一道橢圓檢測題的解答、探究和推廣

晏炳剛

(重慶市綦江中學,重慶 401420)

解析幾何題目一直以來以命題背景豐富、呈現形式多樣、理論深刻優美、解答靈活多變而深受廣大師生喜歡[1].此類題目對培養學生敢于質疑、善于思考、把握本質、數形結合等能力有突出價值.為此,筆者對一道模擬題進行解法探究、背景揭秘和結論推廣,供大家參考.

1 題目再現

(1)求橢圓C的標準方程;

(2)設點T(2,t)(t∈R),圓T過點O且交直線x=2于M,N兩點,直線AM,AN分別交C于另一點P,Q(異于頂點A).證明:直線PQ過定點,并求出該點的坐標.

(3m2+4)y2+6mny+3n2-12=0.

易知Δ>0,設P(x1,y1),Q(x2,x2),則有

由題MN為直徑的圓過點O,

于是有

整理,得n2+n-2=0.

解得n=1或n=-2.

當n=-2時,直線PQ過點A,不合題意.

當n=1時,直線PQ為x=my+1,恒過定點(1,0).

(3m2+4)y2+6my-9=0.

易知Δ>0,設P(x1,y1),Q(x2,x2),則有

因此直線PQ恒過定點(1,0).

解法3圓T方程為

(x-2)2+(y-t)2=t2+4,

令x=2有y2-2ty-4=0.

所以yMyN=-4.

后面和解法1相同,略

評注直線過定點問題的解決方法有兩種.一種設直線方程為雙參數形式x=my+n,利用已知條件求解雙參數關系,從而消去一個參數,再判斷恒過定點.另一種為數形結合、特殊位置尋找到定點,再轉化為證明任意情況過此點.

2 問題提出

新高考評價體系要求“設置新穎的試題呈現方式,促使學生主動思考、發現新問題、找到新規律、得出新結論”,基于此,做完此題,不難有以下思考:

(1)任意橢圓中,定線為x軸的過右頂點的垂線,對應定點存在嗎?

(2)任意橢圓中, 定線為x軸的過任意點的垂線,對應定點存在嗎?

(3)雙曲線和拋物線中會有類似特征嗎?

3 探究與推廣

圖1 命題1示意圖

(b2m2+a2)y2+2mnb2y+b2n2-a2b2=0.

易知Δ>0,設P(x1,y1),Q(x2,y2),則有

由題知圓T就是以MN為直徑過原點的圓,其方程為

(x-a)2+(y-t)2=t2+a2.

令x=a,有y2-2ty-a2=0.

所以yMyN=-a2.

=-a2.

即m2y1y2+m(a+n)(y1+y2)+(n+a)2=0.

即(a2+4b2)n2+2a3n+a4-4a2b2=0.

即[(a2+4b2)n+a3-4ab2](n+a)=0.

當n=-a時,PQ過點A,不合題意.

圖2 命題2示意圖

(b2m2+a2)y2+2mnb2y+b2n2-a2b2=0.

易知Δ>0,設P(x1,y1),Q(x2,x2),則有

由題知圓T就是以MN為直徑過原點的圓,其方程為

(x-s)2+(y-t)2=t2+s2.

令x=s,有y2-2ty-s2=0.

所以yMyN=-s2.

=-s2.

即[(s+a)2+s2a2)]y1y2+ms2(a+n)(y1+y2)+(n+a)2=0.

即(a2s2+b2s2+2ab2s+a2b2)n2+2a3s2n+a4s2-a2b2s2-2a3b2s-a4b2=0.

即[(a2s2+b2s2+2ab2s+a2b2)n+a3s2-ab2s2-2a2b2s-a3b2](n+a)=0.

所以n=-a或

當n=-a時,PQ過點A,不合題意.

把橢圓背景改為雙曲線有以下命題.

(b2m2-a2)y2+2mnb2y+b2n2-a2b2=0.

易知Δ>0,且b2m2-a2≠0,設P(x1,y1),Q(x2,x2),則

由題知圓T就是以MN為直徑過原點的圓,其方程為

(x-s)2+(y-t)2=t2+s2.

令x=s,有y2-2ty-s2=0.

所以yMyN=-s2.

=-s2.

即[(s+a)2+s2a2)]y1y2+ms2(a+n)(y1+y2)+(n+a)2=0.

即(b2s2-a2s2+2ab2s+a2b2)n2-2a3s2n-a4s2-a2b2s2-2a3b2s-a4b2=0.

即[(b2s2-a2s2+2ab2s+a2b2)n-a3s2-ab2s2-2a2b2s-a3b2](n+a)=0.

當n=-a時,PQ過點A,不合題意.

把命題3中x=s改為x=a得到一個推論即命題4.

圖3 命題4示意圖

拋物線中以左右無窮遠處為左右頂點,即過直徑端點作x軸平行線,尋P,Q,見下面命題5.

圖4 命題5示意圖

證明直線PQ斜率不為0,故設方程為x=my+n,與y2=2px聯立有

y2-2pmy-2pn=0.

設P(x1,y1),Q(x2,x2),則有

y1+y2=2pm,y1y2=-2pn.

設T(t,h),由題圓T就是以MN為直徑過原點的圓,其方程為

(x-t)2+(y-h)2=t2+h2.

令x=t,有y2-2hy-t2=0.

所以yMyN=-t2.

由題P(xp,yM),Q(xQ,yN),

所以yMyN=y1y2=-t2.

即-2pn=-t2.

4 結束語

數學學科的關鍵能力有邏輯思維能力、運算求解能力、空間想象能力、數學建模能力和創新能力.為了考查數學關鍵能力,高考試題命制也以素養為導向,以培養關鍵能力為目標.就解析幾何教學而言,教師不能僅僅作簡單的解答分析和解答過程表述,更應該在深層次上重視知識的背景與關聯、特殊與一般、類比與推廣、來源與發展,才能有效培養學生更高的學科素養和關鍵能力,才能結合考題做到立德樹人、服務選材、引導教學實現高考的核心功能[4].