2024年新高考數學模擬卷(五)

李春林

(天水市第九中學,甘肅 天水 741020)

(河南、山西、江西、安徽、甘肅、青海、內蒙古、黑龍江、吉林、寧夏、新疆、陜西)

第Ⅰ卷(選擇題)

一、選擇題：本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.

1.設集合A={x|2x<-x+1},B={x∈Z|ln(-x)<1},則A∩B等于( ).

A.(-e,+∞) B.(-e,0)

C.{-3,-2,-1} D.{-2,-1}

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

5.函數f(x)=(elog2|x|-e-log2|x|)·sinx在區間[-π,π]上的圖象大致為( ).

6.若(2x-1)10=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a10(x-1)10,則a1+2a2+…+10a10=( ).

A.310B.310-1 C.20×39D.10×39

7.已知拋物線C:y2=4x的焦點為F,過點(0,3)的直線與C交于A,B兩點,線段AB的垂直平分線與x軸交于點D,若AF+BF=6,則△ABD的面積為( ).

A.215B.219C.221D.228

二、多選題：本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的四個選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.

9.下列關于概率統計說法中正確的是( ).

A.兩個變量x,y的相關系數為r,則|r|越小,x與y之間的相關性越弱

B.設隨機變量ξ服從正態分布N(0,1),若P(ξ>1)=p,則P(-1<ξ<0)=1-2p

C.在回歸分析中,R2為0.99的模型比R2為0.88的模型擬合得更好

D.某人在10次答題中,答對題數為X,X～B(10,0.7),則答對7題的概率最大

A.a2e=1

B.頂點到漸近線的距離為e

C.A2B⊥FB

11.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為4,EF是棱AB上的一條線段,且EF=1,點Q是棱A1D1的中點,點P是棱C1D1上的動點,則下面結論中正確的是( ).

A.PQ與EF一定不垂直

第Ⅱ卷(非選擇題)

三、填空題：本題共3小題,每小題5分,共15分.

12.已知圓O1:x2+y2=1,圓O2:(x+3)2+(y-a)2=16,如果這兩個圓有公共點,則實數a的取值范圍是____.

四、解答題：本題共5小題,共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知銳角△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足(2sinA-cosC)b=ccosB.

(1)求B;

(2)若a=1,求b+c的取值范圍.

16.已知數列{an}的前n項和為Sn,a1=2,λan+1=Sn+2,n∈N*.

(1)是否存在實數λ,使得數列{an}為等比數列?若存在,求出λ的值;若不存在,說明理由;

17.如圖1,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=2,D為BC的中點,平面BB1C1C⊥平面ABC.

圖1 第17題圖

(1)證明:AD⊥BB1;

(1)求橢圓C的方程;

(2)過點P(1,-1)的直線l與橢圓C相交于M,N兩點,設點B(0,1),求證:直線BM,BN的斜率之和kBM+kBN為定值,并求出定值.

(1)當m=0時,求f(x)在(1,f(1))處的切線方程;

參考答案

1.由題意得,A={x|2x+x<1}.

因為20+0=1,y=2x+x在(-∞,+∞)單調遞增,所以A={x|x<0},B={x∈Z|ln(-x)<1}={x∈Z|0<-x

所以A∩B={-2,-1}.

故選D.

故選A.

(a+b)·a=a2+a·b=1+a·b=0.

所以a·b=-1.

所以|2a-b|2=4a2-4a·b+b2=10.

故選B.

4.若角α的終邊經過點P(1,2),

綜上,p是q的充分不必要條件.

故選A.

5.因為f(-x)=(elog2|-x|-e-log2|-x|)·sin(-x)=-(elog2|x|-e-log2|x|)·sinx=-f(x),

所以f(x)為奇函數.

當0

所以elog2|x|

又sinx>0,所以f(x)<0.

故選C.

6.根據題意,對原式兩邊求導可得:

令x=2,可得20×39=a1+2a2+…+10a10.

故選C.

由拋物線的定義可知,

|AF|=|AA′|,|BF|=|BB′|,|AF|+|BF|=6.

所以|AA′|+|BB′|=6.得|HH′|=3.

即點H的橫坐標為2.

設直線AB:y=kx+3,代入拋物線方程,得

k2x2+(6k-4)x+9=0.

所以直線AB:y=-2x+3,H(2,-1).

令y=0,解得x=4,即D(4,0).

故選C.

又數列{An}的二階商數列{cn}是常數列,則cn=c1=2.

則數列{bn}是2為首項,2為公比的等比數列.

則bn=2·2n-1=2n.

等式左右分別相乘可得

故選C.

9.對于A,兩個變量x,y的相關系數為r,|r|越小,x與y之間的相關性越弱,故A正確;

對于C,R2越接近1,模型擬合越好,且0.99>0.88,故C正確;

對于D,因為X～B(10,0.7),則數學期望為10×0.7=7,說明答對7題的概率最大,故D正確.

故選ACD

故選ACD.

11.對于A,當點P與點D1重合時,由正方體的性質易得PQ⊥面ABB1A1,而EF?面ABB1A1,所以PQ⊥EF,故A錯誤;

對于C,由于平面PEF就是平面ABC1D1,

設點P到平面QEF的距離為h,

圖2 第11題解析圖

設平面PEF的法向量為n=(x1,y1,z1),

令x1=1,則n=(1,0,1).

設平面QEF的法向量為m=(x2,y2,z2),

令x2=2,則m=(2,0,1).

設二面角P-EF-Q的平面角為α,

故選BCD.

12.由題意知,O1(0,0),r1=1,O2(-3,a),r2=4.

因為圓O1與圓O2有公共點,

所以r2-r1≤|O1O2|≤r2+r1.

解得-4≤a≤4.

所以實數a的取值范圍是[-4,4].

13.因為a>0,b>0,

如圖3所示,延長AG交BC于點D,則D是BC中點,

圖3 第14題解析圖

又P,G,Q三點共線,

15.(1)由正弦定理,得

2sinAsinB-sinBcosC=sinCcosB.

即2sinAsinB=sin(B+C)=sinA.

由△ABC是銳角三角形可得

16.(1)由題知λan+1=Sn+2,

①

當n≥2時,λan=Sn-1+2.

②

兩式相減,得λan+1-λan=an.

即λan+1=(1+λ)an.

當λ=0時,an=0,不能使得數列{an}為等比數列,舍去,

當λ=-1時,an+1=0·an=0,不能使得數列{an}為等比數列,舍去,

當λ∈(-∞,-1)∪(-1,0)∪(0,+∞)時,數列{an}為等比數列.

(2)當λ=1時,an+1=2an,

故{an}為首項為2,公比為2的等比數列.

兩式相減,得

17.(1)因為AB=AC,且D為BC的中點,則AD⊥BC.

因為平面BB1C1C⊥平面ABC,交線為BC,AD⊥BC,AD?平面ABC,

可得AD⊥平面BB1C1C,且BB1?平面BB1C1C.

所以AD⊥BB1.

(2)連接B1D,B1C,

因為四邊形BB1C1C為邊長為2的菱形,且∠B1BC=60°,

可知△B1BC為等邊三角形,且D為BC的中點,則B1D⊥BC.

又因為平面BB1C1C⊥平面ABC,交線為BC,B1D?平面BB1C1C,

所以B1D⊥平面ABC.

以D為原點,DC,DA,DB1分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系,如圖4.

圖4 第17題解析圖

設平面AED的一個法向量為n=(x,y,z),則

設平面AEC的一個法向量為m=(a,b,c),則

設平面EAD與平面EAC的夾角為θ,

設R到F1F2的距離為d,因為|F1F2|=2c,

易得當d=b時△RF1F2面積取得最大值.

因為b2=a2-c2,

所以a2=4,b2=1.

(2)如圖5,易知點P在橢圓外.

圖5 第18題解析圖

(m2+4)y2+(2m2+2m)y+m2+2m-3=0.

所以kBM+kBN

19.(1)因為m=0,

所以f(x)=x2lnx+xlnx,x∈(0,+∞).

所以f(1)=0.

所以f′(x)=(2x+1)lnx+x+1.

所以f′(1)=2.

所以f(x)在(1,0)處的切線方程為y-0=2(x-1),即2x-y-2=0.

則h(x)在(0,+∞)上單調遞增.

當x→0時h(x)→-∞,當x→+∞時h(x)→+∞,

故存在唯一x0使得h(x0)=0.

則當x∈(0,x0)時h(x)<0,即F′(x)<0.

所以F(x)在(0,x0)上單調遞減.

當x∈(x0,+∞)時h(x)>0,即F′(x)>0.

所以F(x)在(x0,+∞)上單調遞增.

所以F(x)min=F(x0)≥0.

所以當0

即t(x)在(0,1)上單調遞減.

當x>1時t′(x)>0,即t(x)在(1,+∞)上單調遞增.