用運動的分解法處理兩道粒子擺線運動高考真題

羅 章 彭知文

(湖南師范大學附屬中學,湖南 長沙 410006)

一個物體的實際運動往往同時參與幾個運動,我們把這幾個運動叫作實際運動的分運動,把這個實際運動叫作分運動的合運動.復雜的曲線運動往往不好理解或者定量分析,但是如果能化曲為直或者化繁為簡,則有助于對物體運動的深入理解.解決帶電粒子擺線運動的方法可稱為“速度補償法”,也稱為“速度構造法”.這一方法將復雜的擺線運動分解為勻速圓周運動以及勻速直線運動[1].

1 問題的提出

圖1 速度選擇器

2 解決問題的辦法

圖2 運動的分解示意圖

下面用此法來解決兩道高考真題.

3 高考真題的處理

例1(2023年高考江蘇卷)霍爾推進器某局部區域可抽象成如圖3所示的模型.Oxy平面內存在豎直向下的勻強電場和垂直坐標平面向里的勻強磁場,磁感應強度為B.質量為m、電荷量為e的電子從O點沿x軸正方向水平入射.入射速度為v0時,電子沿x軸做直線運動;入射速度小于v0時,電子的運動軌跡如圖3中的虛線所示,且在最高點與在最低點所受的合力大小相等.不計重力及電子間相互作用.

(1)求電場強度的大小E;

解析(1)由題知,入射速度為v0時,電子沿x軸做直線運動,則有eE=ev0B

解得:E=v0B

(3)若電子以v入射時,設電子能達到的最高點位置的縱坐標為y,則根據動能定理有

由于電子在最高點與在最低點所受的合力大小相等,則在最高點有F合=evmB-eE

在最低點有:F合=eE-evB

可以解得:v1=0.9v0.后續分析與前面相同.

例2(2013年高考福建卷)如圖4,空間存在一范圍足夠大的垂直于xOy平面向外的勻強磁場,磁感應強度大小為B.讓質量為m,電荷量為q(q>0)的粒子從坐標原點O沿xOy平面以不同的初速度大小和方向入射到該磁場中.不計重力和粒子間的影響.

圖4 帶電粒子在磁場中運動

(1)略;(2)略;(3)如圖5所示,若在此空間再加入沿y正向、大小為E的勻強電場,一粒子從O點以初速度v0沿y軸正方向發射.研究表明:粒子在xOy平面內做周期性運動,且在任一時刻,粒子速度的x分量vx與其所在位置的坐標成正比,比例系數與電場強度大小E無關.求該粒子運動過程中的最大速度vm.

圖5 帶電粒子在復合場中運動

解析帶電粒子的初速度v0沿y軸正方向,而在x軸方向上速度為零.我們可以將速度為“零”分解為向右和向左的兩個等大反向的速度,向右的速度產生的洛倫茲力與電場力平衡,則:qv右B=qE

采用“零”分解法處理該題,巧妙地將復雜的螺旋線運動等效為勻速直線運動與勻速圓周運動的合成,直觀而且深刻.

4 結束語

帶電粒子在復合場中的運動是一類相當復雜的問題,尤其是做擺線或滾輪線運動,還經常出現在高考真題中,用以考查學生的核心素養.處理這類運動通常有“運動的分解與合成法”和“相對運動法”以及“微積分法”.用中學生普遍易于接受的運動的合成與分解的角度展開分析:確定分運動為圓周運動的分速度的方向,從而得出初末位置及速度偏轉角,進而得出運動時間和兩分運動的分位移[2].本文提供了快速解答2023年和2013年高考真題的思路.