2008年全國高考江蘇卷物理試題第8題的定量分析

李紅偉 姜付錦

(1.杭州市余杭第一中學,浙江 杭州 311100;2.黃陂一中試題研究中心,湖北 武漢 430300)

數值模擬技術起源于西方發達資本主義國家,全世界主要有以下四個數學軟件運用得最多,它們分別是Mathematica(美國)、Maple(加拿大)、Matlab(美國)、Mathcad(美國).主要是用來做工程計算,普遍應用于機器制造、建筑設計等領域.當下高中物理中有一類試題,可以用定性或半定量的方法來分析它,但是總覺得分析得不是很到位.若要定量研究則需要解高階微分方程或方程組,對一線物理老師來講有一些困難,但是我們可以用上面提到的數值模擬軟件來分析這些問題,還可以讓結果與過程可視化.

1 題目

如圖1所示的電路中,三個相同的燈泡a、b、c和電感L1、L2與直流電源連接,電感的電阻忽略不計.電鍵K從閉合狀態突然斷開時,下列判斷正確的有( ).

圖1 電路圖

A.a先變亮,然后逐漸變暗

B.b先變亮.然后逐漸變暗

C.c先變亮,然后逐漸變暗

D.b、c都逐漸變暗

1.1 定性分析

設電鍵S閉合時每個燈泡流過的電流為I,則流過電感L1的電流為2I,流過電感L2的電流為I.斷開電鍵S的瞬間,通過電感上的電流不會發生突變,L1中的電流從2I減小到零,L2中的電流從I減小到零,b,c中的電流都從I減小到零,a中的電流從2I減小到零,故b,c逐漸變暗,a先亮一下后逐漸變暗,選項AD正確[1-2].

點評通電自感和斷電自感是較常見的現象,判斷在開關通、斷的極短時間內的電流的變化是難點所在.關鍵是要掌握電流變化的一般規律:電感線圈中的電流不能突變,因為自感電動勢總是在阻礙電流的變化,根據電流的變化規律,就可以順利地解決燈泡亮度變化的問題.

1.2 一種錯誤的認識

假設電鍵S閉合時每個燈泡流過的電流為I,則流過電感L1的電流為2I,流過電感L2的電流為I,也就是斷開電鍵S后兩線圈感應電流的最大值.S斷開瞬間,線圈L1、L2都產生自感電流,按照基爾霍夫定律來分析,流過a的電流最大值是5I/2,方向向上,流過b的電流最大值為I/2,方向向下,流過c的電流最大值為2I,方向向下,在此基礎上,各燈泡的電流都減弱,則結果應是:a先變亮,然后逐漸變暗;b逐漸變暗;c先變亮,然后逐漸變暗,答案為AC.文中既沒有相應的微分方程求解,也沒有認識到電感線圈中的感應電流不能突變[3],筆者認為這種觀點是錯誤的,在下文會對其進行理論分析.

2 定量分析

設S斷開后某時刻L1中的電流為I1,L2中的電流為I2,三個燈泡的電阻均為R,電感線圈的電感分別為L1、L2,則根據基爾霍夫定律可知[4]

由部分電路歐姆定律可知

電路的初始值狀態為I1(0)=2I,I2(0)=I

2.1 利用Maple13解方程組

利用Maple13強大的符號運算能力來求解上述方程很方便,如圖2所示.

圖2 用Maple13 求解方程組

方程組的解為

2.2 數值模擬

令L1=2 H,L2=1 H,R=10 Ω,I=1 A,數值模擬如圖3所示.

圖3 用Maple 13數值模擬

由圖3可知a中的電流先變大后逐漸變小,b,c中電流逐漸變小,答案AD正確.還可以知道b中的電流比c中的大,這是因為當電流變化時c所在支路中的電感有感抗.

2.3 拓展研究

研究電鍵S閉合后的三個燈泡中電流的變化規律,設電源的電動勢為E,內阻為r,三個燈泡中的電流分別為I1、I2、I3,根據基爾霍夫定律有

令L1=L2=1H,R=r=1Ω,E=1V,利用Maple13解方程和數值模擬如圖4所示.

圖4 Maple13解方程和數值模擬

由圖4可知,a的電流逐漸變小,b,c的電流逐漸變大,最后三個燈泡一樣亮.還可以知道b中的電流比c中的大,這是因為當電流變化時c所在支路中的電感有感抗.

2.4 電感、電阻和電容在電路中作用

只有電阻的單棒或雙棒模型規律是以e為底的指數函數,達到穩定狀態的時間理論是無窮大,在設定比較小的數據時,物理規律很可能不自洽,所以在命題時最好用字母來表示.電磁感應電路中電阻和電感是兩種非常重要的元件,電阻的作用類似力學中摩擦力起耗散作用;電感的作用類似力學中的彈簧,起儲存或釋放能量的作用;若兩者都沒有,則題目容易出問題;若電路中只有電感,則電路中電流是簡諧振動;若是電阻和電感組合,則電路中電流是阻尼振蕩.電容器在電磁感應中的作用也類似彈簧,電容必須與電阻或電感搭配起來,否則電路不能工作,其本質類似一個質量為C(BL)2的物體與真實的物體通過輕繩連接后作用過程,電容器上的電場能類似這個物體上的動能;若電路中有電阻沒有電感,則電容器充電完成或放電完成所需時間理論上是無窮大.

3 結束語

通過對這個問題的研究不難發現,由圖3可知a中的電流先變大后逐漸變小,b,c中電流逐漸變小,最后三個燈泡一樣亮.還可以知道b中的電流比c中的大,這是因為當電流變化時c所在支路中的電感有感抗.現在高考題的趨勢是正在向大學物理題轉型,所在平時的教學中我們可以先對其進行定性分析,然后借助專業軟件對其進行數值模擬來驗證上面的定性分析,這對提高學生分析問題的能力和研究能力是很有幫助的.