基于數學思想方法的數列教學探究

付迪

現代數學教學觀認為，應該著重發展學生的思維，提高數學能力.現代教育的核心是全面提高學生的素質.而這些任務的具體實現，在很大程度上依賴于數學方法的教學.我國數學課程標準已將數學思想方法的學習列入基礎知識的范疇，并提出了明確的要求.要發展學生的思維、培養數學能力、提高文化素養，就必須讓學生了解數學知識形成的過程，明確其產生和發展的外部與內部的驅動力.而在數學概念的確立、數學事實的發現、數學理論的推導以及數學知識的運用中，所凝聚的思想和方法，乃是數學的精髓.它會對學生的思維及整體文化素質產生深刻而持久的影響，使學生受益終生.

數列是高中數學的重要組成部分.教學中，教師不僅要引導學生掌握數列部分的核心內容，更要讓學生體悟數列中蘊含的數學思想方法.只有讓學生站在數學思想方法的高度看數列問題，才能達到“統領全局”和“一覽眾山小”的數學學習境界.那么，在數列教學中，教師應引領學生把握哪些基本的數學思想方法呢？對此，筆者做了些許研究，現總結如下，算是拋磚引玉，與同仁共探.

1 函數思想

數列是一類特殊的函數.既然數列是函數，那么，教師就應該引導學生用函數的思想去認識和解決數列問題.

例如，在數列的教學中，教師應讓學生認識到等差數列的通項公式具有一次函數的特征，等差數列的前n項和公式則具有二次函數的特征；等比數列的通項公式和前n項和公式都與指數型函數有著“親密”的關系.基于函數的觀點去理解數列，能幫助學生抓住數列問題的本質，從而使學生對更多數列問題的理解達到一個新的高度.

方法2，利用函數思想.把等差數列看成定義在正整數集上的一次函數，把等比數列（q≠1）看成定義在正整數集上的指數型函數.由a1=b1，a11=b11可知，函數圖象有兩個交點，如圖1所示.顯然a6>b6，且當1bn成立；當n>11時，都有an

以上兩種方法，第一種方法看似簡捷，但學生不易想到，而第二種方法通過數列特征的理性分析和函數圖象的直觀感覺，學生更容易接受.第二種方法這種解決問題的思想更接近學生思維的最近發展區，函數思想能讓學生把數列問題看得更清，把握得更準.

2 方程思想

數學運算是數學核心素養之一.在數列問題中，常常需要用到基本量法，而等差數列有兩個基本量a1，d，等比數列也有兩個基本量a1，q.等差數列與等比數列的兩類基本問題，即通項公式an與前n項和Sn都可以用基本量來表示.因此，求數列中相關的量可以通過列出關于兩個基本量的方程組來求解，這是一種基本思想，也是處理數列的基本方法，應要求學生牢固掌握.

或許有人認為，本題采用等比數列的基本性質求解更簡捷.因為數列{an}是等比數列，所以a1+a2，a3+a4，a5+a6，a7+a8也成等比數列，進而可以更加簡便快捷求出問題的答案.但需要注意的是，數列教學中，教師是要教給學生解決問題的特殊技巧，但更要教會學生最常用的基本方法.

3 化歸與轉化思想

教會學生把握數學的本質，從某個角度看，就是教會學生化歸與轉化的思想方法.等差數列與等比數列是數列中最基本的兩個數列，說其基本，是因為其他數列問題常常可以轉化為這兩個基本數列來解決.在轉化過程中，不僅能提升學生的邏輯推理素養，而且能提升學生利用這兩個基本數列解決問題的能力.因此，在教學中，教師需要讓學生深刻領悟化歸與思想的作用，

這里值得一提的是，函數迭代和數列遞推是新課標高考綜合題常用到的思想方法.這類問題從本質上看，是考查函數的性質和函數方法在數列中的應用.與此同時，利用迭代和遞推也經常可以實現由一般數列向等差數列、等比數列的化歸與轉化，深刻考查轉化的數學思想.

4 分類討論思想

分類討論思想，滲透于高中數學的任何一個知識模塊.在數列內容中，等比數列的前n項和公式Sn=[JB（{]na1（q=1），a1（1－qn）/1－q（q≠1）就是以分類討論的形式給出的.在教學中，教師應提醒學生運用這個公式時，要特別注意公比q是否需要分兩種情形進行討論.此外，對于一般數列，應用數列的前n項和Sn與項an的關系式an=[JB（{]S1（n=1），Sn－Sn－1（n≥2）時，也要注意n=1的情況，以培養學生數學思維的嚴謹性.

例4涉及等比數列求和.當公比為一個數值時，等比數列求和問題難度不大，只需嚴格按照等比數列的求和公式實施運算即可，但當公比是一個未知的參數時，由于受思維定式的影響，學生往往還是“依瓢畫葫蘆”，缺乏分類討論的意識.為了提高學生的“免疫力”，在數列教學中，教師可以加強這類問題的訓練，以此來培養學生數學思維的嚴謹性與廣闊性，提升學生的數學素養.

總之，數學思想方法的學習可以使學生有意識、有目的，并自覺地把數學知識轉化為數學能力，最終通過自身的領悟轉化為創造性能力.因此，在數列教學中，加強學生對數學思想方法的學習和領悟，是培養學生分析問題和解決問題能力的重要方法，也是培養學生數學核心素養的重要途徑.