面向齒廓變位的圓柱直齒輪嚙合動態特性研究

馮 超，王萬明

（1.新鄉職業技術學院數控技術學院，河南 新鄉 453000；2.鄭州大學機械與動力工程學院，河南 鄭州 450001）

1 引言

變位直齒輪具有耐久性長、運行平穩、噪音低、振動小等優點，通過有效優化變位系數，變位直齒圓柱齒輪的性能可等效斜齒圓柱齒輪，且可顯著降低機械系統的制造和維護成本。研究齒輪系統的內部激勵和動態特性是對于提升變位齒輪系統的傳動性能具有重要作用[1-2]。

時變嚙合剛度（TVMS）是引起齒輪振動和噪聲的主要內部激勵源之一傳輸系統[3]。文獻[4]提出了一種計算齒輪嚙合剛度的解析有限元法，既考慮了復雜地基剛度的有限元計算精度，又考慮了齒輪齒面分析方法的計算速度。文獻[5]針對直齒錐齒輪的嚙合剛度，提出了將當量齒輪簡化為懸臂梁的方法，通過能量法分析了單齒的嚙合剛度，該方法的有效性通過有限元方法進行了驗證。文獻[6]針對齒輪嚙合接觸性的變化情況，建立了斜齒輪時變嚙合剛度模型，分析了不同齒寬和扭矩作用下的齒輪傳動系統振動規律。文獻[7]分析了裂紋齒輪的齒面接觸應力分布情況，在此基礎上研究了齒根裂紋深度對直齒輪嚙合剛度的影響規律。文獻[8]基于Hertz理論研究了不同設計齒形參數對RV 減速器擺線針輪齒的嚙合剛度的影響，并采用了有限元分析方法驗證了理論模型的合理性。文獻[9]基于勢能法建立了齒廓修形參數對人字齒輪嚙合剛度模型，分析了不同退刀槽寬度以及修形參數對嚙合剛度的影響規律，該模型的有效性通過有限元仿真模型得到了驗證。文獻[10]針對直齒圓柱齒輪嚙合剛度的計算，提出了能量法的計算思路，實現了齒輪嚙合剛度的快速計算，該方法和有限元方法進行了對比，表明該方法是有效的。

上述研究主要集中在TVMS算法和齒輪傳動的動態特性方面，然而在變位直齒圓柱齒輪的幾何特性和動力學特性是不同的。基于此，本研究建立了變位直齒圓柱齒輪傳動分析模型，研究了齒廓變位對時變嚙合剛度（TVMS）和動態特性的影響。

本研究的貢獻可以總結為：（1）提出并生成了一種新的變位直齒輪TVMS解析模型；（2）研究了直齒圓柱齒輪各齒廓變位對TVMS動態特性的影響；（3）探討了直齒輪復合變位對TVMS的影響及其動態特性。

2 時變嚙合剛度分析模型

時變嚙合剛度（TVMS）是齒輪傳動系統中比較典型的周期性激勵源，直接影響傳動系統的運行性能和壽命。設計參數直接影響時變嚙合剛度激振源的程度和強度。因此，建立有效的時變嚙合剛度模型對準確預測直齒輪傳動系統的動態性能至關重要。

2.1 基于勢能法的剛度計算

本研究基于勢能法原理[11]，將齒輪齒簡化為變截面懸臂梁，總勢能由Hertzian接觸能、彎曲能、剪切能、軸向壓縮能和圓角基礎能量組成。根據彈性力學，這五種勢能可以寫成：

式中：F—嚙合齒副接觸面上齒輪嚙合的合力。

單齒輪存儲的總勢能可以用上述分量剛度描述為：

式中：k—嚙合時的總嚙合剛度，下標1和2分別為驅動齒輪和從動齒輪。因此，嚙合齒輪副的總TVMS可以表述為：

式中：下標i表示第i個嚙合齒輪齒。考慮到齒數、模量、齒尖間隙系數等不同的設計參數，可以根據以下兩種情況確定齒高：

（1）根圓小于基圓；（2）根圓大于基圓。齒高可以計算為：

式中：下標i—小齒輪和齒輪；

—齒頂系數；

pi—變位系數；

Δq—齒頂變位系數，可表示為Δq=pp+pg-q，其中，q—中心距變位系數。

2.1.1 情況1

如果根圓小于基圓，輪齒的幾何形狀，如圖1所示。齒廓從齒頂圓開始，在齒根圓結束，齒廓是齒頂圓和基圓之間的漸開線曲線，其余的是過渡曲線。根據輪齒幾何形狀，用于分析剛度組件的幾何參數可以表示為：

圖1 變位直齒輪的輪齒幾何形狀（情況1）Fig.1 Tooth Geometry of Modified Spur Gear（case 1）

其中，φ3=arcsin（h1∕Rf），ax=d1∕（φ3-φ2），bx=d1φ3（φ3-φ2）

基圓與根圓過渡曲線的幾何關系，如圖2所示。

圖2 過渡曲線的幾何關系（情況1）Fig.2 Geometric Relationship of Transition Curve（case 1）

過渡曲線可以描述為參數h1的函數，參數h1可表示為：

可知，F（h1）是參數h1的非線性復雜函數，在給定F（h1）的情況下，本研究采用Newton-Raphson迭代算法進行方程的求解。

由漸開線和過渡曲線組成的軸向壓縮、彎曲和剪切嚙合剛度可表述為：

赫茲接觸剛度可表述為：

式中：L、E、ν—齒寬、楊氏模量、泊松比。圓角基礎剛度可表述為：

其中，β、uf、Sf、L*、M*、P*、Q*可參考文獻[12]中的表述。

2.1.2 情況2

如果根圓大于基圓，輪齒的幾何形狀，如圖3所示。齒廓從齒頂圓開始到根圓，其中齒廓是齒頂圓和根圓之間的漸開線曲線。

圖3 變位直齒輪的輪齒幾何形狀（情況2）Fig.3 Tooth Geometry of Modified Spur Gear（case 2）

同理，由漸開線曲線組成的彎曲、剪切和軸向壓縮嚙合剛度可計算為:

其中，φ4和φ5可通過求解以下耦合方程確定：

2.2 幾何關系分析

對于變位系數相等的變位齒輪和小齒輪組，節圓和基圓是不變的。各自的幾何關系類似于等效標準直齒輪和小齒輪組的幾何關系。然而由于這些圓的不協調變化，變位系數不等的變位齒輪的幾何關系需要重新考慮。

特別是在齒輪嚙合中，齒輪的節圓不再與參考圓重合，因此純滾動的位置發生變化，與標準直齒輪的位置不同。基于變位直齒輪的基本理論[13]，齒輪嚙合開始時的幾何關系，如圖4所示。

圖4 變位直齒輪和小齒輪的幾何關系Fig.4 Geometric Relationship Between Modified Spur Gear and Pinion

在齒輪∕小齒輪嚙合開始時，作用線和齒輪齒頂圓之間的Ap點發生接觸。隨著齒輪傳動的進行，齒輪和小齒輪最終在作用線和小齒輪齒頂圓的交點處分離。從而小齒輪和齒輪的角度φ1可以寫為：

式中：ig—傳動比；上標0—角度的初值；下標p、g—小齒輪和齒輪。小齒輪和齒輪的角φ2可表述為：

其中：Np、Ng—小齒輪和齒輪的齒數；sp、sg—小齒輪和齒輪的齒厚；ep、eg—小齒輪和齒輪的節數和齒厚的差值；φ0—參考壓力角；inv—漸開線函數。角度初值的數學表達式為：

式中：Rb，i—基圓半徑；Ra，g—齒輪上齒頂圓半徑；a'—變位后的中心距。

3 變位直齒輪的研究框架

本節根據前述建立的TVMS模型來檢驗變位直齒圓柱齒輪，研究框架，如圖5所述。基于變位直齒圓柱齒輪的振動模態，利用集中質量模型提取其振動響應和統計特征。

圖5 基于TVMS模型的變位直齒輪研究框架Fig.5 Research Framework of Modified Spur Gear Based on Tvms Model

齒輪和小齒輪系統的六自由度動力學模型，如圖6所示。對于直齒輪，由于嚙合剛度影響齒輪副平面而非軸向振動，因此只考慮沿作用線、垂直于作用線的運動和旋轉。軸端與軸承相連，采用并聯彈簧阻尼裝置，動力系統的控制方程可以寫成［14］：

圖6 齒輪和小齒輪動力學模型Fig.6 Dynamic Model of Gear and Pinion

式中：mp，g、Ip，g—小齒輪和齒輪的質量和轉動慣量；cb、kb—軸承的阻尼和剛度；Tp、Tg—驅動扭矩和負載扭矩；Fm、Ff—嚙合力和摩擦力，可以表述為：

式中：e（t）—靜態傳輸誤差；μ—摩擦系數。此外，采用等效質量、阻尼比和平均嚙合剛度計算嚙合阻尼系數cm，可表述為:

式中：ζ—阻尼比；—平均嚙合剛度；m—等效質量，可用m=mpmg∕（mp+mg）來描述。因此，由于其他參數是固定的，阻尼比決定了嚙合阻尼系數。

為了分析阻尼比對動力分析靈敏度的影響，分別選取ζ為0.07、0.08、0.09和0.1進行仿真分析。從而齒輪系統的動態傳輸誤差（DTE）可以表述為成DTE=xp-xg+Rb，pβp+Rb，gβg-e（t）。嚙合齒輪和小齒輪組的設計參數值，如表1所示。

表1 變位直齒輪和小齒輪參數值Tab.1 Parameter Values of Modified Spur Gears and Pinions

為了研究齒廓變位的影響，對不同變位系數的齒輪系統進行了動態仿真[15]。齒輪傳動特性反映了齒輪系統相互作用的主要特性，對嚙合力和振動加速度有顯著影響。本研究利用頻譜和統計指標對設計參數進行分析。為了系統地評價齒廓變位對齒輪系統振動的影響，選擇了四個時域指標來描述振動加速度的變化趨勢，即均方根（RMS）、幅值平方根（SRA）、峰峰值（PPV）、峰度值（KV），這些指標可表述為：

4 案例研究

利用前述提出的TVMS模型和分析框架，本節對單齒變位和復合變位對直齒圓柱齒輪TVMS動態特性的影響。

4.1 單齒變位分析

4.4.1 正變位分析

在研究變位直齒圓柱齒輪的TVMS和動態特性之前，需要了解變位系數對單個齒輪輪齒剛度的影響。本研究選擇小齒輪作為研究對象，研究正變位的影響。在此，我們研究了六個變位系數分別為0、0.1、0.2、0.3、0.4和0.5的小齒輪輪齒剛度。不同變位系數下的小齒輪輪齒剛度，如圖7所示。總的來說，正變位系數使輪齒更能抵抗高剛度造成的變形。但在嚙合開始和嚙合結束時，變位系數對剛度的影響是不同的。為了更明顯地描述這種影響，提出一個相對于標準直齒圓柱齒輪的比例指標：

圖7 不同變位系數下的小齒輪齒輪剛度Fig.7 Single Pinion Tooth Stiffness with Different Modification Coefficients

式中：ki—第i個齒廓變位小齒輪的剛度；k0—不移位小齒輪的標準剛度，即pp=0。

不同變位系數下的單齒輪齒剛度比例，如圖8所示。可以看出正變位系數越大，嚙合過程中剛度曲線越陡。正變位系數越大，嚙合初期的剛度越高，嚙合結束階段的剛度越低。

圖8 單廓輪齒剛度比例的比較Fig.8 Comparison of Stiffness Ratio of Single Profile Gear Teeth

為了深入分析各參數對齒輪系統的影響，進一步分析基于正變位系數的TVMS。根據上述分析模型得出的TVMS結果，如圖9所示。為了更清晰地描述齒輪嚙合剛度和接觸比變位系數的影響，選擇從（0～25）°的旋轉角小齒輪。從綜合嚙合剛度來看，TVMS隨變位系數的增大而減小。隨著變位系數的增大，TVMS的變化率也逐漸增大。這說明正變位是一種非常敏感的設計，在選擇所需參數值時需要進行靈敏度分析。

圖9 不同變位系數的TVMS比較Fig.9 Comparison of TVMS with Different Modification Coefficients

正變位時TVMS的均值變化和標準差，如圖10所示。均值和標準差分別可以描述TVMS的平均水平和振蕩程度，這兩個指標的變化與變位系數分別呈現出非線性關系。平均值隨著輕微的正變位而緩慢下降，而隨著大的正變位而加速下降。同時，標準差隨著輕微的正變位而急劇增加，而隨著較大的正變位而減緩增長。為了定量分析正變位的影響，分別提取不同阻尼比下變位系數為0、0.1、0.2、0.3、0.4和0.5的統計指標。與標準直齒輪的比例比較，如圖11所示。可以看出隨著變位系數的增加，除阻尼比為0.07時PPV外，其他指標均呈單調增長趨勢。這表明正變位會加重齒輪副的振動，而KV在變位系數較小的范圍內為負值。結果表明，輕微的變位系數會降低峰值，而較大的變位系數會增加峰值，且可以發現嚙合阻尼系數對統計指標不敏感。

圖10 正變位的TVMS的平均值和標準差Fig.10 Mean Value and Standard Deviation of TVMS for the Positive Shifts

圖11 DTE正變位的統計指標Fig.11 Statistical Indicators of DTE for the Positive Shifts

4.4.2 負變位分析

為平衡齒輪和小齒輪副的疲勞壽命，工程上一般采用負變位的齒輪，以達到相同的壽命設計。本研究選擇六個變位系數值分別為0，-0.1，-0.2，-0.3，-0.4和-0.5。不同變位系數值下的齒輪單齒剛度，如圖12所示。

圖12 單齒輪的齒剛度對齒輪具有不同的變位系數值Fig.12 Single Gear Tooth Stiffness on Gear with Different Modification Coefficient Values

變位變位系數使齒輪比標準直齒圓柱齒輪更柔軟。與正變位一樣，變位系數在嚙合的開始階段和結束階段對剛度的影響是不同的。嚙合開始時，剛度損失較小，隨著嚙合的進行，剛度損失逐漸增大。不同變位系數值下的單齒輪齒剛度變化率，如圖13所示。與正變位不同，代表嚙合剛度變化的曲線均在各自的拋物線曲線中，且不存在交叉。可以發現最大的剛度損失出現在嚙合的中間位置。隨著變位系數的減小（實數值），變化率變得更彎曲。

圖13 單齒輪齒剛度的變化率Fig.13 Rate of Change of Single Gear Tooth Stiffness

為了深入分析各參數對齒輪系統的影響，根據上述分析模型得出的TVMS結果，如圖14所示。為了更清晰地描述齒輪嚙合剛度和接觸比變位系數的影響，仍然選擇旋轉角度范圍為（0～25）°小齒輪。基于負變位設計的直齒輪在嚙合初始階段的TVMS小于標準齒輪，隨著嚙合的進行，綜合嚙合剛度逐漸增大。最終變位系數較小的TVMS會超過變位系數較大的TVMS。且可以看出變位系數較小的TVM具有較高的接觸比，因此負變位可以改善傳動的平穩性和連續性。

圖14 不同變位系數的TVMS比較Fig.14 Comparison of TVMS with Different Modification Coefficients

負變位時TVMS的平均值和標準差，如圖15所示。這兩個指標的變化與變位系數呈近似線性關系。隨著變位系數的減小（實數值），平均值逐漸增加，而標準差則有規律地下降。

圖15 負變位的TVMS的平均值和標準差Fig.15 Mean Value and Standard Deviation of TVMS for the Negative Shifts

為了定量分析負變位的影響，提取了DTE的統計指標，在不同阻尼比下，變位系數取0、-0.1、-0.2、-0.3、-0.4和-0.5。與標準直齒輪成比例的比較，如圖16所示。結果表明隨著變位系數的減小，各項指標均呈現單調變化。RMS和RSA呈現下降趨勢，表明負變位可以抑制齒輪副的振動。此外，KV改善緩慢，但PPV變化不明顯。

圖16 DTE正變位的統計指標Fig.16 Statistical Indicators of DTE for the Negative Shifts

4.2 復合變位分析

在現實中，一般使用齒形變換來設計齒輪和小齒輪副的機械性能。s0齒輪傳動和S齒輪傳動是變位直齒圓柱齒輪復合修形的兩種形式［16］。前者的總變位系數為0，后者的總變位系數非0。

不同復合變位設計的TVMS曲線，如圖17所示。第一組和第二組是具有正總變位系數的S齒輪，第三組和第四組是具有負總變位系數的S齒輪，第五組是s0齒輪，第六組標準直齒輪。第一組中pp=0.4，pg=0.1，命名為組1；第二組中pp=0.2，pg=0.1，命名為組2；第三組中pp=0.1，pg=-0.6，命名為組3；第四組中pp=0.1，pg=-0.4，命名為組4；第五組中pp=0.1，pg=-0.1，命名為組5；第六組中pp=0，pg=0，命名為組6。從圖中可以看出，負總變位系數增加了接觸比和嚙合剛度，而正總變位系數可以顯著降低接觸比和嚙合剛度，可以看出s0齒輪對TVMS的影響相對較小。

圖17 不同復合變位的TVMS的比較Fig.17 Comparisons of TVMS with Different Compound Shifts

不同復合變位下TVMS的均值和標準差，如圖18所示。總變位系數為負時，TVMS的均值較高，而標準差則呈現相反的變化趨勢。不同總變位系數對平均值的影響在小齒輪變位系數處更分散，在大齒輪變位系數處更接近。

圖18 復合變位的TVMS的平均值和標準差Fig.18 Mean Value and Standard Deviation of TVMS for the Compound Shifts

不同阻尼比下復合變位DTE統計指標的變化情況，如圖19所示。

圖19 復合變位的DTE統計指標Fig.19 Statistical Indicators of DTE for the Compound Shifts

與頻譜相似，正復合變位的指標高于負復合變位的指標，RSA差甚至達到了15%左右。而KV曲線呈現折線，說明S齒輪傳動使齒輪系統的時域波形變得更陡。s0齒輪的統計指標與標準直齒輪存在一定的差異，這主要是由于變位系數在數值上相等，但符號相反，導致小齒輪和齒輪變位是不同的。

5 結論

本研究建立了變位直齒圓柱齒輪傳動分析模型，探討了齒廓變位直齒輪對齒輪系統運行性能的影響。該模型可以直接得到以小齒輪轉角為自變量的直齒圓柱齒輪系統動態特性的函數，考慮了兩種不同的齒廓變位幾何設計。

根據所建立的分析模型，在所給定的評估方法下采用數值模擬方法研究了輪廓偏移對TVMS和動態特性的影響，結果表明單個齒廓的正變位會降低輪齒的剛度和TVMS，單個齒廓的負變位可以提高輪齒的剛度和TVMS。對于復合變位，采用正復合變位的S齒輪傳動可以降低TVMS，但加劇了齒輪系統的振動，采用負復合變位的S齒輪傳動會導致TVMS 升高，并顯著降低振動，s0齒輪變位對時變嚙合剛度（TVMS）影響較小，但對動態特性影響較大。