多軸平穩非高斯隨機振動試驗控制方法

摘要

多軸向平穩非高斯隨機振動控制試驗能夠對指定響應信號的時、頻域特征進行同時控制。提出了一種快速生成具有指定功率譜密度、斜度和峭度的平穩非高斯隨機振動信號的方法。通過頻率采樣方法將目標功率譜密度設計成濾波器，利用非線性變換方法獲取非高斯隨機信號，再將此信號經過設計的濾波器以獲得滿足要求的非高斯隨機信號。該方法簡單、快速并克服了傳統非線性變換方法的缺點。進一步將此方法應用于三軸向平穩非高斯隨機振動試驗中，給出了三軸向非高斯隨機振動控制的閉環均衡步驟，此方法能夠同時對信號的功率譜自譜、相干系數、相位差以及斜度和峭度進行解耦控制。進行了三軸向平穩非高斯隨機振動控制試驗，三個方向上加速度信號的功率譜密度、斜度和峭度控制效果均令人滿意，滿足工程應用要求。

關鍵詞

隨機振動; 平穩非高斯; 多軸振動; 斜度; 峭度; 功率譜密度

引 言

隨機振動環境試驗是在實驗室內考核裝備結構完整性、功能性以及可靠性等方面的有效手段之一［1?3］。當前，隨機振動試驗主要模擬單軸向平穩高斯隨機振動環境，即受控振動在單一方向上滿足高斯分布。隨著計算機技術的快速進步和對環境試驗精度需求的日益提高，隨機振動試驗技術正在逐步向多點激勵、多軸向、非高斯以及非平穩等方向發展［4?5］。

傳統平穩高斯隨機振動試驗中的激勵是平穩高斯信號，在線性振動系統下響應也是高斯的。因此，該類試驗只需控制信號的頻域特征，即功率譜密度。對于平穩非高斯隨機振動試驗，不僅需要控制信號的功率譜密度，還需進一步控制信號的時域非高斯特征。目前，非高斯隨機振動試驗普遍采用峭度作為非高斯時域控制特征［6?8］。峭度與信號的二階和四階矩有關。多軸向平穩非高斯隨機振動試驗的試驗難度更大，主要表現在如何同時解耦地控制多個響應信號的時域和頻域特征。這里耦合不僅表現在多振動臺物理系統的固有耦合，即某一點的響應表現為所有激勵信號的貢獻；同時由于功率譜密度矩陣中互譜密度的存在，造成了受控信號之間相關性耦合。

在進行平穩非高斯隨機振動試驗之前，首先需要能夠模擬出滿足要求的平穩非高斯隨機振動信號。常見的非高斯隨機信號生成方法主要有零記憶非線性變換方法［9］、相位調節方法［10］以及散粒噪聲調制方法［11］。零記憶非線性變換方法具有操作簡單且效率高的特點，但在獲得時域非高斯特征的同時也在一定程度上改變了信號的功率譜密度，這就使得該方法不能同時保證信號的時頻特征。Zheng等［12］提出了一種改進的非線性變換方法能夠克服該缺點，但需要一個迭代過程。相位調節方法即調節信號的傅里葉相位，由于功率譜密度只與傅里葉幅值有關，因此該方法能夠在保證信號非高斯特征的同時不改變信號的功率譜密度。但相位調節方法計算相對耗時，特別是在峭度值較大或者同時考慮信號斜度和峭度時。散粒噪聲調制方法是將給定的功率譜密度構造成散粒噪聲序列，通過補充幅值參數來控制輸出信號的斜度和峭度。Smallwood［11］給出了三種幅值函數調節方法。

本文提出了一種可以快速生成指定斜度、峭度和功率譜密度的非高斯隨機信號方法。首先，采用頻率采樣方法將目標功率譜密度設計成濾波器，利用零記憶非線性變換方法獲得具有一定斜度和峭度的非高斯隨機信號，再將此信號經過設計好的濾波器獲得指定的斜度、峭度和幅值特征。最后，將此方法應用于三軸向平穩非高斯隨機振動試驗中。

1 非高斯信號生成方法

本文所提的非高斯隨機振動信號生成方法流程如圖1所示。其基本原理是高斯隨機信號在經零記憶非線性變換后，將得到的非高斯隨機信號經過由參考譜密度設計的濾波器以獲取相應的斜度、峭度和譜密度幅值特征。該方法無需迭代，根據公式計算一些必要參數即可。主要分為以下四個步驟：

1） 定義目標功率譜密度St、斜度Wt和峭度Kt，則控制目標表示為：

S=St，" W=Wt，" K=Kt" " （1）

2） 利用目標譜密度設計線性相位有限長單位沖激響應濾波器，即FIR濾波器，并計算一些參數。利用頻率采樣方法，設計的濾波器可以表示為［13］：

式中 P=2M+1。Lk從目標功率譜密度計算得到，表示為：

式中 df為頻率分辨率。

參數h?k可以由下式計算得到：

3） 利用非線性變換方法將任意高斯隨機信號x（t）變換為非高斯隨機信號u（t），非線性變換函數表示為：

用于非線性變換的參考斜度值Wnt和峭度值Knt計算如下：

參數a和b可以采用非線性優化方法得到，表示為：

式中 Wu和Ku分別為非高斯隨機信號u（t）的斜度和峭度。在這一步驟中，生成的非高斯隨機信號的功率譜密度、斜度和峭度并不滿足定義的目標要求。

4） 將上面步驟生成的非高斯隨機信號u（t）經過設計的濾波器，即可以得到滿足目標要求的非高斯隨機信號，表示為：

對信號進行均方根值修正，表示為：

式中 rt為目標均方根值，可以由目標功率譜密度計算得到。ry?為信號y?（t）的均方根值。y（t）為最終得到的滿足目標要求的非高斯隨機信號。公式（9）并不改變信號的斜度和峭度。

通過以上四個步驟即可以生成滿足目標參數要求的平穩非高斯隨機信號。其中，步驟4）中濾波器的作用首先是使得信號滿足目標功率譜密度特征；其次，非高斯信號經過濾波器后斜度和峭度會發生改變。步驟3）則是對信號斜度和峭度的補償操作。

圖2展示了利用所提方法生成非高斯隨機振動信號的實例。在該實例中，設置目標譜如圖2（a）中黑實線所示，目標斜度和峭度分別為0.2和6。其中，非線性變換方法的功率譜密度是直接利用公式（5）計算滿足斜度和峭度要求的非高斯隨機振動信號估計得到的。可以發現，直接用非線性變換方法得到的信號功率譜密度不能匹配目標值，其動態范圍嚴重下降。生成的平穩非高斯時域信號片段如圖2（b）所示。

2 三軸向振動控制試驗

本小節將非高斯信號生成方法應用至三軸向振動平穩非高斯隨機振動試驗中。控制參數為三軸向加速度信號的功率譜密度、斜度和峭度，可以表示為：

式中 Syy和Srr分別為參考譜和控制譜矩陣；Wy和Wr分別為參考斜度和控制斜度矩陣；Ky和Kr分別為參考峭度和控制峭度矩陣。

多輸入驅動信號傅里葉矩陣可以表示為：

X=ZR" " （11）

式中 Z為測試系統頻響函數矩陣的逆矩陣；R為參考矩陣，表示為：

R=LΘ" " （12）

式中 L為下三角矩陣；Θ為隨機相位矩陣。當生成初始驅動信號時有：

L=Lr" " （13）

式中 Lr來自參考譜密度矩陣的Cholesky分解。

隨機相位矩陣為下三角矩陣添加了傅里葉相位信息，并滿足如下關系：

ΘΘH=I" " （14）

式中 I為單位矩陣。上標‘H’表示復共軛轉置。

對參考矩陣做逆傅里葉變換，可得三維時域矩陣序列，表示為：

式中 N為一幀信號長度。對矩陣r求行和則可以得到三個方向上的時域參考信號。如果此參考信號滿足如式（10）所示要求，即包括頻域中的功率譜密度、時域中的斜度和峭度，那么受控響應信號的統計特征理論上應等于參考信號的統計特征。這就達到了隨機振動控制的目的。

根據文獻［14］可知，矩陣r中每一列都耦合了不同的隨機傅里葉相位角，因此，僅可以調節矩陣中的對角元素使得信號的斜度和峭度滿足參考要求。具體地，根據參考斜度和峭度的要求，當調節r11斜度和峭度時，矩陣r中第一列元素的斜度和峭度都被確定了；緊接著，調節r22確定第二列元素的斜度和峭度特征；最后，調節r33完成所有信號的調節。這里，對信號的調節采用第1節給出的方法，即根據不同通道信號的參考斜度和峭度對各通道信號依次調節，使得在調節信號斜度和峭度時功率譜密度不會被影響。

完成調節后，利用式（11）做傅里葉逆變換即可以得到滿足要求的驅動信號。由于存在計算誤差、測量噪聲等影響，需要對受控制信號進行閉環控制，表示為對參考信號進行修正，即對驅動信號進行修正。修正算法表示為：

式中 η為收斂因子；Ly為控制譜矩陣做Cholesky分解得到的下三角矩陣。

閉環均衡第（k+1）次得到的三個修正矩陣L，W和K被用于公式（11）以修正驅動信號。三軸向平穩非高斯隨機振動控制流程如圖3所示。

3 試驗結果

本小節給出了一個三軸向平穩非高斯隨機振動控制實例。振動測試系統如圖4所示。三個加速度傳感器被安置在試驗件底座上，分別測量三軸向上的加速度響應信號。PXIe數據采集與發送系統連接三軸向振動臺系統和計算機。LabVIEW編寫的振動控制軟件程序用于控制PXIe系統，實現數據發送、采集以及處理等。

以三軸向振動臺面的X，Y和Z三個方向上的加速度信號作為控制目標。參考自譜密度、相干系數和相位差如圖5～7中虛線所示。三個軸向的參考斜度分別為0，0.2和-0.1；參考峭度分別為5，5和6。從圖5～7中可以看出，功率譜密度控制結果較好。15次閉環修正的斜度和峭度結果分別如圖8和9所示。可以看到，三次閉環均衡后，三個軸向的斜度和峭度被穩定地控制在參考值附近。圖10給出了三個方向上的控制信號片段。

4 結 論

本文研究了具有指定功率譜密度、斜度和峭度的平穩高斯隨機振動信號的生成方法，并將其進一步應用于三軸向非高斯隨機振動試驗中。本文的主要研究工作總結如下：

（1）提出了一種快速生成具有指定功率譜密度、斜度和峭度的非高斯隨機信號生成方法。通過非線性轉換獲得非高斯隨機信號，利用功率譜密度設計出濾波器并與該非高斯信號進行卷積，最終獲得滿足目標功率譜、斜度和峭度要求的非高斯隨機信號。

（2）實現了三軸向非高斯隨機振動控制試驗方法。設定多軸非高斯隨機振動試驗的參考條件為頻域中的自譜密度、相干系數以及相位差和時域中的斜度和峭度。利用所提的非高斯隨機信號生成方法獲取參考信號，最終生成滿足要求的多輸入驅動信號，實現閉環均衡控制。

（3）給出了三軸向隨機振動控制結果。對三軸向振動控制臺面的三個正交加速度信號進行控制，使得響應功率自譜密度、互譜密度、斜度和峭度均得到了良好、穩定的控制。

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