運用交軌法求動點的軌跡方程

唐宜鐘

(漢中市龍崗學校,陜西 漢中 723103)

軌跡問題是圓錐曲線的基本問題之一,其常用的解決方法有代數法和幾何法兩種.交軌法是代數方法中的一種,近些年在高考、各地模擬題中都有所涉及.

1 交軌法的定義

2 交軌法的選參和消參

2.1 直接解方程消參

例1已知正方形的四個頂點分別為O(0,0),A(1,0),B(1,1),C(0,1),點D,E分別在線段OC,AB上運動,且OD=BE,設AD與OE交于點G,求點G的軌跡方程.

解析設D(0,m)(0≤m≤1),則E(1,1-m).

消去m可得y=(1-x)x(0≤x≤1).

評析本題屬于交軌法的“入門問題”.選取點D的縱坐標為參數,進而能得到點E的坐標,所有直線都能夠表示出來.對于所列方程組,可以直接把m當成已知量,解出x和y.再利用m=x,代入y=(1-m)m即可得到軌跡方程.最后,需要根據初始參數m的取值范圍及運算過程中各個條件和運算式的限制,界定軌跡的范圍,去掉方程中的特殊點.

2.2 相乘消參

解析設P(x,y)及M(x1,y1),N(x1,-y1),又A1(-a,0),A2(a,0),

①

②

③

當a=b時,點P的軌跡是以原點為圓心,a為半徑的圓;當a≠b時,點P的軌跡是橢圓.

則N(acosθ,-bsinθ).

兩式相乘,得

評析例2和例3屬于交軌法的經典范例.其中,例2選取了點M(x1,y1)為參數,例3選取了橢圓的輻角θ為參數,再利用兩直線方程相乘消去了參數.其本質是利用了有心曲線的第三定義:A,B是有心曲線上關于原點對稱的兩點,P(x,y)為有心曲線上異于A,B的一點,則kPA·kPB=e2-1[1].例2和例3從代數角度“佐證”了第三定義.事實上,只要兩條直線斜率相乘呈現一定的代數特征(如為定值),就可以嘗試使用乘法消元.當然,在使用過程中,依舊要注意參數的取值范圍,以便在最終結果中去掉特殊點.

2.3 零因式消參

例4 已知拋物線y2=4x,過頂點的兩弦OA,OB互相垂直,求以OA,OB為直徑的兩圓的另一交點的軌跡方程.

即k2(x2+y2)-4x-4ky=0.

④

⑤

④+⑤,得(1+k2)(x2+y2-4x)=0.

因為1+k2≠0,所以x2+y2-4x=0.

所以以OA,OB為直徑的兩圓的另一交點的軌跡方程為x2+y2-4x=0(x≠0).

2.4 同構消參

所謂同構是指若方程f(a)=0,f(b)=0呈現出共同特征,則a,b可視為方程f(x)=0的兩個根.其常應用于切線和切點弦問題,因為這類問題初始時通常會用多個參數,通過同構可以達到“多參化一”的效果.

故橢圓C1在點P處的切線方程為

設點M(x1,y1),再證圓C2在點M處的切線方程為x1x+y1y=24.

故圓C2在點M處的切線方程為

當直線OM的斜率不存在且為零時,在點M處的切線滿足上式.

設點N(x2,y2),則圓C2在點N處的切線方程為x2x+y2y=24.

故點M,N的坐標滿足方程mx+ny=24.

故直線MN的方程為mx+ny=24.

2.5 動點轉移法消參

例6 如圖1,已知拋物線C:y=x2,動點P在直線l:x-y-2=0上運動,過點P作拋物線C的兩條切線PA,PB,且與拋物線C分別相切于A,B兩點.求△APB的重心G的軌跡方程.

圖1 例6題圖

求導可得kAP=2x1.

由于點P既在AP上又在BP上,

所以△APB的重心G的坐標為

⑥

⑦

由點P在直線l:x-y-2=0上運動

所以xP-yP-2=0.

從而得到重心G的軌跡方程為

2.6 利用曲線性質消參

(1)求C的方程;

(2)如圖2,點P,Q分別在C和直線x=4上,OQ∥AP,M為AP的中點,求證:直線OM與直線QF的交點在某定曲線上.

圖2 例7題圖

(2)顯然,kAP存在且不為0,設kAP=kOQ=k,則lOQ:y=kx,故yQ=4k,即Q(4,4k).

兩直線方程相乘,得y2=-x(x-1).

2.7 利用曲線的幾何意義消參

評析本題背景雖為復數,但從復數模長的幾何意義上看,題目的實質是滿足條件的點的軌跡,即兩圓有公共點,直接利用圓的相關知識解決即可.

3 結束語

在選取參數時,除了常見的動點坐標、斜率、角度外,線段比值、截距等也都可以在相應的題目中使用[2].在具體消參過程中,要代數技巧、曲線性質和幾何意義相結合,力求做到消參路徑的順暢、計算的簡單、幾何意義的明確.在得出軌跡方程后,需要從題目本身及消參過程中參數的條件限制去掉特殊點.從方程軌跡的幾何意義再去思考題目,明晰軌跡的生成過程,從“數”和“形”兩方面,進一步加深對題目的理解.