相似與作圖

通過對本章的學習，同學們對相似的判定和性質、位似等知識有了比較系統的認識。同時，我們知道，幾何學習離不開作圖，而作圖方法貫穿初中幾何學習的全過程。那么相似和作圖又有什么樣的關聯呢？它們在中考中有什么具體的體現呢？

一、由作圖得相似

所謂“由作圖得相似”，指的是通過作圖，兩個三角形滿足某一相似的判定定理，進而得到相似。接下來分“無網格作圖”和“有網格作圖”兩種情況來敘述。

1.無網格作圖

例1 （2016·江蘇南京）如圖1，在?ABCD中，E是AD上一點，延長CE到F，使∠FBC=∠DCE。

（1）求證：∠D=∠F；

（2）用直尺和圓規在AD上作出點P，使△BPC∽△CDP。

【分析】本題我們主要解決第（2）問。如果在AD上任取一點P，連接CP、BP，可以得到∠CPD=∠PCB。要使△BPC∽△CDP，還需要一組角相等（如∠BPC=∠D），而由（1）得∠D=∠F，所以只要∠BPC=∠F即可，而這可以由“同弧所對的圓周角相等”得以實現，進而由“兩角分別相等的兩個三角形相似”這一相似的判定定理得到結論。

【作法】如圖2：

①作△BCF的外接圓⊙O；

②⊙O與AD交于點P，點P即為所求。

2.有網格作圖

例2 （2022·吉林長春）如圖3，在5×5的正方形網格中，每個小正方形的邊長均為1，其頂點稱為格點，△ABC的頂點均在格點上。只用無刻度的直尺，在給定的網格中，按下列要求作圖。

（1）在圖3中△ABC的邊BC上確定一點E，連接AE，使△ABE∽△CBA；

（2）在圖4中△ABC的邊AB上確定一點P，在邊BC上確定一點Q，連接PQ，使△PBQ∽△ABC，且相似比為1∶2。

【分析】（1）如果邊BC上的點E可以滿足△ABE∽△CBA，那么∠AEB=∠CAB=90°，所以只要作出AE⊥BC即可。（2）要使得△PBQ∽△ABC，且相似比為1∶2，則問題轉化為作出AB邊與BC邊的中點。AB邊的中點容易找出，而BC邊的中點可以利用矩形的性質作出。

【作法】（1）如圖5：過點A作AE⊥BC，點E即為所求。

（2）如圖6：選取點M，連接PM，交BC于點Q，點P、Q即為所求。

從上面兩個例子可以看出，在處理“由作圖得相似”類問題時，需要認真分析題目條件，選擇和題目條件切合度高的相似判定定理，這樣更利于順利解題。

二、用相似來作圖

所謂“用相似來作圖”，指的是用本章中常用的定理或者方法來實現某種作圖效果。下面從“用常用定理作圖”和“用位似方法作圖”兩方面來敘述。

1.用常用定理作圖

例3 （2021·江蘇南京）如圖7，已知點P是⊙O外一點，用兩種不同方法過點P作⊙O的一條切線。

【分析】例3有很多種作圖方法，但我們如果從相似的角度入手，能得到一種有趣的作圖方法。在圖8中，若作出PQ與⊙O相切，連接PO，分別交⊙O于點A、B。根據切割線定理， PQ2=PA·PB，PA與PB長度確定，進而PQ確定。而又可以由PA、PB構造直角三角形，通過射影定理來確定PQ的長度。

【作法】如圖8：

①連接PO，交⊙O于點A、B；

②以PB為直徑作⊙R，過點A作AQ'⊥PB，交⊙R于點Q'；

③以點P為圓心，PQ'長為半徑作⊙P，交⊙O于點Q；

④連接PQ，PQ即為所求切線。

2.用位似方法作圖

例4 （2023·江蘇淮安）如圖9，在Rt△ABC中，∠C=90°，作⊙O，使得圓心O在邊AB上，⊙O過點B且與邊AC相切于點D。

【分析】需要作出的圓的圓心在AB上，還要同時過點B，且與邊AC相切，要求較高，較難直接作出，進而考慮分解要求。先作一個⊙O'，使得圓心在AB上，且與AC相切于點D'，隨后從位似的視角出發，放大⊙O'，直至放大后的圓經過點B，實現以退為進的效果。

【作法】如圖10：

①在邊AB上任取一點O'，過點O'作O' D'⊥AC，垂足為點D'，⊙O'與AB的右交點為點B'；

②連接B'D'，過點B作BD∥B'D'，交AC于點D；

③過點D作DO⊥AC，交AB于點O；

④以O為圓心，OD為半徑作⊙O即為所求。

相似中的常用定理以及位似方法可以應用到很多作圖問題中。同學們只要在日常數學學習中多加積累，勤于練習，肯于思考，善于總結，一定能有很多收獲，最終在中考中取得佳績。

（作者單位：南京師范大學附屬中學樹人學校）