用運動的分解法處理兩道粒子擺線運動高考真題

羅 章 彭知文

(湖南師范大學附屬中學,湖南 長沙 410006)

一個物體的實際運動往往同時參與幾個運動,我們把這幾個運動叫作實際運動的分運動,把這個實際運動叫作分運動的合運動.復(fù)雜的曲線運動往往不好理解或者定量分析,但是如果能化曲為直或者化繁為簡,則有助于對物體運動的深入理解.解決帶電粒子擺線運動的方法可稱為“速度補償法”,也稱為“速度構(gòu)造法”.這一方法將復(fù)雜的擺線運動分解為勻速圓周運動以及勻速直線運動[1].

1 問題的提出

圖1 速度選擇器

2 解決問題的辦法

圖2 運動的分解示意圖

下面用此法來解決兩道高考真題.

3 高考真題的處理

例1(2023年高考江蘇卷)霍爾推進器某局部區(qū)域可抽象成如圖3所示的模型.Oxy平面內(nèi)存在豎直向下的勻強電場和垂直坐標平面向里的勻強磁場,磁感應(yīng)強度為B.質(zhì)量為m、電荷量為e的電子從O點沿x軸正方向水平入射.入射速度為v0時,電子沿x軸做直線運動;入射速度小于v0時,電子的運動軌跡如圖3中的虛線所示,且在最高點與在最低點所受的合力大小相等.不計重力及電子間相互作用.

(1)求電場強度的大小E;

解析(1)由題知,入射速度為v0時,電子沿x軸做直線運動,則有eE=ev0B

解得:E=v0B

(3)若電子以v入射時,設(shè)電子能達到的最高點位置的縱坐標為y,則根據(jù)動能定理有

由于電子在最高點與在最低點所受的合力大小相等,則在最高點有F合=evmB-eE

在最低點有:F合=eE-evB

可以解得:v1=0.9v0.后續(xù)分析與前面相同.

例2(2013年高考福建卷)如圖4,空間存在一范圍足夠大的垂直于xOy平面向外的勻強磁場,磁感應(yīng)強度大小為B.讓質(zhì)量為m,電荷量為q(q>0)的粒子從坐標原點O沿xOy平面以不同的初速度大小和方向入射到該磁場中.不計重力和粒子間的影響.

圖4 帶電粒子在磁場中運動

(1)略;(2)略;(3)如圖5所示,若在此空間再加入沿y正向、大小為E的勻強電場,一粒子從O點以初速度v0沿y軸正方向發(fā)射.研究表明:粒子在xOy平面內(nèi)做周期性運動,且在任一時刻,粒子速度的x分量vx與其所在位置的坐標成正比,比例系數(shù)與電場強度大小E無關(guān).求該粒子運動過程中的最大速度vm.

圖5 帶電粒子在復(fù)合場中運動

解析帶電粒子的初速度v0沿y軸正方向,而在x軸方向上速度為零.我們可以將速度為“零”分解為向右和向左的兩個等大反向的速度,向右的速度產(chǎn)生的洛倫茲力與電場力平衡,則:qv右B=qE

采用“零”分解法處理該題,巧妙地將復(fù)雜的螺旋線運動等效為勻速直線運動與勻速圓周運動的合成,直觀而且深刻.

4 結(jié)束語

帶電粒子在復(fù)合場中的運動是一類相當復(fù)雜的問題,尤其是做擺線或滾輪線運動,還經(jīng)常出現(xiàn)在高考真題中,用以考查學生的核心素養(yǎng).處理這類運動通常有“運動的分解與合成法”和“相對運動法”以及“微積分法”.用中學生普遍易于接受的運動的合成與分解的角度展開分析:確定分運動為圓周運動的分速度的方向,從而得出初末位置及速度偏轉(zhuǎn)角,進而得出運動時間和兩分運動的分位移[2].本文提供了快速解答2023年和2013年高考真題的思路.