電子溫度各向異性對螺旋波m=1 角向模功率沉積特性的影響*

李文秋 唐彥娜 劉雅琳 王剛2)

1) (中國科學院空天信息創新研究院,北京 100190)

2) (中國科學院大學,北京 100049)

采用一般的徑向密度非均勻分布假設,借助溫等離子體介電張量模型,利用磁化等離子體中電磁波的一般色散關系,在高密度峰值、低磁場、低氣壓典型參量條件下,重點分析了電子溫度各向異性對螺旋波 m=1 角向模功率沉積特性的影響.研究結果表明: 在典型螺旋波等離子體電子溫度范圍(3,8) eV 內,電子有限拉莫爾半徑效應應當予以考慮,而離子有限拉莫爾半徑效應可以忽略.低磁場條件下 |n|＞1 次回旋諧波對介電張量元素的貢獻可以忽略.碰撞阻尼在功率沉積中占據主導地位,功率沉積在偏離等離子體柱中心軸的某一徑向位置出現峰值,隨著軸向電子溫度Te,z 的增大,功率沉積強度逐漸增強.相比等離子體溫度各向同性情形,等離子體溫度各向異性顯著改變了螺旋波m=1 角向模的功率沉積特性,電子溫度各向異性因子 χ=Te,⊥/Te,z 的增大或減小均導致功率沉積強度發生劇烈改變.

1 引言

在螺旋波等離子體放電過程中,更為一般的情形是形成的等離子體在徑向具有陡峭的密度梯度,這種密度梯度不僅可以通過 ?P×B作用顯著改變等離子體的輸運特性[1-3],更重要的是,它從根本上改變了等離子體中電磁模式的傳播條件和特性[4-6],從而給我們理解螺旋波等離子體放電過程帶來了更大的難度.2000 年,在低軸向波數條件下,Breizman 和Arefiev[7]在理論上首次發現了非角向對稱模由徑向密度梯度引起的徑向勢阱,結果表明在異常低頻的螺旋波放電中存在射頻功率有效共振吸收的可能性.2006 年,Chen 等[8]在實驗中觀測到以接近射頻天線驅動頻率傳播的螺旋波在軸向呈駐波結構,此螺旋波以共振吸收的形式在整個射頻波功率沉積過程中占據主導地位.與此同時,Arefiev 和Breizman[9]進一步發現沿軸向靜磁場急劇下降的軸向密度分布可以導致螺旋波幾乎被完全反射,且在這一過程中一小部分波的能量通過模式耦合轉換機制轉變為Whistler 波.2008年,在考慮徑向電子密度梯度的條件下,Aliev 和Kr?mer[10]研究發現在大密度梯度情形下,靜電模和電磁模的模式轉換條件會發生改變,如果密度梯度足夠陡峭,可以在更低的密度值處發生模式轉換.2014 年,他們發現當存在模式耦合時,電磁波場型會發生劇烈的變形,從而導致在等離子體柱中心軸處的功率沉積愈發強烈[11].2016 年,借助簡單的天線-等離子體模型,他們發現模式傳播的密度限制和窄磁場分布特點是m=-1 角向模無法主導功率沉積的原因[12].2023 年,更進一步的分析結果表明大密度梯度引起的模式共振機制可用于電子加熱[13].在國內,成玉國等[14]數值分析了徑向電子密度呈拋物線型分布情況下徑向電、磁場強度及能量沉積特性;趙高等[15]通過實驗研究了螺旋波等離子體的放電特性,獲得了射頻功率吸收因放電模式轉變而變化的方式.

等離子體溫度各向異性特性作為螺旋波等離子體中的重要現象[16,17],因其涉及到復雜的動理學效應,因此一直是螺旋波等離子體放電理論與實驗研究中的難點.為探究等離子體溫度各向異性對螺旋波等離子體中電磁波模式功率沉積特性的影響,本文在考慮等離子體有限拉莫爾半徑效應和溫等離子體介電張量模型情形下(同時也是更加符合螺旋波等離子體放電的實際情形),理論分析了等離子體溫度各向異性在螺旋波m=1 角向模功率沉積中扮演的作用,作為解決這個難題的初步嘗試,本文采用更為一般的徑向密度非均勻分布假設,在螺旋波等離子體典型參量條件下,分析了電子溫度各向異性對螺旋波m=1 角向模功率沉積特性的影響,所得結果為進一步理解螺旋波等離子體放電機制提供了理論線索.

2 理論模型

圖1 為螺旋波放電產生等離子體的橫向截面示意圖.半徑為a的等離子體柱被玻璃管包裹,浸沒在軸向靜磁場B0ez中;玻璃管放置在半徑為b的真空腔體中;位于玻璃管外壁附近的是螺旋波天線,其攜帶的射頻功率電流放電產生徑向密度非均勻分布的等離子體輪廓;假定等離子體中離子攜帶單位正電荷,且其溫度遠小于電子溫度.

圖1 螺旋波放電產生等離子體柱橫向截面示意圖Fig.1.Cross section of helicon wave discharge plasma column.

在圖1 所示的圓柱坐標系(r,θ,z) 下,假定擾動電磁場具有形式,根據Maxwell方程組:

得到關于電磁場橫向分量的波動方程:

其中,m為角向模數,kz為軸向波數,ω為波頻率;橫向拉普拉斯算表示為

式中,符號⊥表示垂直于軸向靜磁場的橫向方向;k⊥,TG和k⊥,H分別表示短波Trivelpiece-Gould 波(TG 波)和長波螺旋波的橫向波數;?為等離子體介電張量,在麥克斯韋速度分布等離子體中,假定等離子體溫度各向異性,溫等離子體介電張量元素為[18]

(8)式右側第一項代表電子與絕緣壁之間的碰撞,第二項為電子-離子碰撞效應,第三項代表電子與中性工質氣體碰撞電離;其中 lnΛ=23-為電子-離子庫侖對數;A為工質氣體原子質量數;nn=3.54×1013pArcm-3為中性工質氣體密度[21],pAr為工質氣體(氬氣)氣壓,單位為mTorr (1 Torr=133.32 Pa);σen=5×10-15cm2為電子-氬氣碰撞截面; In(·) 為n階第一類修正貝塞爾函數;等離子體色散函數Z(ζ) 定義為[22]

利用全波分析方法,求解(3)式,得到以下描述電磁波縱向分量的耦合方程組[10]:

其中,Nz=kz/k0為折射率;k0=ω/c為真空波數;c為光速;f和g分別為

在螺旋波等離子體中,TG 波和螺旋波的橫向波數可以通過求解下式色散方程得到:

特別地,在均勻等離子體中,上式色散關系變為[23]

式中,R=?⊥+?∠;L=?⊥-?∠.當TG 波和螺旋波的橫向波數相等時,即可發生模式耦合,此時等離子體參量滿足下列關系式:

其中,

注意到(17)式是關于求解模式耦合層(mode coupling surface,MCS)位置(r0)的隱式方程.

在典型螺旋波等離子體頻率條件ωci?ω?ωce?ωpe下,數值求解(15)式,得到TG 波和螺旋波的橫向波數;然后求解(11)式和(12)式,分別得到TG 波和螺旋波的場型分布;最后利用(20)式求得電磁波的功率沉積[24]:

其中,J為等離子體電流;Er,Eθ及Ez分別為等離子體中徑向、角向及軸向電場分量.

本文主要研究螺旋波m=1 角向模的功率沉積特性,在分析過程中,采用尋根函數fsolve 求解色散(15)式;計算中假定工質氣體為氬氣 (A=40),其波頻率ω=13.56 MHz,軸向靜磁場B0=48 G(1 G=10-4T),中性氣體氣壓pAr=0.5 mTorr,等離子體柱半徑a=3 cm,等離子體密度峰值n0=1×1013cm-3,離子軸向溫度與電子軸向溫度之比Ti,z/Te,z=0.1.

3 數值計算與結果分析

在分析模式耦合特性之前,需要對螺旋波等離子體中存在的波阻尼機制予以分析,典型的阻尼機制包含碰撞阻尼(collisional damping,CD)和朗道阻尼(Landau damping,LD).由于離子熱速度遠遠小于電子熱速度,在計算阻尼頻率過程中僅考慮電子項阻尼機制.為直接、簡潔地對各項阻尼機制的相對重要性做出量化比較,在等離子體溫度各項同性 (T?,⊥/T?,z=1)條件下,采用理論分析公式νLD=(νLD表示朗道阻尼引起的阻尼頻率,ζe=ω/kzvthe)[25],圖2 給出了碰撞阻尼頻率和朗道阻尼頻率隨電子溫度的變化特性,在當前高密度、低磁場條件下,碰撞阻尼和朗道阻尼在不同電子溫度范圍內占據統治地位.在典型螺旋波等離子體電子溫度范圍Te∈(3,8)eV 內[24],隨著電子溫度的增大,碰撞阻尼頻率逐漸減小而朗道阻尼頻率逐漸增大;當Te＞5.4 eV 時,朗道阻尼超過碰撞阻尼在整個電磁波能量沉積占比中占據主導地位.這是因為隨著電子溫度的增大,電子熱速度逐漸接近電磁波的相速度,朗道阻尼效應逐漸增強;而碰撞阻尼中電子-離子間碰撞效應引起的碰撞阻尼隨著電子溫度的增大而顯著減小,盡管電子與中性工質氣體之間的碰撞阻尼因電子溫度的增大會增加,但增加的幅值不足以抵消電子-離子間碰撞阻尼的減小量,故總碰撞阻尼呈現減小趨勢.

圖2 碰撞阻尼頻率與朗道阻尼頻率隨電子溫度的變化Fig.2.Dependence of the collisional frequency and Landau frequency on the electron temperature.

作為影響分析過程的一個核心參量,等離子體介電張量元素中的有限拉莫爾半徑效應因子λ?從根本上決定了計算結果的精度,從其定義可以看到,其大小取決橫向波數、電子/離子橫向溫度及靜磁場強度三個參量,軸向靜磁場參量作為影響λ?的最重要因素,在進行后續的計算之前需要先分析其對λ?的影響.定義χ=Te,⊥/Te,z為電子溫度各項異性因子,在χ=0.1,Te,z=3 eV 及kz=1 cm-1參量條件下,基于(16)式,圖3 給出了在B0∈(10,1000)G 范圍內λ?隨軸向靜磁場的變化特性,可以看到,因子λi和λe具有不同的幅值強度,λe～10-4λi,這是因為離子質量遠遠大于電子質量,慣性效應導致離子回旋半徑遠大于電子回旋半徑,表現為電子被凍結在磁力線上,而相比電子離子幾乎不受磁力線的約束;隨著磁場的逐漸增大,λi和λe的幅值均逐漸減小(注意到在B0≈22 G 和B0≈170 G 處λ?出現極值,這可能是由于在這些位置發生電磁波模式耦合轉換和能量共振耗散,導致電子/離子繞磁力線的回旋動理學過程出現擾動),這是因為隨著磁場強度的增大,磁力線對電子/離子的凍結效應逐漸增強,表現為電子/離子的回旋半徑逐漸減小,進而導致λ?的幅值減小;對于本文分析中的低磁場情形,B0=48 G,圖3 表明此時λi≈517,λe≈0.07.這一結果暗示,此時在計算等離子體介電張量元素時離子項可以忽略,這是因為項使得離子計算項趨于零.

圖3 有限拉莫爾半徑效應因子隨軸向靜磁場的變化Fig.3.Dependence of the FLR effects on the axial static magnetic field.

另一個決定計算結果精度的參量是等離子體色散函數宗量中的回旋諧波次數,在χ=0.1 及k⊥=1 cm-1參量條件下,基于(16)式,圖4 給出了在Te,z∈(1,10)eV 范圍內 |ζn,e| 隨軸向電子溫度的變化特性.結果表明,在所有的回旋諧波次數中,n=0次諧波對應的宗量具有最小幅值,其次是|n|=1 次諧波;隨著|n|的增大,對應的宗量的幅值逐漸增大;對于典型螺旋波等離子體電子溫度Te,z=3 eV,圖4 表明此時 |ζ0,e|=0.62,|ζ-1,e|=5.15,|ζ1,e|=6.3,|ζ-2,e|=10.88 ,|ζ2,e|=12.05 .這些結果表明,在等離子體介電張量元素計算過程中,|n|≥2 次諧波可以忽略,只保留 |n|≤1 次諧波即可.

圖4 |n|≤3 次回旋諧波對應的色散函數宗量隨電子溫度的變化Fig.4.Dependence of the argument of the plasma dispersion function on electron temperature for the |n|≤ 3 cyclotron harmonics.

采用高斯型密度輪廓分布Γ(r)=,參量γ用來控制密度梯度,此時電子-壁碰撞阻尼頻率是半徑的函數.圖5 給出了γ=0.01 m 情形下等離子體密度np及電子-壁碰撞頻率νe-wall的徑向分布,對于非均勻密度分布,電子-壁碰撞頻率νe-wall在某一徑向位置取得最大值.圖5 中的子圖顯示在當前參量條件下,此最大值對應的徑向位置約在r=1.48rLe處,這表明通過電子-壁碰撞阻尼機制沉積的電磁波能量在徑向具有非均勻特性,這為深入理解電磁波能量沉積過程提供了思路.

圖5 高斯型等離子體密度及電子-絕緣壁碰撞頻率的徑向分布Fig.5.Radial profile of the plasma density distribution and electron-wall collisional frequency.

電磁波在等離子體柱中傳播時,其部分能量沉積入等離子體中,通常用傳播常數表征電磁波的衰減特性,在有損介質中,傳播常數具有復數形式,即kz=β+jα,其中β為相位常數(單位: rad/m),α為衰減常數(單位: Np/m).在Te,z=3 eV,χ=0.1及k⊥=1 cm-1參量條件下,圖6 為相位常數和衰減常數的徑向分布特性,計算結果顯示,在圖5 所示的密度輪廓 (γ=0.01 m)條件下,在歸一化半徑 (r/rLe) 范圍內,隨著r/rLe的增大(即等離子體密度的減小),相位常數先逐漸增大,在r≈1.45rLe處取得最大值,而后隨著r/rLe的繼續增大而持續單調減小,直至在等離子體柱邊緣處取得最小值;對于衰減常數,其幅值變化輪廓與等離子體密度輪廓吻合,其在等離子體柱中心位置取得最大值,在等離子體柱邊緣處取得最小值.值得注意的是,相位常數與電子-壁碰撞頻率在非常接近的徑向位置取得峰值,這暗示電磁波的傳播與其能量沉積存在密切的關聯.這些結論表明,電磁波在等離子體中的傳播受到等離子體密度的調控,其能量沉積也與密度幅值關系密切.

圖6 相位常數和衰減常數隨歸一化半徑的變化特性Fig.6.Amplitude of phase and attenuation constants varies with normalized radial position.

在徑向密度非均勻分布螺旋波等離子體中,存在由密度梯度引起的電磁模式耦合轉換現象.計算電磁波能量沉積之前,有必要首先對不同電磁波模式的橫向波數分布特性和它們之間的耦合轉換特性予以分析.接著上面的分析,在γ=0.01 m,Te,z=3 eV,χ=0.1 及kz=1 cm-1參量條件下,采用歸一化半徑變量r/rLe.圖7 中的計算結果顯示: 在當前參量條件下,等離子體中同時存在TG 波和螺旋波;隨著徑向等離子體密度的變化,TG 波和螺旋波對應的橫向波數隨之發生顯著改變.圖7 中的子圖顯示TG 波和螺旋波在r≈5.875rLe處發生模式耦合;在等離子體柱邊緣附近區域(約a/6 厚度區域內),螺旋波波數為零,這暗示在這一區域螺旋波無法傳播,因為其傳播存在最低密度閾值要求;而對于TG 波,圖7 顯示在當前參量條件下其可以在整個徑向區域內傳播.以上結論表明,在徑向密度非均勻分布和低磁場條件下,在進行電磁波能量沉積計算之前,必須首先明確等離子體中存在何種電磁波,以及其對應的傳播區域,這種預先分析可以為我們之后進行的電磁波能量沉積定量分析提供參量指引.

圖7 螺旋波和TG 波的徑向模式耦合特性Fig.7.Mode coupling characteristic of helicon and TG waves on the normalized radial position.

在以上分析的基礎上,采用拋物線密度分布,在χ=0.1 及kz=1 cm-1參量條件下,圖8 給出了由朗道阻尼和碰撞阻尼共同引起的功率沉積Pabs在 (r,Te,z) 空間的歸一化分布.由圖8(a)可知,當電子溫度各項異性因子給定時 (χ=0.1),在典型螺旋波等離子體電子溫度范圍Te,z∈(3,8)eV 內,功率沉積Pabs隨著軸向電子溫度Te,z的增大而逐漸增強,在徑向功率沉積則呈現拋物線分布特性,在某一徑向位置取得峰值(當前參量條件下在r≈1.2 cm處);此外,當增大等離子體密度時,圖8(b)計算結果表明密度的變化并未改變功率沉積的輪廓特征.更進一步,為詳細探究朗道阻尼和碰撞阻尼在螺旋波m=1 角向模功率沉積中扮演的角色,在與圖8 分析結果相同參量條件下,圖9給出了由朗道阻尼引起的功率沉積Pabs,LD和由碰撞阻尼引起的功率沉積Pabs,CD在 (r,Te,z) 參量空間的分布特性.計算結果表明,隨著軸向電子溫度的增大,Pabs,LD和Pabs,CD的幅值均逐漸增大;在徑向,Pabs,LD和Pabs,CD均呈現拋物線分布特性,且均在某一徑向處取得峰值;相較朗道阻尼,碰撞阻尼在螺旋波m=1 角向模功率沉積中占據主導地位.這是因為隨著軸向電子溫度的增大,電子與中性原子之間的碰撞效應增強,使得更多的電磁波能量用來電離中性原子,導致由碰撞阻尼引起的功率沉積逐漸增大;同時,隨著軸向電子溫度的增大,電子的軸向速度逐漸靠近波相速,使得朗道阻尼效應愈發顯著,導致由朗道阻尼引起的功率沉積也逐漸增大.另外,螺旋波m=1 角向模的功率沉積主要集中在偏離等離子體柱中心軸處,這可能與波的傳播特性有關,圖6 顯示相位常數β亦在偏離等離子體柱中心軸處取得峰值.

圖8 歸一化功率沉積Pabs/max＜Pabs＞在(r,Te,z)參量空間的分布 (a) n0=1×1013 cm-3;(b) n0=1.2×1013 cm-3Fig.8.Distribution of normalized power deposition Pabs/max＜Pabs＞ in the (r,Te,z) parameter space: (a) n0=1×1013 cm-3;(b) n0=1.2×1013 cm-3.

圖9 朗道阻尼(a)和碰撞阻尼(b)引起的功率沉積在(r,Te, z)參量空間的分布Fig.9.Landau damping (a) and collisional damping (b) induced power deposition in the (r,Te, z) parameter space.

為更詳細地分析螺旋波m=1 角向模的能量沉積特性,接著上面的分析,在Te,z=3 eV 及kz=1 cm-1參量條件下,圖10 給出了由碰撞阻尼導致的功率沉積在r∈(0 cm,3 cm) 和χ∈(0.1,10)變量空間的分布特性.分析結果顯示,與圖8 分析結果相同,由碰撞阻尼導致的功率沉積Pabs,CD在偏離等離子體柱中心軸的某一徑向處取得峰值;電子溫度各項異性對功率沉積特性具有根本性的影響,當χ＜1 時,即橫向電子溫度小于軸向電子溫度,功率沉積隨著χ的減小逐漸增強,并在χ=0.1處存在極大值;當χ＞1 時,隨著χ的增大,功率沉積幅值并非單調變化,其在χ=10 處存在最大值.此外,圖10(a)—(c)表明,在低磁場條件下,磁場強度的變化并未改變功率沉積在m=1 值范圍兩端 (m=1 處和m=1 處)分別取得極大值和最大值的特性.電子溫度各項異性對功率沉積特性的根本性影響不僅體現在螺旋波m=1 角向模功率沉積聚焦的位置發生了改變,同時也顯著地影響了功率沉積強度.這些改變背后的原因是復雜的,既涉及到電磁波與等離子體之間的動理學相互作用,同時也與電磁波在軸向和橫向上不同的能量沉積機制有關,軸向電子溫度和橫向電子溫度的大小及兩者的比值,直接決定了電磁波在軸向和橫向受到的阻尼大小.綜合以上分析,可以看到電子溫度各項異性對我們深入理解螺旋波等離子體的放電過程至關重要.

圖10 (二維)條件下歸一化功率沉積Pabs,CD/max＜Pabs,CD＞在 (r,χ) 參量空間的分布 (a) B0=32 G;(b) B0=40 G ;(c) B0=48 G;(d)B0=48 GFig.10.Distribution of normalized power deposition Pabs,CD/max＜Pabs,CD＞ in the (r,χ) parameter space (two dimensional):(a) B0=32 G;(b) B0=40 G;(c) B0=48 G;(d) B0=48 G.

4 結論

在徑向密度非均勻分布螺旋波等離子體中,考慮等離子體溫度各向異性特性及動理學效應,理論分析了高密度、低磁場、低氣壓條件下等離子體柱中螺旋波與TG 波的模式耦合特性,并定性分析了螺旋波m=1 角向模的功率沉積特性,研究結果表明: 1)在低磁場情形下,電子及離子的回旋效應各不相同,電子趨于被“凍結”在磁力線上,導致其有限拉莫爾半徑效應需以考慮;而離子由于其質量慣性作用,可忽略其有限拉莫爾半徑效應.2)在等離子體溫度各向同性情形下,碰撞阻尼和朗道阻尼在不同的電子溫度范圍內占據主導地位,且存在一個臨界電子溫度,超過此臨界溫度,朗道阻尼起到主導作用.3)在等離子體溫度各向異性情形下,回旋諧波次數決定了等離子體色散函數宗量的幅值,|n|≥2 次諧波對宗量的貢獻可以忽略;m=1 角向模的相位常數(傳播常數的實部)在r≈1.45rLe處存在最大值,同時螺旋波與TG 波在r≈rLe處存在模式耦合.4)等離子體溫度各向異性從根本上改變了螺旋波m=1 角向模的功率沉積特性: 對于給定的等離子體溫度各向異性因子χ,在典型螺旋波等離子體電子溫度范圍Te,z∈(3,8)eV 內,隨著軸向電子溫度的增大,功率沉積逐漸增強且在偏離等離子體柱中心軸處取得峰值,碰撞阻尼相較朗道阻尼在功率沉積中占據主導作用;在χ∈(0.1,10)范圍內,碰撞阻尼導致的功率沉積分別在χ=0.1和χ=10 處取得極大值和最大值.不同于前人采用冷等離子體介電張量模型和密度均勻分布假設,本文在考慮等離子體有限拉莫爾半徑效應和溫等離子體介電張量模型情形下,得到了這些更加符合螺旋波等離子體放電實際情形的結論,發現了電子溫度各項異性對由碰撞阻尼和朗道阻尼導致的功率沉積具有非常顯著影響這一最重要的結論.這一發現為揭示螺旋波等離子體電離特性背后的物理機制提供了重要的理論線索.