線性代數知識在數學建模中的應用分析

馮鐵勇

摘 要：在大學中，數學建模一種用于培養大學生利用現有的知識解決數學實際問題的能力，是一個重要的解決實際問題的策略，這也是我們當前以及今后進行數學教學的重難點。從數學建模的教學情況來看，我們最關鍵的是要進行模型的構建，也就是說如何把具體的實際問題建立出相應的數學模型。基于此，本文先是對數學模型做了一個大致的介紹，接下來，以線性代數的主要思想和知識，來討論這一問題，最后通過一個人口遷移實例，來進一步分析如何利用線性代數的相關知識來解決實際的問題。

關鍵詞：線性代數；知識；數學建模；應用

1 引言

我們要發展更加先進的科技，數學知識的支持是極其重要的。就當前的許多學科的問題來看，都或多或少地利用數學知識來解決問題。無論是從天文，還是從地理上來看，數學都在其中發揮了重要的作用。可以說，采用數學知識解決問題不僅僅是未來的發展趨勢，也是一名合格的大學生必要的素質所在，這是對大學生掌握知識，以及分析實際問題的考察。

為了讓更多的當代大學生可以利用自己所獲得的數學知識來解決實際問題，我國每一年都會舉行一次數學建模比賽，其宗旨也是想讓更多的人真正地投入到這一活動中去，讓更多的人學習數學，利用數學，解決問題。從總的情況來看，在許多高校，數學競賽已經得到了不同程度不同的重視，許多大學都開設了數學建模這門課程。在本文中，筆者主要是想就線性代數知識在數學建模中的應用談一下自己的看法。

2 建模

建立復雜的數學模型，來解決問題，對于現在的大學生而言確實是一件不容易的事情。考慮到我們在現實中遇到的問題會相對比較復雜，而大學生有時會問題的理解存在片面性，所以老師在具體的教學過程中，一定要不斷地培養學生如何把實際問題向數學模型轉化。教師在教學過程中要學會如何使用數學語言和方法對客觀存在的現象和規律進行闡述，從而得到數學模型。從建模來解決問題，主要有以下幾個流程：模型假設、模型建立、模型計算以及模型推廣等。就現實的數學模型，我們應該如何進行建模，從總的來看，要把握問題的基本原理，即不僅要對問題有一個總體的把握，同時還要結合求解的要求對相關的問題進行細分。數學模型的建立是用于解決問題的重要環節。教師在具體的教授過程中往往是關注了如何采用已經建立好的數學模型求解問題，而對具體地模型是如何建立的，卻沒有應有的重視，所以這樣一來，時間一久，學生就不具備分析問題和解決問題的能力，并最終使建模課的教學一直在徘徊不前。數學模型建立得是否合適，關系到問題的求解難度及問題求解的結果與實際是否相符。通過數學建模的學習，我們可以更好地解決數學問題，以及提高自己的能力。

3 主要知識點回顧

大學數學的數學課程里，主要有高等數學和線性代數，代數學主要是用于研究線性關系問題。線性代數主要是用于對方程組進行求解。在對線性方程組和向量之間關系進行了深入研究以后，行列式以及矩陣慢慢地引入于其中，從而使線性代數得到了較快的發展，并在其中處于中心地位。線性代數在理工科，甚至是經濟學科中都是一個十分重要的課程，學科中的不少問題都可以轉化為線性代數中的問題。線性代數中的主要內容就有行列式的求解、矩陣、向量組的相關性、線性方程組、矩陣的特征值和特征向量、二次型等。其實，就本質來看，都是用于求解線性方程組。而對于線性方程組的求解無非就是二個結論，有解和無解。如果線性方程組有解就有兩種情況：有唯一解和無窮多個解。對于無解的線性方程組，如何才能對其進行處理呢？這些都是我們在學習中要注意的事項。我們只有靈活掌握線性代數的主要理論，才可以實現實際問題向線性代數類問題的轉化。

4 實例分析

自我國實施改革開放政策以來，經濟建設成就有目共睹，人民生活也有了較大的改善。但是卻存在明顯的城市環境惡化，以及城鄉收入差距不斷增大的趨勢，這使得有不少的農村的人進城務工，而城市的居民又想去農村生活。根據這一現狀，我國對某省的城鄉人口流動做了系統的調查。其結果顯示，在該省，每年有3.2個百分點的農村居民移到城鎮，在城鎮中有1.3%的市民進入城鎮。從總的情況來看，居住于城鎮的人口高達40%。我們假定全省的總人數未發生變化，人口流動也是保持現在的情況，則一年以后，以及若干年以后城鎮會有多少人呢？

問題分析：我們假設本省的鄉村人口數是x0，城鎮人口是y0，經過“該省每年有3.2%的農村居民移居城鎮，在城鎮有1.3%的居民遷出城鎮”的變化，一年后鄉村人口就變為x1，城鎮人口為y1。

問題求解：根據“當前該省總人口中有40%的居住于城鎮”，我們就可以假設x0=0.6，y0=0.4，按照上面的公式3，我們得到x1=0.5860，y1=0.4140。再按照公式（4），我們得到x5=0.5360，y1=0.4640。

5 結論

數學建模是是一種用于培養學生應用實際模型，解決數學問題的能力。借助于數學建模，不但可以把大學生學到的知識應用于實踐，同時還可以讓更多的人積極，主動地進行學習，從而更加有利于大學數學教學工作的開展。數學建模競賽正在得到大學生，以及大學教師等人的重視。本文主要是對線性代數知識在數學建模中的應用進行了分析，并且給出了一個具體的解決問題的實例。本文的研究可以更好地理解數學建模并把其應用于實際工作中去。

參考文獻

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