2024屆高考數(shù)學(xué)模擬試卷(新高考Ⅰ卷)

王東海

(安徽省合肥市肥東縣城關(guān)中學(xué),安徽 合肥 231600)

第Ⅰ卷(選擇題)

一、單選題:本題共8小題,共40分.在每小題列出的選項(xiàng)中,選出符合的一項(xiàng).

1.已知集合A={y|y=2x-1,x∈R},B={x|x2-x-2<0},則( ).

C.A∪B=AD.A∩(RB)=A

3.已知平面向量a=(1,m),b=(0,2),若b⊥(3a-mb),則實(shí)數(shù)m=( ).

A.-1 B.0 C.1 D.2

A.充要條件 B.充分不必要條件

C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件

二、多選題：本大題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.

9.若甲組樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn(數(shù)據(jù)各不相同)的平均數(shù)為3,乙組樣本數(shù)據(jù)2x1+a,2x2+a,…,2xn+a的平均數(shù)為5,下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是( ).

A.a的值不確定

B.乙組樣本數(shù)據(jù)的方差為甲組樣本數(shù)據(jù)方差的2倍

C.兩組樣本數(shù)據(jù)的極差可能相等

D.兩組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)可能相等

A.若地震震級(jí)M增加1級(jí),則最大振幅Amax增加到原來(lái)的10倍

B.若地震震級(jí)M增加1級(jí),則放出的能量E增加到原來(lái)的10倍

C.若最大振幅Amax增加到原來(lái)的100倍,則放出的能量E也增加到原來(lái)的100倍

D.若最大振幅Amax增加到原來(lái)的100倍,則放出的能量E增加到原來(lái)的1 000倍

11.如圖1所示,在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD—A1B1C1D中,E為側(cè)面BCC1B1的中心,F是棱C1D1的中點(diǎn),若點(diǎn)P為線段BD1上的動(dòng)點(diǎn),N為ABCD所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),則下列說(shuō)法正確的是( ).

圖1 第11題圖

第Ⅱ卷(非選擇題)

三、填空題：本題共3小題,每小題5分,共15分.

12.某校在新學(xué)期開設(shè)了“遇見GGB”“數(shù)學(xué)與生活”“微積分初步”“無(wú)限的世界”和“數(shù)學(xué)閱讀與寫作”5門數(shù)學(xué)類校本課程.小明和小華兩位同學(xué)商量每人選報(bào)2門校本課程.若兩人所選的課程至多有一門相同,且小明一定選報(bào)“遇見GGB”課程,則兩位同學(xué)不同的選課方案有____種.(用數(shù)字作答)

四、解答題：本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟

(1)求角C的大小;

(2)若△ABC為銳角三角形,且b=2,求△ABC周長(zhǎng)的取值范圍.

圖2 第16題圖

(1)證明:BM∥平面DEF;

(2)點(diǎn)P在棱BB1上,當(dāng)二面角P-DF-E為30°時(shí),求EP的長(zhǎng).

(1)當(dāng)a=1時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)求證:當(dāng)a>0時(shí),f(x)≤e2a-2.

18.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=3an+2,n∈N*,數(shù)列{bn}滿足b1=1,Sn+1-n=Sn+bn+n+1,其中Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.

(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

參考答案

1.C 2.D 3.B 4.C 5.C 6.D 7.A

8.B 9.ABC 10.AD 11.BCD

因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形,

16.(1)取DF中點(diǎn)N,連接EN,MN,由MN為梯形ADFC的中位線,得

又BE∥AD,故MN∥BE,且MN=BE.

故四邊形BMNE為平行四邊形,則BM∥NE.

因?yàn)镹E?平面DEF,BM?平面DEF,

故BM∥平面DEF.

(2)以BM所在直線為x軸,AC所在直線為y軸,MN所在直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系M-xyz,如圖3所示,

圖3 第16題解析圖

設(shè)平面DEF的法向量為n1=(x1,y1,z1),平面PDF的法向量為n2=(x2,y2,z2),

取z1=3,則y1=2,x1=0,得n1=(0,2,3).

由二面角P-DF-E為30°,得

因?yàn)閍>0,所以當(dāng)x∈(0,e1-a)時(shí),f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,當(dāng)x∈(e1-a,+∞)時(shí),f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減.

即證:ea-1≥a.

記g(a)=ea-1-a,則g′(a)=ea-1-1,當(dāng)a∈(0,1)時(shí),g′(a)<0,g(a)單調(diào)遞減,當(dāng)a∈(1,+∞)時(shí),g′(a)>0,g(a)單調(diào)遞增.

所以g(a)min=g(1)=0.

所以g(a)≥0恒成立,即ea-1≥a.

所以當(dāng)a>0時(shí),f(x)≤e2a-2.

18.(1)由an+1=3an+2,可得

an+1+1=3(an+1).

所以數(shù)列{an+1}是首項(xiàng)為a1+1=2,公比為3的等比數(shù)列.

所以an+1=2·3n-1.

所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2·3n-1-1.

因?yàn)镾n+1-n=Sn+bn+n+1,

所以bn+1=bn+2n+1.

所以數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=n2.

①

②

②-①,得

所以{Tn}是遞增數(shù)列.

(2)由題意可知直線l的斜率k存在且k<0,設(shè)直線l方程為y=k(x-1),代入橢圓方程為

(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0.

顯然Δ>0恒成立.

設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則

過(guò)點(diǎn)M,N分別作y軸的垂線,垂足分別為M′,N′,設(shè)原點(diǎn)為O,則