新型零泊松比蜂窩結構的等效彈性參數分析

孫士勇，高 飛，楊 睿，張 雯

（大連理工大學機械工程學院精密與特種加工教育部重點實驗室，遼寧 大連 116024）

1 引言

蜂窩結構具有質輕、承載力強以及吸能、降噪、隔熱等特點，常被制成夾芯結構廣泛應用于航空航天、交通運輸、能源動力等領域[1-3]。按照泊松比的不同，蜂窩結構可以分為正泊松比蜂窩[4]、零泊松比蜂窩[5]和負泊松比蜂窩[6]。零泊松比蜂窩結構由于其在變形過程中不會出現類似于正泊松比蜂窩結構或者負泊松比蜂窩結構的馬鞍形和拉漲等現象，可以作為支撐結構應用到變體飛機柔性蒙皮中[7]。文獻[8]提出了一種由常規六邊形蜂窩結構和內凹六角形蜂窩結構組合而成的蜂窩結構，該結構呈現出零泊松比的特性，可以作為柔性蒙皮應用到變體機翼中來實現機翼展長方向較大的一維面內變形。文獻[9]提出了一種四角星形零泊松比蜂窩結構，并將該蜂窩結構作為機翼的支撐結構應用到變彎度機翼中。文獻[10]提出了一種以六邊形蜂窩結構和薄板組成的零泊松比蜂窩結構，可以通過對薄板進行設計進而實現整個結構彎曲剛度的變化。

蜂窩結構是一種典型的周期性結構，在進行結構設計時，采用傳統的精細化有限元計算存在建模復雜、計算量大等問題，難以用于結構優化與性能評價。將蜂窩結構假設成均勻連續的材料，基于均勻化方法獲得蜂窩結構的等效彈性參數用于結構的宏觀性能分析是目前蜂窩結構的研究熱點。文獻［11］基于正六邊形蜂窩結構的周期性，通過選取代表性單胞結構，建立了宏觀彈性本構方程，得到了該結構的宏觀等效彈性參數解析解。文獻［12］利用梁模型，考慮了蜂窩壁伸縮變形和剪切變形，計算出常規六角蜂窩結構的二維等效彈性參數。文獻［13］針對正六邊形蜂窩結構提出了Y型等效模型，利用能量法推導了結構的二維等效性能。面對較為復雜的蜂窩構型時，目前多采用代表體元法進行等效彈性參數的分析。文獻［14］通過拓撲優化的方式提出蜂窩結構近似設計方法，結合有限元方法對所設計的結構進行了性能分析。文獻［15］提出了一種基于漸進均勻化的新求解方法，該方法通過利用有限元商業軟件結合代表體元法，不需要復雜的數學公式推導，就可以對三維周期性材料的等效彈性參數進行預測。但是在分析不同的彈性參數時，需分別建立代表模型并施加相應的周期性邊界條件進行求解。

這里提出了一種新型零泊松比蜂窩結構，采用一種新的多尺度分析方法-結構基因力學（MSG），通過將單胞結構從周期性結構中剝離出來，對單胞結構進行均勻化分析，進而得到了整體結構的等效彈性性能，并進行了精細化模型有限元數值仿真和實驗，對其面內特性進行了驗證；分析了等效彈性模量與蜂窩結構幾何尺寸參數變化的關系，最后通過與四角星形蜂窩結構的對比，這里提出的新型蜂窩結構在面內變形能力以及抵抗面外變形的能力優于四角星形蜂窩結構，具有在變體飛機中的良好應用前景。

2 蜂窩結構設計

四角星形蜂窩［9］是一種典型的零泊松比蜂窩結構，但受限于不同蜂窩單胞之間星角處點與點的連接形式，四角星形蜂窩構成的蜂窩板結構不易實現面內彎曲變形。這里在四角星形蜂窩結構的基礎上，通過在星角處引入的水平和豎直蜂窩壁，改變了原四角星蜂窩單胞之間的連接方式，構成了一種新型蜂窩結構。由于水平蜂窩壁的引入，通過對水平蜂窩壁幾何尺寸的設計使結構獲得不同的面內彎曲剛度，從而獲得滿足設計要求的結構。蜂窩單胞尺寸可以由蜂窩斜壁長L1、L2，蜂窩橫壁長H，蜂窩壁角度θ，蜂窩壁厚度t和蜂窩單胞厚度b來表示，如圖1所示。

圖1 蜂窩單胞幾何參數Fig.1 The Geometric Parameters of a Honeycomb Unit Cell

為了便于分析，將蜂窩單胞尺寸參數進行無量綱化處理，定義無量綱參數α，β，η，其中蜂窩壁長度之比α=L12，為蜂窩壁橫斜比β=1，蜂窩壁厚度比γ=。相對密度是蜂窩結構的一個重要參數，由蜂窩壁面積與蜂窩結構等效承載面積之比得到蜂窩結構的相對密度表達式：

3 基于結構基因的蜂窩單胞模型

結構基因力學（MSG）是以漸進變分法為核心，用于多尺度分析的半解析法，通過均勻化和逆均勻化來實現細觀模型與宏觀模型之間的信息傳遞，其中結構基因（SG）是記錄結構信息的最小模塊并作用于MSG的分析域中［16］。SG是建立在代表性結構單元（RVE）的概念之上，以強調它包含結構所需的所有組成信息，其方式與基因組包含生物體生長發育的所有內在信息相同。

MSG從原始模型開始，首先將SG識別為結構的最小單胞，然后使用最小信息損失原理（PMIL）將原始問題分解為SG上的本構建模和宏觀結構分析，PMIL是通過線彈性材料的應變能密度來實現的。

在MSG中，首先，定義了宏觀坐標xi和細觀坐標yi，兩者的關系為yi=xδ，其中，δ是一個用來描述SG模型的微小參數。宏觀模型的應變場可以表示為：

式中：χ(i，j)—在細觀力學中表示為波動函數，代表著宏細觀兩種尺度下的差異。

PMIL 使得原始非均質模型和均質模型之間的應變能差異最小化，表示為：

w用形函數來表示：

式中：S—SG單元的形函數；V—波動函數的節點分量。最終SG中的應變能函數U可表示為：

式中：C*—宏觀結構模型的等效剛度矩陣；—在SG 域內的平均值。蜂窩板在宏觀上是一種3維結構，表現出蜂窩單胞沿著x-y平面周期性排列的特征，建立3D SG蜂窩單胞模型，如圖2所示。通過對單胞模型進行均勻化分析，獲得整個蜂窩板結構的整體力學性能。

圖2 3D SG蜂窩單胞模型Fig.2 3D SG for a Honeycomb Unit Cell

4 結果及分析

4.1 新型零泊松比蜂窩結構等效彈性模量分析與驗證

利用有限元分析軟件ABAQUS∕Standard對蜂窩結構的面內彈性參數進行分析。蜂窩結構有限元模型采用的材料為ABSM30，其材料屬性由3D 打印技術制備的試件根據GB T1040.1-2066 測試標準獲取，楊氏模量E=1862MPa，泊松比ν=0.3。蜂窩單胞的尺寸參數分別是L=10mm，H=5mm，Φ=30°和t=2mm，建立（7×7）的2D蜂窩結構有限元模型計算結構的面內楊氏模量、面內剪切模量和泊松比，網格單元屬性為S4R，經收斂性分析后，網格尺寸設置為0.5t。建立4個參考點通過運動耦合的方式分別控制蜂窩結構的上、下、左和右邊界上的節點，在上下參考點施加位移邊界來獲取結構的單軸拉伸變形，在左右參考點施加反對稱邊界條件來獲取結構的面內剪切變形，詳細邊界條件施加，如表1所示。

表1 蜂窩結構有限元模擬邊界條件Tab.1 Finite Element Simulation of Boundary Conditions of Honeycomb Structure

對7×7蜂窩結構精細化有限元模型提取中間區域蜂窩單胞結構的應力和應變信息，根據泊松比定義公式νs=-ε2-ε1計算出蜂窩結構的泊松比，面內剪切模量由G12=σshear∕εshear計算獲得。為了驗證精細化仿真模型（FEM）和MSG等效分析方法計算出蜂窩結構等效彈性參數有效性，引入ABAQUS 官方的代表體元法計算插件Micromechanics Plugin（MMP）［17］進行對比。

FEM模型、MMP模型和MSG模型預測的蜂窩結構的面內楊氏模量E1、面內剪切模量G12以及泊松比νs，如表2所示。其中誤差1為FEM模型和MMP模型的相對誤差，誤差2是MSG模型與MMP模型的相對誤差。從表1中可以看出，MSG模型和MMP模型對于泊松比νs的預測值與FEM模型的數值誤差為-6.3%，由于泊松比近似為0，因而該誤差在接受范圍內。對于面內楊氏模量E1和面內剪切模型G12的結果，三種計算方式得到數值相差不大，其中MSG 模型和MMP 模型兩者的誤差僅為-0.19%和-0.24%，說明MSG在進行蜂窩結構等效彈性模量預測時具有較好的正確性。與代表體元法相比，MSG不用反復施加邊界條件，也不必施加周期性邊界條件，對于給定尺寸參數的模型一次性即可得到正交各向異性結構的9個彈性等效參數。

表2 面內楊氏模量試驗、有限元和MSG對比Tab.2 Comparison of the Experimental,FEM and MSG Results for the In-Plane Modulus

4.2 蜂窩結構參數對等效彈性參數的影響

在不同的蜂窩壁橫斜比β與厚度比γ下，蜂窩結構的等效彈性參數隨著角度Φ的變化情況，如圖3、圖4所示。從圖3（a）和圖4（a）中可以看出，隨著夾角Φ的增加，結構的面內泊松比ν12逐漸降低之后會穩定在0.02附近。這是由于夾角Φ值變大后，受力方向上蜂窩壁是變形的主要區域，垂直于受力方向的蜂窩壁的變形主要是通過兩個方向交叉區域而引起的微小橫向變形，進而由于垂直于受力方向上蜂窩壁自身材料正泊松比特性造成了蜂窩結構呈現出較小的非零值，如圖3（b）、圖4（c）所示。當夾角Φ處于（0～15）°范圍之間變化時，對結構相對密度的影響較小，隨著夾角Φ逐漸增加，達到（15～30）°區間時，結構的相對密度會略有上升。

圖3 在α=1，γ=0.1時，不同β參數下蜂窩結構等效彈性參數MSG預測值Fig.3 MSG Predictions of the Equivalent Elastic Modulus of the Honeycomb Structure for Various Parameters β while α=1，γ=0.1

圖4 在α=1，β=0.5時，不同γ參數下蜂窩結構等效彈性參數MSG預測值Fig.4 MSG Predictions of the Equivalent Elastic Modulus of the Honeycomb Structure for Various Parameters γ while α=1，β=0.5

在參數β和γ不同的情況下，蜂窩結構的面內楊氏模量會隨著夾角Φ的增加而降低，如圖3（c）、圖4（c）所示。與原材料的模量相比較，蜂窩結構的面內楊氏模量會降低（1～2）個數量級。較低的面內楊氏模量可以使得結構在相同驅動力的條件下，獲得更大的變形。

在參數β和γ不變的情況下，夾角Φ對于蜂窩結構的面內剪切模量影響較小，但是根據實際的需求，通過不同的β和γ組合可以使結構得到不同的剪切模量，如圖3（d）、圖4（d）所示。例如，當β=1.5，γ=0.05時，這種組合會使結構的面內剪切模量最小。蜂窩結構在變體結構中的主要應用是作為蒙皮的支撐結構，支撐結構主要的變形方式是彎曲變形，較低的面內剪切模量會使得支撐結構在一定驅動力的條件下，實現更大的面內彎曲變形。

4.3 新型蜂窩結構與四角星形蜂窩結構對比

當新型蜂窩結構和四角星形蜂窩結構相對密度為0.22時，分析線彈性范圍內新型蜂窩結構和四角星形蜂窩結構在不同夾角Φ時面內泊松比的變化情況，從圖5（a）中可以看出，相對于四角星形蜂窩結構，新型蜂窩結構的面內泊松比呈現出的零泊松比特性更加穩定。在相同相對密度條件下，對比新型蜂窩結構和四角星形蜂窩結構在夾角Φ=30°的等效彈性模量，如圖5（b）所示。此時，新型蜂窩結構的等效面內模量E1小于四角星形結構，二者的剪切模量幾乎相等，而前者的面外剪切模量略大于后者。綜合對比結果，可以得出新型蜂窩結構不僅保持了原有四角星形結構零泊松比特性，而且該結構的面內變形能力以及抵抗面外變形的能力優于四角星形蜂窩結構。

圖5 兩種蜂窩結構的面內泊松比及等效彈性模量對比Fig.5 Comparison of in-Plane Poisson’s Ratio and Equivalent Elastic Modulus of Two Honeycomb Structures

5 結論

（1）提出了一種新型零泊松比蜂窩結構，該蜂窩結構不僅具有零泊松比特性，而且可以實現面內與面外力學性能的分別設計。通過與四角星形蜂窩結構對比，表明了在同樣相對密度條件下，新型蜂窩結構會得到更小的面內模量，而較低的模量可以使得結構在相同驅動力的條件下獲得更大的變形，新型蜂窩結構具有在變體飛機柔性蒙皮上的應用前景。

（2）采用一種新的多尺度分析方法-結構基因力學（MSG）分析了等效彈性模量與蜂窩結構幾何尺寸參數變化的關系，并結合精細化模型有限元方法驗證了該方法的有效性，說明MSG在進行蜂窩結構等效彈性模量預測時具備較好的正確性。

（3）新型蜂窩結構的面內等效彈性模量會隨著蜂窩夾角θ、水平壁H和傾斜壁L的增加而降低，同時與原材料的模量相比較，新型蜂窩結構的面內模量會降低（1～2）個數量級。

由于新型蜂窩結構改變了點對點的連接方式，除3D打印工藝外可以采用其他成型工藝，例如采用嵌鎖組裝工藝結合樹脂基復合材料制備新型蜂窩結構，可以在材料層次進一步提升結構可設計性。