005 年,Lin 和Duan[10]研究了不同塵埃大小分布下含有雙溫離子的熱塵埃等離子體中(2+1)維非線性塵埃聲波的波動過程.2019 年,Murad 等[11]考慮了含有superthermal 電子的等離子體系統中非線性塵埃聲波的傳播特征.2023 年,Mamani[17]研究了含有非熱(nonthermal)電子和離子的磁化等離子體中任意振幅的非線性塵埃聲波的傳播特性.研究表明,在實驗室以及空間等離子體環境中,電子與離子的分布形式不一定服從經典的麥克斯韋-玻爾茲曼分布.例如,衛星觀測證實,在太陽風、地球磁層、星際介質以及極光區等空間環境中的等離子體所含電子存在nonthermal 分布狀態[18-23];太陽中微子中所含的電子則存在nonextensive 分布狀態[24];而在地球磁層日側極光帶中的等離子體所含電子則存在vortex-like 分布[25].另一方面,在空間和實驗室等離子體中的離子也會呈現多種不同的分布形式,例如在實驗室的核聚變裝置中的等離子體所含離子存在陷俘(trapped)分布狀態[23,26].土星e 環中等離子體所含離子則存在nonthermal 分布[27];而金星電離層的等離子體則存在superthermal 離子分布形式[28].眾多研究工作表明: 非經典麥克斯韋-玻爾茲曼分布的電子和離子分布狀態,對復雜等離子體中的非線性波動過程存在重要影響.例如,Sabry 等[29]研究了含nonthermal 電子的塵埃聲孤波的傳播特征,結果表明: 孤立波的振幅隨著nonthermal 電子的增加而降低.Amour 與Tribeche[30]研究了具有q-nonextensive 電子速度分布的塵埃聲孤波,結果顯示: 電子的q-nonextensive 分布狀態顯著影響了孤立波的波動模式.Haider 等[31]研究發現: vortex-like 電子分布對無碰撞的磁化塵埃等離子體中的孤立波的振幅具有顯著影響.Ghai 與Saini[32]研究了雙溫superthermal 離子對非線性沖擊波的影響,發現隨著低溫superthermal 離子超熱性的增加,正激波的振幅減小;而具有高階非線性修正的激波,其振幅會增大.Annou 等[33]研究表明: nonthermal離子數是表征非磁化塵埃等離子體中塵埃聲孤波出現與否的重要參數.Mamun[34]對含有trapped離子的三組分塵埃等離子體中非線性塵埃聲波的傳播特征的研究表明: 隨著trapped 離子數的增加,孤立波的振幅將呈現逐漸增大的趨勢.

本文著重討論多種系統因素對同時含有nonthermal 電子和trapped 離子的復雜等離子體系統中非線性塵埃聲孤波傳播特性的重要影響.首先,給出了由塵埃顆粒、nonthermal 電子和trapped離子組成的復雜等離子體系統中(1+1)維非線性塵埃聲波的理論模型;然后,利用線性化方法分析了非線性塵埃聲波的色散關系,并依據Sagdeev 勢方法推導得到二維自治系統、Sagdeev 勢方程以及Sagdeev 勢函數的具體表達式;接下來,借助數值模擬方法,詳細討論了二維自治系統的相圖、Sagdeev 勢函數以及非線性塵埃聲孤波隨多種系統參數的變化規律.

2 理論模型

為了研究同時含有nonthermal 電子和trapped 離子的復雜等離子體系統中的非線性塵埃聲波的演化特征.假設: 復雜等離子體系統由塵埃顆粒、nonthermal 電子和trapped 離子構成且該系統中的非線性波隨一個空間坐標x與一個時間坐標t演化,則該系統中無量綱化的(1+1)維非線性塵埃聲波的運動方程具體形式如下[35-37]:

其中塵埃顆粒數密度nd由未擾動的塵埃數密度nd0無量綱化;塵埃顆粒流速ud由Cs=(ZdKBTi/md)1/2無量綱化;靜電勢?由kBTi/e 無量綱化;空間坐標x由電子德拜半徑λD=無量綱化;時間坐標t由塵埃等離子體振蕩周期無量綱化,這里Zd是塵埃顆粒的荷電量,KB是玻爾茲曼常數,Ti是離子溫度,md是塵埃顆粒質量.參數σd=Td/ZdTi表示塵埃-離子溫度之比;δ=ne0/(Zdnd0) 則為未擾動的電子與塵埃數密度之比,其中ne0表示未擾動的電子數密度.此時該系統滿足的等離子體準電中性條件為ni0=ne0+Zdnd0.nonthermal 電子分布表示形式如下[38]:

其中,σi=Ti/Te,βe=4α/1+3α.這里Te為電子溫度,α表示nonthermal 電子數.trapped 離子分布的具體表達式為[34]

其中γ=4(1-b)/是捕獲參數,b為決定trapped 離子數量的參數[39]: 當b=0 時,為flat-topped離子分布狀態;當b=1 時,為Boltzmann 分布;當b＜0 或 0＜b＜1 時,則表示trapped 離子分布狀態.

利用線性化方法,假設:

可獲得非線性塵埃聲波的色散關系,

圖1 給出了同時含有nonthermal 電子和trapped 離子的復雜等離子體系統中非線性塵埃聲波的色散關系在不同參數取值下的變化規律.結果顯示: 頻率ω隨著波矢k和nonthermal 電子α,σi,σd的增大而增大;隨著δ的增加而減小.這說明,當復雜等離子體系統中出現nonthermal 電子時,該系統中的非線性塵埃聲波將以更高的頻率傳播;而與此同時,電子和離子的溫度、塵埃顆粒的荷電量等系統因素對非線性塵埃聲波的傳播頻率也存在一定影響.

圖1 色散關系隨不同參數的變化規律Fig.1.Variations of dispersion relation with different parameters.

3 理論推導

接下來,利用Sagdeev 勢方法研究同時含有nonthermal 電子和trapped 離子的復雜等離子體系統中非線性塵埃聲波的傳播特性.首先,對方程(1)—(3)中的自變量進行坐標伸展變換.令ξ=x-Mt,其中M為馬赫數,得到以下關系式:

則原方程組(1)—(3)變形為

化簡(6)式和(7)式并考慮邊界條件[40]:當ξ→±∞時,nd→1,ud→0,?→0,可知

將以上結果代入(8)式可得

其中,

將(9)式轉化為二維自治系統:

對(9)式兩邊同時乘以 d?/dξ,并對ξ積分一次,即可得Sagdeev 勢方程形式如下:

其中Sagdeev 勢函數的具體表達式為

4 數值分析

接下來,利用數值分析的方法探討多種系統參數,如M,α,b,σi,σd,δ等對復雜等離子體系統非線性動力學行為的影響,以便探究不同的系統參數對同時含有nonthermal 電子和trapped 離子的復雜等離子體系統中非線性塵埃聲波的重要影響.

圖2 給出了復雜等離子體系統的相圖隨著不同馬赫數M的變化規律,其他系統參數取值分別為[41,42]:α=0.4,b=0.8,σi=0.5,σd=0.02,δ=2 .當馬赫數M=1.3,1.4 和1.5 時,含有nonthermal 電子和trapped 離子的復雜等離子體系統中存在一個中心點和鞍點;而且圍繞中心點出現線性周期波軌道和非線性周期波軌道;另外,還出現了從鞍點出發回到同一鞍點的同宿軌道[43].這說明該系統同時存在線性周期波解、非線性周期波解和孤立波解.與此同時,圖2 還表明: 隨著馬赫數的增大,線性周期波軌道、非線性周期波軌道和同宿軌道存在的范圍將逐漸減小,這說明當系統的馬赫數M改變時,將影響線性周期波軌道、非線性周期波軌道和同宿軌道所存在的相空間區域.

圖2 系統相圖隨馬赫數M 的變化 (a) M=1.3;(b) M=1.4;(c) M=1.5Fig.2.Variations of system phase diagram with different M: (a) M=1.3;(b) M=1.4;(c) M=1.5.

圖3 給出了二維自治系統的相圖隨著nonthermal 電子數α的變化規律,其中M=1.3,b=0.8,σi=0.5,σd=0.02,δ=2.圖3 的數值模擬結果表明: 在不同的nonthermal 電子數α取值下,復雜等離子體系統仍存在中心點、鞍點及三種不同類型的軌道(線性周期波軌道、非線性周期波軌道和同宿軌道).通過對比圖3(a)—(c),不難發現: 雖然相軌道特征會隨著nonthermal 電子數α的不同而發生一定變化,但是該系統同時存在線性周期波解、非線性周期波解和孤立波解的基本屬性不會改變.這說明在實驗室與空間環境中,復雜等離子體中所含的非經典分布狀態的nonthermal 電子分布對該系統的非線性塵埃聲波的波動模式存在顯著影響.

圖3 系統相圖隨nonthermal 電子數 α 的變化 (a) α=0;(b) α=0.4;(c) α=0.8Fig.3.Variations of system phase diagram with different α : (a) α=0;(b) α=0.4;(c) α=0.8.

二維自治系統相圖隨著trapped 離子數b的變化規律由圖4 給出,其中M=1.3,α=0.4,σi=0.5,σd=0.02,δ=2.由數值模擬結果不難看出,當trapped 離子數b從0.7 逐步增加到0.8,0.9 時,該系統仍然同時存在線性周期波解、非線性周期波解和孤立波解,這表明trapped 離子分布狀態會直接影響復雜等離子體系統中線性周期波解、非線性周期波解和孤立波解的存在范圍.

圖4 系統相圖隨trapped 離子數b 的變化 (a) b=0.7;(b) b=0.8;(c) b=0.9Fig.4.Variations of system phase diagram with different b: (a) b=0.7;(b) b=0.8;(c) b=0.9.

圖5 給出了二維自治系統的相圖隨著參數σi的變化規律,在這里其他系統參數取值分別為:M=1.3,α=0.4,b=0.8,σd=0.02,δ=2.圖5顯示: 同時含有nonthermal 電子和trapped 離子的復雜等離子體中,系統參數σi會影響同時存在的線性周期波軌道、非線性周期波軌道和同宿軌道的存在范圍.考慮到σi=Ti/Te,這說明該復雜等離子體系統中的電子溫度、離子溫度及電子溫度與離子溫度之比均會對系統的線性周期波解、非線性周期波解和孤立波解存在一定的影響.

圖5 系統相圖隨參數 σi 的變化 (a) σi=0.4;(b) σi=0.5;(c) σi=0.6Fig.5.Variations of system phase diagram with different σi:(a) σi=0.4;(b) σi=0.5;(c) σi=0.6.

當M=1.3,α=0.4,b=0.8,σi=0.5,δ=2時,二維自治系統的相圖隨著系統參數σd的變化規律由圖6 給出.可以明顯看出,當系統參數σd從0.02,0.05 逐步增加到0.08 時,系統相圖中不同類型相軌道的存在范圍會隨著σd的改變而改變.由于σd=Td/ZdTi,這表明: 該復雜等離子體系統的線性周期波解、非線性周期波解和孤立波解的存在范圍與塵埃顆粒的溫度、荷電量和離子的溫度均存在一定聯系.

圖6 系統相圖隨參數 σd 的變化 (a) σd=0.02;(b) σd=0.05;(c) σd=0.08Fig.6.Variations of system phase diagram with different σd:(a) σd=0.02;(b) σd=0.05;(c) σd=0.08.

圖7 給出了二維自治系統相圖隨著δ的變化規律,其他系統參數取值分別為:M=1.3,α=0.4,b=0.8,σi=0.5,σd=0.02.數值模擬結果顯示:系統參數δ的取值變化,并不會影響該系統中同時存在線性周期波軌道、非線性周期波軌道和同宿軌道的基本特征.但該系統的多種相軌道的存在范圍則隨著δ的增大而逐漸變小.由于參數δ=ne0/(Zd0nd0),這說明同時含有nonthermal 電子和trapped 離子的復雜等離子體系統中所含電子、離子的未擾動數密度,以及塵埃顆粒數密度、荷電量等重要參數對該系統的線性周期波、非線性周期波和孤立波均存在一定的影響.

圖7 系統相圖隨參數 δ 的變化 (a) δ=2;(b) δ=3;(c) δ=4Fig.7.Variations of system phase diagram with different δ:(a) δ=2;(b) δ=3;(c) δ=4.

接下來,探討系統參數對Sagdeev 勢函數的影響.研究結果表明[40]: Sagdeev 勢函數表征孤立波存在的條件是Sagdeev 勢函數滿足當?=0 時,V(?)=0,dV/d?=0 且 d2V/d?2＜0.利用數值模擬分析的方法,可以獲得同時含有nonthermal電子和trapped 離子的復雜等離子體系統中的Sagdeev 勢函數V(?) 隨多種系統參數的變化規律,如圖8 所示.結果表明: 在多種不同的系統參數取值下,Sagdeev 勢函數V(?) 均存在兩個零點,分別為?1=0 和?2=?m,且?m＞0.這意味著該復雜等離子體系統中僅存在振幅大于零的壓縮型孤立波.

圖8 Sagdeev 勢函數 V (?) 隨不同系統參數的變化規律 (a) α=0.4,b=0.8,σi=0.5,σd=0.02,δ=2;(b) M=1.3,b=0.8,σi=0.5,σd=0.02,δ=2;(c) M=1.3,α=0.4,σi=0.5,σd=0.02,δ=2;(d) M=1.3,α=0.4,b=0.8,σd=0.02,δ=2;(e) M=1.3,α=0.4,b=0.8,σi=0.5,δ=2;(f) M=1.3,α=0.4,b=0.8,σi=0.5,σd=0.02Fig.8.Variations of Sagdeev potential V (?) with different parameters: (a) α=0.4,b=0.8,σi=0.5,σd=0.02,δ=2;(b) M=1.3,b=0.8,σi=0.5,σd=0.02,δ=2;(c) M=1.3,α=0.4,σi=0.5,σd=0.02,δ=2;(d) M=1.3,α=0.4,b=0.8,σd=0.02,δ=2;(e) M=1.3,α=0.4,b=0.8,σi=0.5,δ=2;(f) M=1.3,α=0.4,b=0.8,σi=0.5,σd=0.02.

圖8 給出的數值模擬結果顯示: 當馬赫數M,nonthermal 電子數α,系統參數σi和δ依次增大時,壓縮型孤立波的振幅?m將逐漸減小;而當trapped 離子數b和系統參數σd依次增大時,孤立波的振幅?m將逐漸增大,該結論與圖2—圖7 中二維自治系統的相圖分析結果保持一致.因此可以得出結論: 馬赫數、nonthermal 電子數和trapped離子數以及塵埃顆粒的未擾動數密度、溫度及荷電量等系統參數對振幅大于零的壓縮型孤立波的波形特征存在重要影響.

為了直觀地了解孤立波的振幅和寬度等波形特征,可以利用橢圓方程的一般理論對Sagdeev 勢方程(11)進行解析求解,得到該系統中非線性塵埃聲孤波的形式如下[44]:

其中孤立波的振幅?m=-3A2/(2A3) ;孤立波的寬度D=.

圖9 給出了同時含有nonthermal 電子和trapped 離子的復雜等離子體系統中非線性塵埃聲波具體波形的變化規律.不難發現: 在給定的參數取值下,該復雜等離子體系統僅存在振幅大于零的壓縮型孤立波,且當系統參數M,α,σi以及δ逐漸增加時,孤立波的振幅逐漸減小而寬度增大;而當系統參數b以及σd逐漸增加時,孤立波的振幅逐漸增大而寬度減小.這一結論與圖8 中Sagdeev 勢函數的分析結果保持一致.考慮到理論模型中各參數的具體表達式:σi=Ti/Te,δ=ne0/(Zdnd0),σd=Td/ZdTi.由此可知: 當電子的溫度降低且其數密度增大,或者當塵埃顆粒的密度、荷電量以及溫度下降時,孤立波的振幅將會變小;但是,如果離子的溫度降低,那么孤立波的振幅則會增大.這說明: 在同時含有nonthermal 電子和trapped離子的多組分復雜等離子體中,諸如馬赫數、nonthermal 電子和trapped 離子以及未擾動的塵埃顆粒數密度、溫度及荷電量等系統參數對非線性塵埃聲孤波的振幅、寬度等波形特征均具有重要影響.特別地: 當trapped 離子數和nonthermal 電子數增加時,孤立波的振幅和寬度會出現顯著變化,這充分說明nonthermal 電子和trapped 離子的存在對復雜等離子體系統中非線性塵埃聲孤波的傳播波形存在不可忽視的重要影響.

圖9 孤立波 ? 的波形隨不同參數的變化規律 (a) α=0.4,b=0.8,σi=0.5,σd=0.02,δ=2;(b) M=1.3,b=0.8,σi=0.5,σd=0.02,δ=2;(c) M=1.3,α=0.4,σi=0.5,σd=0.02,δ=2;(d) M=1.3,α=0.4,b=0.8,σd=0.02,δ=2;(e) M=1.3,α=0.4,b=0.8,σi=0.5,δ=2;(f) M=1.3,α=0.4,b=0.8,σi=0.5,σd=0.02Fig.9.Waveform variations of the solitary waves ? with different parameters: (a) α=0.4,b=0.8,σi=0.5,σd=0.02,δ=2;(b) M=1.3,b=0.8,σi=0.5,σd=0.02,δ=2;(c) M=1.3,α=0.4,σi=0.5,σd=0.02,δ=2;(d) M=1.3,α=0.4,b=0.8,σd=0.02,δ=2;(e) M=1.3,α=0.4,b=0.8,σi=0.5,δ=2;(f) M=1.3,α=0.4,b=0.8,σi=0.5,σd=0.02.

5 結論

本文研究了多種系統參數對同時含有nonthermal 電子和trapped 離子的復雜等離子體系統中非線性塵埃孤波傳播特征的重要影響.首先,采用線性化方法推導得到非線性塵埃聲波的色散關系;然后,借助Sagdeev 勢方法推導得到二維自治系統、Sagdeev 勢方程和Sagdeev 勢函數的具體表達式;接著,通過數值模擬的方法分析了二維自治系統的相圖隨多種系統參數的變化規律.結果表明: 同時含有nonthermal 電子和trapped 離子的復雜等離子體系統中存在線性周期波解軌道、非線性周期波解軌道和同宿軌道.接下來,分析了Sagdeev 勢函數的變化規律并確定該復雜等離子體系統僅存在振幅大于零的壓縮型孤立波.最后,詳細討論了多種系統參數對非線性塵埃聲孤波的振幅、寬度及波形的顯著影響.結果表明: 諸如馬赫數、nonthermal 電子和trapped 離子以及未擾動時的塵埃顆粒數密度、溫度和荷電量等各種參數對非線性塵埃聲孤波的振幅、寬度和波形等傳播特性均具有不可忽視的重要影響.該理論研究結果將有助于空間和實驗室環境等離子體中非線性波動過程的進一步研究工作的深入開展.