一道高考圓錐曲線試題多解的深度探究與啟示

安中順 余 泉

(貴州省都勻一中,貴州 都勻 558000;2.黔南民族師范學院,貴州 都勻 558000)

圓錐曲線中直線過定點的問題是近些年高考常考的一種題型,基本都是以壓軸題出現,人們常用“高考常青樹”來形容[1].對于這一題型學生很難拿到較高的分數,本文以2020年高考數學全國Ⅰ卷理科第20題為例,詳細討論了本題直線過定點問題多種解法中的6種特別解法.

1 題目呈現與解答

(1)求E的方程;

(2)證明:直線CD過定點.

所以a2=9.

本題第(2)問中,高考參考答案解法破解難度大,需依托數學模型,強調對數學思想方法的考查,要求學生具有較高計算能力和細致、全面的思維品質.筆者從近些年的直線過定點考題中分析問題并從深度探究與教學的不同角度給出建議,用6種不同解法加以闡述.

提取公因式,該等式一定可化為

解法2設點P(6,t),直線CD的方程為x=my+n,由題意可知-3

由于直線PA的方程為tx-9y+3t=0,

直線PB的方程為tx-3y-3t=0,

過A,B,C,D四點的曲線系方程可設為

點評經過兩曲線f1(x,y)=0和f2(x,y)=0交點的一系列曲線的方程為f1(x,y)+λf2(x,y)=0.如果f1(x,y)=0和f2(x,y)=0齊次,則f1(x,y)+λf2(x,y)=0表示過兩已知曲線交點的一系列同構的曲線,如果f1(x,y)=0和f2(x,y)=0都是圓,則f1(x,y)+λf2(x,y)=0也是圓.綜合起來,可以理解為f1(x,y)=0和f2(x,y)=0相交形成了曲線系f1(x,y)+λf2(x,y)=0.

解法3(截距式)設C(x1,y1),D(x2,y2),P(6,t),易知3kPA=3kAC=kPB=kBD.

即3x2y1-y2x1=3y2+9y1.

①

x2y1-3x1y2=-3y1-9y2.

②

由①+②,得4x2y1-4x1y2=6y1-6y2.

解法4 設點P(6,t),點C(3cosα,sinα),D(3cosβ,sinβ),則

設CD過定點為M(m,0),

由kMD=kCM,得

點評對于圓錐曲線中的雙斜率問題, 常規方法是聯立方程結合韋達定理求解;也可以通過齊次化處理,利用齊次式解決更加方便快捷,可簡化運算,降低運算難度.

齊次化方法一般適用于兩直線斜率之和(或積)為常數的題型,可以解決與斜率之和(或積)有關的定點、定值或軌跡等問題.使用齊次化方法時,需要注意兩個關鍵步驟:

步驟1:先平移坐標系, 將定點P(x0,y0)平移至原點O(0,0),平移公式x′=x-x0,y′=y-y0,其中(x′,y′)為新坐標,(x,y)為同一點舊坐標.

2 結束語

通過對圓錐曲線問題的深度探究,學生從“會通性通法”到“能變式解法”,再到“會創新解法”,有利于培養學生發現問題和解決問題的能力,在探究過程中讓學生的綜合素質得到發展.總之,對學生解壓軸題能力提升的探究不是一朝一夕就能完成的,也不是僅通過幾個題目的多種解法就可以強化的,它需要學生領會圓錐曲線中直線過定點或定斜率問題呈現背景的多樣性.因此,學生要注重以必備知識和方法為起點,借助模型和師生合作探究挖掘更多的探究點,從圓錐曲線性質多方面進行滲透,促進學生將直線過定點或定斜率的知識掌握得更牢固.