形成度量結構 發展量感與應用意識
——“角的度量”單元教學設計與實踐

北京市通州區教師研修中心 劉東旭

北京第二實驗小學通州分校 晁倍倍

北京市通州區張家灣鎮中心小學 王 穎

指導教師：北京教育科學研究院 劉延革

在圖形長度、周長與面積的學習中，學生兩次經歷“辨別度量屬性、確立度量單位、使用工具測量或公式計算、得到度量結果（解決問題）”的認知過程。“角的度量”單元學習是學生在此基礎上，進一步深化對度量要素（對象、單位、工具與結果）的理解，感受知識之間的一致性，完善度量的認知結構，并能自主遷移到體積等度量內容的學習中。文章基于北京團隊開發單元整體設計框架 ，對“角的度量”單元設計的重要環節與教學實踐進行闡述。

一、單元具體概念及主題

（一）教材分析

“角的度量”單元內容包括角的度量、角的分類與畫角，對比人教版、北師大版和北京版小學數學教材（見表1），我們發現：

表1 追蹤調研結果

1.在比較中明確度量對象

度量刻畫的是事物屬性的“大小”，教學時需要設計活動幫助學生體會事物可以被測的屬性。人教版數學教材中創設了兩個角的大小比較情境，相較于其他兩個版本，我們認為學生會在“比較”中更加關注“比哪里”，更能突出度量對象的屬性。

2.在交流中統一度量單位

度量單位的產生和發展經歷從多元到統一、由粗略到精細的過程，北師大版教材引領學生經歷“非標準單位—標準單位—細化單位—統一單位”的過程。學生經歷“角的度量單位是小角”的探索過程，然后創造或選擇合適的度量單位來進行量化，通過對比和交流最終統一度量單位，更加有助于感悟“度量單位”產生的意義。因為用非標準單位測量不僅能夠讓學生體會單位或標準的作用，感受統一單位的必要性，還能培養學生的創造性和遷移能力。

3.在動態中理解量角器的構造原理

量角器是度量單位的集合，理解其構造原理是學習的難點。我們借鑒北師大版教材的活動，將10°和30°作為標準小角，學生通過數一數、估一估、畫一畫和剪一剪，經歷由“一個單位”的標準延伸至“幾個單位”的累加，感受到量角的一般方法是統一小角的不斷累積。因此，我們設計用“單位”量角不方便的情境，引導學生遷移用直尺測量長度的經驗，進而在創造量角器的過程中理解其構造原理。

4.在應用中體會工具的價值

三個版本的教材都呈現了豐富的量角和畫角活動，但缺乏接近生活的現實情境。教學中，我們認為要注重將量角、畫角與生活實際相結合，同時提供多元的量角工具，深化學生對工具價值的感悟。此外，新課標中強調“估測”對發展量感的價值，教學中需關注“估”與“測”的有機融合。

（二）單元具體概念及學習主題

基于上述分析，結合“圖形與幾何”領域的核心概念，我們歸納了四條“單元具體概念”，并將本單元學習主題定位為“形成度量結構 發展學生量感和應用意識”。

具體概念一：角的度量是對角的兩條邊張開大小的刻畫。

具體概念二：量角的一般方法是統一小角的不斷累積；將多個小角組合在一起產生了量角器，使得測量更加方便。

具體概念三：根據實際情況選取量角和畫角的方法和工具。

具體概念四：在上述活動中，豐富學生的度量經驗，發展學生量感和應用意識。

二、學情調研及單元學習目標

在上述分析的基礎上，我們對北京某校四年級52名學生進行調研。

（一）學情調研

1.調研題目及調研目的

（1）請你量一量下面這個角有多大。

①你打算量哪里？請先在圖中標出來。

②你選擇的工具是______，測量的結果是______。

目的：了解學生是否明確量哪以及是否清楚用什么量角。

（2）請你用量角器畫一個35°的角，說一說你是怎么畫的。

目的：了解學生是否能遷移量角經驗，用量角器畫角。

2.調研結果

（1）學生對“量哪”存在認知偏差。

明確度量對象是學習度量的前提，調研結果發現：46.7%的學生量邊的長度，53.3%的學生量開口的位置。由此可見，近一半的學生不知道量角要“量哪里”。為更準確地把握情況，我們對量邊的21 名學生進行追蹤調研（如圖1），發現有11 名學生關注角的開口大小（見表1）。因此，我們認為在比較活動中，學生會更加清楚角的大小指哪里。

圖1

（2）學生對“用什么量”缺少直接經驗。

對度量工具的選擇，77.8%的學生用直尺，6.8%的學生用三角尺。結合訪談，我們發現學生認為“三角尺上有角”，意識到要用同屬性的物體測量，但并不清楚具體的量角工具。15.5%的學生選擇量角器，其中1 名學生能準確測量，但并不清楚為什么要這么量。因此，我們認為教學中需要讓學生經歷量角器產生的過程，加深對度量工具的認識。

（3）學生對“為什么要這么量”認識不到位。

通過觀察，我們發現學生在使用量角器時，主要出現了以下錯誤：一是將角的頂點與量角器的一端重合；二是用量角器曲邊上的“刻度線”表示角的張口大小，緣于測量長度的經驗所帶來的負遷移。以往教學中我們同樣發現學生機械套用“二合一看”的步驟，當測量傾斜擺放的角時正確率低，讀數時混淆量角器兩圈的刻度等。因此，理解“為什么要這么量”，即理解量角器的構造原理是關鍵。

（4）部分學生不能溝通畫角與量角間的聯系。

表2 結果表明：42%的學生可以遷移量角的經驗來畫角，47%的學生由于對量角器認識不徹底而遷移出錯。因此，量角的教學著力點需進一步強化對度量核心要素的認識，畫角過程中需要打通與量角的聯系，找到方法之間的本質聯系。

表2 學生畫角情況

（二）單元學習目標及結果表現

在單元具體概念的指導下和學生已有經驗分析的基礎上，本單元的學習目標和學習結果表現具體見表3。在結果表現中，第1 ～7 條對應知能目標，第8 ～9條對應理解目標，第10 ～11 條對應情感目標，第12條對應遷移目標。

表3 單元學習目標及結果表現

表4 “角的度量”單元的具體學習任務及設計意圖

三、關鍵問題及學習任務

基于“角的度量”單元具體概念和學情調研結果，緊緊圍繞“發展學生量感”的素養目標，我們形成了本單元學生需要思考的關鍵問題，設計了本單元的學習任務序列。（如圖2）

圖2

上述的關鍵問題1 指向具體概念1，4，通過對比兩個角的大小，幫助學生明確角的度量是對角的兩條邊張開大小的刻畫。關鍵問題2 指向具體概念2，3 和4，通過自主探究測量角的大小的方法，獲得關于度量單位和度量方法的理解；通過對標準單位的細分，產生統一單位和工具的需求。關鍵問題3指向具體概念2，3，4，經歷用三角尺、量角器等不同工具畫角的過程，體會量角器畫角的簡潔，積累度量的方法和經驗。在此基礎上，提出關鍵問題4，引領學生進一步思考度量的核心要素，能遷移這些經驗和方法測量其他物體，發展學生的量感。圍繞著單元關鍵問題，形成學習任務序列，共有11 項任務，規劃為四個課時，其中最后一課時的任務是在原有課時上增加的。通過這些系統化的學習任務，引領學生逐步增強探究意識，構建度量知識脈絡，培養結構化思維。

四、學習任務具體說明

在上述學習任務中，任務1，2 通過比較和初步測量，幫助學生明確度量對象并確定用同屬性物體測量角；任務3 給學生提供了豐富的學具，在不斷累積單位中產生統一單位的需求；任務5 通過用1°小角來測量角的大小，感受到用單位量角的麻煩以及工具產生的必要性；任務11 引領學生梳理度量相關的知識，除圖形與幾何領域外，還包括溫度、質量、時間等度量，整體思考度量活動的內在一致性，深化對度量本質的理解。

五、單元學習評價

單元學習評價實施不是一個獨立的隨機事件，而是教—學—評一體的有序實踐過程，在實施過程中要貫徹“以評促改”的理念。為評價學生能否遷移研究角的度量的經驗和方法，自主研究新的關于度量的問題，我們設計了這樣的評估任務（如圖3）并制定了相應的評估標準（見表5）。

表5 學生自主研究度量的評估標準

六、單元教學反思

基于大概念統領，圍繞著“發展學生的量感”的素養目標，本單元的設計從理解度量本質入手，致力于貫通度量學習的一致性，從而實現學習的自主遷移。通過本單元的實踐與反思，我們對量感的培養策略有了更深入的認識，主要體現在：

第一，開展以“比較”為中心的數學活動，學生經歷從直接比較到間接比較再到運用標準單位比較的過程，充分發展對“數量”的感知；第二，強化“度量單位”的產生與意義，學生結合具體情境識別度量對象的屬性，并“創造”或選擇合適的度量單位來進行量化；第三，關注度量工具的結構與價值，在建構量角器的過程中理解原理，體會測量的本質；第四，通過“估測”促進對量的感知，創設生活情境給予學生開展估測活動的機會，加強對量的深度體驗。此外，本單元的設計因為知識本身的特點，比如度量單位只有1°，不需要借助公式推理轉化等，缺乏對量感培養更完整和細致的研究。總之，量感的培養越來越被研究者們重視，其真正落地生根還需要在實踐中不斷反思和總結。