樹脂準靜態拉伸黏彈性本構擬合與數值模擬

安 曌，梁國星，劉東剛

（1.太原理工大學機械與運載工程學院，山西 太原 030024；2.精密加工山西省重點實驗室，山西 太原 030024）

1 引言

目前機床床身及其它基礎構件主要使用鑄鐵和焊接鋼材制造，其阻尼性能差，不能有效吸收加工過程中產生的振動，無法滿足精密與超精密加工的需求。樹脂礦物復合材料（Resin Mineral Composite，簡稱RMC）是一種多相復合材料，以破碎后的石材或天然卵石為骨料，以樹脂為基體，通過添加一系列輔助組分增韌增強，具有高阻尼、耐腐蝕易于成型等優點，是良好的機床床身材料[1]。樹脂材料具有低密度、較好的比強度、耐腐蝕、優異的黏彈性性能、較大的阻尼等優點，在由樹脂礦物復合材料制成的機床振動中吸收了大多數的能量，有效的減小了振動。

聚碳酸酯熱塑性材料的準靜態拉伸和霍普金森試驗[2]表明聚碳酸酯熱塑性材料具有很強的黏性。其本構模型為“朱-王-唐”[3]（ZWT）本構中串聯一個黏壺。把一維模型的數學方程式根據黏彈性理論展為三維形式，基于Mises屈服準則和J2流動理論編寫了UMAT子程序。瀝青混合料的變形歷程可分為兩階段：彈性階段和黏塑性階段。通過Drucker-Prager屈服準則和Perzyna黏塑性理論，構建了可描述高加載速率下瀝青混合料的本構模型[4]。在一定情況下，黏彈塑性本構模型也可描述瀝青混合料變形歷程[5-6]。在對樹脂、玻璃等高聚物的動態力學行為研究中，損傷型ZWT本構與實驗具有很好的符合性[7-8]。環氧樹脂材料的準靜態拉伸試驗、動態拉伸試驗表明環氧樹脂材料在低應變率和高應變率下都具有非常強烈的應變率敏感性。ZWT非線性黏彈性本構方程可以較好的擬合環氧樹脂在低、高應變率下的拉伸力學響應[9]。而樹脂材料運動單元大小不等，不同尺度結構的運動單元有不同的黏性系數和彈性系數，它們的松弛時間很多，形成了一個范圍寬廣的連續譜。因此，采用典型的非線性ZWT黏彈性模型不足以描述樹脂材料黏彈性行為。

以典型的熱固性高聚物環氧樹脂材料為研究對象，探究其在準靜態拉伸下的力學行為。基于典型的非線性ZWT黏彈性模型確定了適用于本實驗配比下樹脂材料的黏彈性本構模型，并將一維、三維ZWT本構擬合曲線與試驗真實應力-應變曲線進行了對比，同時將試驗數據代入ABAQUS軟件，模擬了不同應變率下的準靜態拉伸試驗。樹脂系統在由RMC制成的機床床身振動中吸收了大多數的能量。樹脂系統的黏彈性性能的優劣直接決定了用RMC制成的機床床身的減振效果的好壞。通過研究含有樹脂與固化劑兩個成分的樹脂材料的黏彈性性能，為后續樹脂系統（再添加其他成分，如稀釋劑、增韌劑）的黏彈性性能奠定了基礎，為后續研究RMC材料的力學行為提供了支持。

2 試驗

2.1 試驗材料與裝置

根據《GB∕T 2567-2008樹脂澆鑄體性能試驗方法》[10]確定拉伸試件尺寸，如圖1（a）所示。拉伸模具內腔尺寸比標準試件尺寸大0.02m。模具內腔表面分別用360目、600目、800目砂紙打磨，并進行拋光。最終模具，如圖1（b）所示。

采用WSR618環氧樹脂（無錫樹脂廠）；593固化劑（常州潤翔化工有限公司）。樹脂與固化劑的質量比為3.7：1。試件制作過程分為四個步驟，如圖2所示。

圖2 試件制作工藝Fig.2 Manufacturing Process of Specimen

樹脂與固化劑用電子天平稱重混合后，用玻璃棒慢攪3min左右，直至攪拌過程中無明顯阻滯感。然后倒入模具中進行振動。振動頻率選為100Hz，振幅0.2mm，振動時間為30min。隨后45℃恒溫固化4h，室溫固化12h。最后打磨成最終試件，如圖1（c）所示。采用濟南文騰試驗儀器有限公司的WDW-100E型微機控制電子萬能試驗機在室溫下測試樹脂試樣的軸向拉伸力學行為，室溫25℃左右。電子試驗機及試件夾頭。在2mm∕s、10mm∕s、16mm∕s的拉伸速度下，各實驗重復3次取平均值，得到最終應力-應變曲線，如圖3所示。

圖3 電子萬能試驗機、夾具及拉斷后樣件Fig.3 Electronic Universal Testing Machine，Clamps and Samples After Breaking

2.2 試驗結果分析

斷裂后的試件，如圖3所示。三個試件一組，Ⅰ組為拉伸速率為2mm∕min 的試件，Ⅱ組為拉伸速率為10mm∕min 的試件，Ⅲ組為拉伸速率為16mm∕min的試件。標距為50mm。拉伸速度2 mm∕min、10mm∕min、16mm∕min 對應的工程應變率分別為0.000667s-1、0.003333s-1、0.005333s-1。不同拉伸速率下的真實應力-應變曲線，如圖4所示。由圖4看出，相同應變下，樹脂材料應力隨應變率的升高而增大。隨著應變率的增加，樹脂材料初始模量也在增大，如圖5所示。

圖4 不同應變率下的真實應力-應變曲線Fig.4 True Stress-Strain Curves at Different Strain Rates

圖5 不同應變率下最高應力Fig.5 Maximum Stress at Different Strain Rates

由圖5看出，隨著應變率的增加，最高應力逐漸增加。由此看出本配比下樹脂材料具有明顯的率相關性。由拉伸過程看出，樹脂材料在拉伸過程中沒有明顯的屈服現象，且變形量比較大。隨應變增大，應力梯度逐漸減小，可知松弛現象變得越來越明顯，如圖6所示。

圖6 不同應變率下的斷裂形貌Fig.6 Fracture Morphology at Different Strain Rates

由圖6掃描電鏡（SEM）圖看出，在應變率0.000667s-1下，斷裂截面出現密集排列的發散狀“溝槽”，形貌粗糙，呈現出強烈的韌性撕裂痕跡。在應變率0.003333s-1下，“溝槽”排列密度明顯下降，“溝槽”深度變小，光滑斷裂面積變大。可以看出，由應變率0.000667s-1到應變率0.003333s-1的過程中，隨著應變率的增大，試件在拉伸過程中呈現出比較明顯的脆性斷裂特性，黏彈性性能有比較大的下降。圖6（c）與圖6（b）相比，光滑斷裂面積有比較大的增加，表明隨著應變率的增加，脆性斷裂特性進一步增強，此時在低應變率下，隨著應變率增加，樹脂材料的黏彈性行為不再有大的變化。

3 黏彈性本構模型建立

3.1 本構模型建立

典型的非線性ZWT[7]黏彈性模型是由一個非線性彈簧和兩個分別描述高、低應變率黏彈行為的Maxwell體并聯的本構模型。樹脂材料運動單元大小不等，不同尺度結構的運動單元有不同的黏性系數和彈性系數，它們的松弛時間不止一個，形成了一個范圍寬廣的連續譜。對樹脂材料來說，兩個Maxwell體不足以描述其黏彈性行為，應采用多個Maxwell 體來進行擬合。采用廣義ZWT本構模型，其中Maxwell體個數為4，如圖7所示。

圖7 廣義ZWT本構模型Fig.7 Generalized ZWT Constitutive Model

本構方程如下：

式中：ηi—黏壺i的粘性系數（MPa·s）；t—時間（s）；σe—非線性彈簧在應變ε下所提供的應力（MPa）；σr1、σr2、σr3、σr4—四個Maxwell體在應變率ε所提供的應力（MPa）；E0，α，β—不包含黏彈性響應的非線性彈性響應彈性常數（MPa）；E1、E2、E3、E4—所對應的Maxwell單元的彈性常數（MPa）；θ1、θ2、θ3、θ4—所對應的Maxwell單元的松弛時間（s）。

3.2 一維ZWT本構方程擬合

采用蟻群算法［11］擬合，對式（1）進行擬合，確定參數為E0=38MPa，α=4490MPa，β=-28520MPa，E1=130MPa，θ1=940s，E2=180MPa，θ2=300s，E3=253MPa，θ3=100s，E4=600MPa，θ4=1s。

一維擬合曲線與真實應力-應變結果對比圖，如圖8所示。

圖8 一維本構擬合曲線與試驗真實應力-應變曲線對比Fig.8 Comparison of One-Dimensional Constitutive Fitting Curve and Experimental Real Stress-Strain Curve

由圖8知，應變率0.003333s-1、0.005333s-1時，數值擬合拉伸本構關系與實驗結果有較好的一致性。在應變率0.000667s-1下，擬合曲線與試驗在應變0.10附近出現分歧。隨著應變的增加，擬合應力比試驗值越來越小。說明本構模型在描述應變率0.000667s-1附近的黏彈性行為還存在一些問題，應力強化現象還需要進一步考慮。但總體來說本構模型對低應變率下的樹脂材料拉伸情況下是適用的。

3.3 三維本構方程

將本構方程推廣到三維狀態為［12］：

根據Updated Lagrangian 增量迭代法，采用現時Kirchhoff應力和現時Green應變積分本構關系對黏彈性響應部分進行處理。

假設Δt很小，則

得出在時間間隔Δt內Kirchhoff應力增量為：

其中，Sij、Eij、Kij—Kirchhoff應力張量和Green 應變張量的分量。矩陣［A］為：

3.4 三維本構方程擬合

由（12）式得單軸拉伸方向應力增量為：

（l=1，2，3，4）可迭加求出。

上述過程編寫為MATLAB子程序并將一維擬合參數代入。其中泊松比μ為0.34（由試驗測得）。不同應變率下，擬合曲線與試驗真實應力-應變結果對比，如圖9所示。

圖9 三維本構擬合曲線與試驗真實應力-應變結果對比Fig.9 Comparison of Three-Dimensional Constitutive Fitting Curve and Test Real Stress-Strain Curve

由圖9可知一維參數在三維情況下仍具有可用性。確定三維本構方程參數為：E0=38MPa，α=4490MPa，β=-28520MPa，E1=130MPa，θ1=940s，E2=180MPa，θ2=300s，E3=253MPa，θ3=100s，E4=600MPa，θ4=1s。

3.5 ABAQUS仿真

將實驗數據代入ABAQUS 中，參數設置如下：密度7.97×10-4g∕mm3，泊松比0.34，采用一端固定一端位移的加載方式。應變率0.000667s-1，拉伸速率為2mm∕min，時間215s，時間步長為0.06，（由試驗時間得試驗步長為0.06），位移量25.0mm。應變率0.003333s-1，拉伸速率為10mm∕min，時間70s，時間步長0.06，位移量26.0mm。應變率0.005333s-1，拉伸速率為16mm∕min，時間30s，時間步長系數0.06，位移量25.6mm。

拉伸應變率0.000667s-1、應變率0.003333s-1、應變率0.005333s-1的應力云圖，如圖10所示。僅研究拉伸狀態下黏彈性力學行為，不涉及斷裂，有限元模擬沒有斷裂效果。

圖10 不同應變率下ABAQUS應力云圖Fig.10 ABAQUS Stress Nephogram at Different Strain Rates

由圖11可得，應變率0.000667s-1的有限元仿真最大應力為70.53MPa，與試驗數據最大應力70.78MPa相近。由圖10（2c）可得，應變率0.005333s-1的有限元仿真最大應力為85.44 MPa，與試驗數據最大應力86.75MPa 相近。圖10（3c）可得，應變率0.008333s-1的有限元仿真最大應力為89.49 MPa，與試驗數據最大應力90.53MPa相近。有限元仿真取得比較好的效果。

圖11 有限元仿真不同應變率下最高應力Fig.11 Maximum Stress Under Different Strain Rates of Finite Element Simulation

圖11表明隨著應變率的增加，仿真最高應力逐漸增加。同時由圖10（1a）、10（2a）、10（3a）可知，同一拉伸時刻，隨著應變率的增加，試件應力隨之增加；表明材料的拉伸力學性能是率相關的，這一現象與試驗結果相符。

從單一時刻應力云圖10（2b）可知，夾頭圓弧過渡區到試件中部應力逐漸增大，存在較大應力梯度。試件中間部位應力達到最大值，且應力均勻分布。由10（2a）、10（2b）、10（2c）可得，隨著拉伸時間的增加，試件逐漸拉長，且最高應力逐漸增加。

不同應變率下有限元仿真最高應力圖，如圖11所示。

4 結論

（1）樹脂材料（樹脂質量：固化劑質量=3.7：1）在低應變率下的拉伸力學性能是率相關的，隨應變率的升高，給定應變下的應力逐漸增大。

（2）由不同應變率下的斷裂形貌掃描電鏡（SEM）圖知，應變率由0.000667s-1到0.003333s-1時，黏彈性性能出現較大的下降，脆性特征顯著。應變率由0.003333s-1到0.005333s-1時，黏彈性特征變化不明顯。

（3）當采用四個Maxwell體時，一維擬合曲線與試驗數據有較好的擬合效果。表明本構模型可以準確的描述樹脂：固化劑=3.7：1（質量比）配比下樹脂材料黏彈性行為。即一個非線性彈簧并聯四個Maxwell體的本構模型。

（4）將一維本構方程參數代入三維本構方程MATLAB程序中，擬合曲線與試驗數據有比較好的一致性，表明一維本構方程參數適用于三維本構方程。

（5）將試驗真實應力-應變數據代入ABAQUS軟件中對整個拉伸過程進行了可視化分析。由仿真結果看出材料是率相關性的。試件中部應力均勻分布，表現出明顯的黏彈性效應。

（6）由于優異的黏彈性性能，樹脂系統在由RMC制成的機床床身振動中吸收了大部分的能量。得出在不同低應變率下的樹脂材料（樹脂：固化劑=3.7：1）的黏彈性本構方程，為后續添加各種成分的樹脂系統黏彈性性能的研究奠定了基礎，為研究由RMC制成的機床床身的吸振問題提供了必要的支持。