基于壓縮感知的蘭姆波下采樣和損傷定位

程 濤，楊 明，吳小龍

（廣西科技大學機械與交通學院，廣西 柳州 545006）

1 引言

目前，傳統超聲體波檢測儀器的市場雖然逐漸被超聲導波（蘭姆波）檢測產品所替代，但是超聲導波檢測儀器產品種類和應用范圍仍十分有限。超聲導波檢測被視為最具潛力的無損檢測和結構健康監測的技術，而研究使用簡單、檢測快速和輕便易攜的超聲導波檢測儀器是當前發展的主要方向[1]。壓縮感知理論突破了奈奎斯特采樣定理，能夠從少量測量數據中準確恢復原始信號。經過十余年的發展，壓縮感知已廣泛應用于各行各業，不斷給各領域的研究發展帶來新的突破[2]，壓縮感知與蘭姆波檢測技術的結合也為無損檢測和結構健康監測的儀器設備設計提供了新思路。

壓縮感知在蘭姆波檢測方面的應用研究主要有：導波信號重構、導波場重構和損傷檢測。在導波信號重構方面，文獻[3]提出針對分布式傳感網絡結構的改進匹配追蹤算法，在滿足精度要求的前提下減少了數據采集量和計算時間。針對導波在損傷結構中傳播會產生復雜的頻散現象，文獻[4]提出一種稀疏波數分析法來準確重構導波信號的頻率-波數關系。在導波場重構方面，文獻[5]研究分析導波場在不同稀疏基下的重構效果。研究結果表明基于壓縮感知的導波場重構可以將測量點數降低到原始采樣點數量的34%以下。文獻[6]提出一種無需基準信號的復合材料板入射波場分離技術，實現了對復合材料板導波場重構。

在損傷檢測方面，文獻[7]通過比較在不同表示域中的重構導波場分析推斷損傷位置。文獻[8]利用壓縮感知從稀疏陣列得到的少量檢測數據中恢復出加筋板結構中蘭姆波的頻散特性。然后通過將余弦和皮爾森相似度相結合的稀疏陣列蘭姆波復合成像方法，實現了加筋板結構中大范圍缺陷檢測和成像。不同于上述方法，基于壓縮感知利用損傷信號在空間域中的稀疏性，通過構造的蘭姆波波形字典（即測量矩陣）將接收到的損傷信號分解到空間域，就可直接識別定位損傷[9]。這種基于壓縮感知和蘭姆波的損傷檢測方法具有很大的潛力，為損傷檢測提供了新的方法。但是，其有效性依賴于測量矩陣的性能。因此，測量矩陣的設計和性能十分重要。以此為出發點，研究了測量矩陣構建過程中蘭姆波下采樣問題，提出了基于插值的計算下采樣信號與真實信號相關系數的方法，以確定最佳采樣間隔來構造測量矩陣，并對測量矩陣進行后處理法優化。

2 基于壓縮感知和蘭姆波的損傷定位

壓縮感知理論表明，如果信號是稀疏的，就能以遠低于奈奎斯特（Nyquist）采樣定理的采樣率采集信號，并能以高概率精確重建稀疏信號[2，10]。壓縮感知數學模型，如式（1）所示，求解式（1）就可以重構出稀疏信號x。

式中：y—測量數據，y∈RM；Φ—測量矩陣，Φ∈RM×N，M＜N；x—稀疏信號，x∈RN；min||x||0—目標函數；y=Φx—約束函數；‖·‖0—l0范數。

蘭姆波在平板結構中傳播時伴隨頻散現象。傳播波形遇到損傷或缺陷就會發生模態轉換。波形隨損傷程度和位置的變化而變化[11]。雖然超聲導波檢測中接收的信號在時域上是非稀疏的，但平板結構中損傷的數量有限，損傷部分在空間域中稀疏分布，從而滿足壓縮感知理論的稀疏性要求。因此，基于蘭姆波，可用壓縮感知研究損傷定位。

這種基于壓縮感知和蘭姆波的損傷定位方法的關鍵是構造測量矩陣Φ。測量矩陣Φ是由N個損傷位置不同的鋁梁的損傷波形組成。即，測量矩陣的每一列就是一個損傷波形。因此，在構建測量矩陣Φ之前，需要建立包含各種損傷波形的數據庫。這里采用WaveFormRevealer來獲取N-1個損傷位置不同的鋁梁的損傷波形和1 個無損傷鋁梁的健康波形，并構造測量矩陣。WaveFormRevealer是久經檢驗和非常成熟的模擬多模態導波傳播和損傷相互作用的分析框架和預測工具[12]。通過WaveForm-Revealer可設置損傷參數和激勵信號，并基于導波在結構中的傳播的理論解生成解析波形。

通過在WaveFormRevealer中設置只改變鋁梁的損傷位置，其他損傷參數相同（為簡化分析，鋁梁的損傷都設置為相同矩形刻槽），以此依次創建不同損傷鋁梁的模型；并給不同損傷鋁梁施加相同激勵信號，采集各自的損傷信號用以建立測量矩陣Φ。激勵信號是中心頻率為100kHz的5周期漢寧窗正弦激勵信號，如圖1所示。為了保證所構建測量矩陣Φ的有效性，需要分析各接收信號的特點以及損傷對信號產生的影響。為便于直觀展現各損傷信號的變化特點，選取了無損傷的健康鋁梁以及分別距離左端面100mm和200mm處有相同刻槽的鋁梁，如圖2 所示。在實驗中，在鋁梁的左端面施加激勵信號，從右端面采集接收信號。分別從3個鋁梁右端面采集到接收信號，如圖3所示。詳細對比圖3中3個接收信號的波形可知：接收的健康信號包含兩個波包，從左到右分別代表蘭姆波的S0模態和A0模態，而蘭姆波在傳播中經過損傷處時，會發生部分反射和模態轉換，形成損傷信號，并且損傷位置的不同，會使波形發生變化。

圖1 激勵信號Fig.1 Excitation Signals

圖2 損傷位置不同的3個鋁梁的示意圖Fig.2 Schematic Diagram of Three Aluminum Beams with Damage in Different Positions

圖3 接收信號Fig.3 Received Signals

要構造測量矩陣首先需要確定矩陣的大小，即測量矩陣的行數和列數。損傷波形與損傷位置和程度等物理信息有關，但距離過近的相鄰位置損傷的損傷波形幾乎沒有差別。通過大量實驗檢驗驗證，設置相鄰損傷位置間距Δx=4mm 是比較合適的。因此，確定測量矩陣的列數為75。

3 蘭姆波下采樣插值后的失真性

接收信號是本質連續的時域信號按照一定的采樣率得到的離散信號。恰當的采樣率才能使測量矩陣行數小于列數，從而滿足壓縮感知的適用條件[13-14]。但是，過低的采樣率會導致采集到的接收信號與真實信號嚴重失真。

以通過WaveFormRevealer得到的離散的接收信號為真實信號，其原始采樣頻率為20MHz；對真實信號再次進行不同間隔下的均勻采樣，得到下采樣信號。為了使得下采樣信號既滿足測量矩陣的組裝要求又不至于失真嚴重，以選取出最合適的下采樣信號，研究了不同采樣間隔下的下采樣信號與真實信號的相關性。分別以采樣間隔為10、15、20、25、30、35、40、45和50對真實信號下采樣，采集下采樣信號。真實信號和下采樣信號本質都是向量。通過對下采樣信號做雙三次插值處理，將下采樣信號恢復成元素數量與真實信號一樣多的向量。通過式（2）計算插值后的下采樣信號與真實信號的相關系數，就可判斷下采樣信號與真實信號的失真程度。

式中：Sigi—對應測量矩陣第i列的真實信號；Φip—對測量矩陣第i列Φi插值后的下采樣信號；μ—相關系數。

測量矩陣是由75列損傷位置不同的接收信號組成。同樣的采樣間隔對損傷位置不同的下采樣信號和真實信號的失真程度影響并不相同。為了準確評判對應不同下采樣間隔的測量矩陣的失真程度，分別計算同一采樣間隔下測量矩陣75列的相關系數后，統計其均值和標準差，如圖4所示。均值用來衡量采樣間隔對測量矩陣整體失真程度的影響，標準差用來衡量采樣間隔對測量矩陣各列失真程度穩定性的影響。標準差越大，說明采樣間隔對有的列的失真度影響越大，有的列影響很小，影響能力很不穩定。

圖4 采樣間隔與相關系數的關系Fig.4 Sampling Interval vs.Correlation Coefficient

采樣間隔為30、35、40、45和50時，對應的測量矩陣大小分別為66×75、57×75、50×75、44×75和40×75。當采樣間隔小于30時，測量矩陣的行數大于列數，不再適用于壓縮感知的應用情景。隨著采樣間隔從10逐步增加至35，相關系數均值緩慢減小，標準差緩慢變大；在采樣間隔為40時，相關系數的均值開始呈明顯下降，并且處于不穩定的狀態，標準差變的很大，如圖4所示。一般相關系數大于0.7時，下采樣信號可視為失真很小，近似于真實信號。采樣間隔小于等于40的，相關系數都大于0.7。采樣間隔為30時，壓縮比僅1.136。因此適用于壓縮感知的采樣間隔應為35和40，結合上節，最終確定大小為57×75、50×75的測量矩陣是最合適的。

4 基于壓縮感知的損傷定位及其改進

為進一步檢驗不同采樣間隔對損傷定位效果的影響以及測量矩陣的性能，以OMP算法給出了不同采樣間隔的測量矩陣對相同信號的重構結果，如圖5所示。信號采用高斯稀疏信號，對每個稀疏度K值重復試驗500次，然后計算信號精確重構概率。稀疏度的K值設置為從1開始，步長為3，直到重構概率為0時停止。由圖5中曲線“優化前采樣間隔35”和“優化前采樣間隔40”可見，采樣間隔為35時重構效果較好；采樣間隔為40時，曲線位于采樣間隔為35時的下方，重構效果較差。總體來說，采樣間隔為35和40時的重構效果都不是很好。只有在稀疏度為1時，重構概率才達到1，這說明未優化測量矩陣只能應用于單損傷結構檢測。為提升該方法在多損傷結構的檢測能力，即在多損傷結構中能同時鑒別更多數目的損傷，要對測量矩陣進一步優化。

圖5 不同采樣間隔的測量矩陣優化前后的重構結果Fig.5 Reconstruction Results of Measurement Matrix with Different Sampling Intervals Before and After Optimization

損傷定位效果（即重構效果）差的主要原因是測量矩陣性能差。測量矩陣列間相關系數絕對值的最大值可用于判斷測量矩陣性能的優劣。計算兩個測量矩陣的列間相關系數絕對值的最大值發現，分別高達0.9231和0.9062，測量矩陣各列高度相關，因此導致重構效果不好。如能改善測量矩陣的性能就能大大提高損傷定位效果。對測量矩陣Φ做各行正交規范化處理后，可得到優化矩陣ΦO。優化矩陣的性能好于測量矩陣，列間相關系數絕對值的最大值分別降低到0.3545和0.4304。通過優化矩陣可求得過渡矩陣T=ΦOΦT(ΦΦT)-1[15]。在重構階段以之前的測量數據，通過式（3）可重構得到更好的重構效果，如圖5所示。

式中：yT=Τy，ΦT=ΦO=ΤΦ，yT—優化前的測量數據y通過過渡矩陣Τ變換得到的新測量數據；ΦT—測量矩陣Φ通過過渡矩陣Τ變換的新測量矩陣，即優化矩陣。

由圖5中曲線“優化后采樣間隔35”和“優化后采樣間隔40”可見，優化后的重構效果明顯好于優化前。兩條曲線都位于優化前曲線的右側。重構概率為1的稀疏度由1增長到12左右，大大提高了損傷定位精度和能力，使得可以將該方法應用于多損傷結構的檢測領域。

5 結論

基于蘭姆波和壓縮感知的損傷定位技術盡管表現出極大的潛力，但是相關理論和研究并不成熟。提出基于插值的計算下采樣信號與真實信號相關系數的方法，判斷下采樣信號與真實信號的失真程度；并結合壓縮比，選擇合適的采樣間隔，確定測量矩陣。通過對測量矩陣做行正交規范化處理，優化測量矩陣，大大提高重構效果和損傷定位精度及能力。優化后，重構概率為1的稀疏度由1增長到12左右。基于蘭姆波和壓縮感知的損傷定位在無損檢測領域具有廣泛的工程應用前景。