運(yùn)用交軌法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程

唐宜鐘

(漢中市龍崗學(xué)校,陜西 漢中 723103)

軌跡問題是圓錐曲線的基本問題之一,其常用的解決方法有代數(shù)法和幾何法兩種.交軌法是代數(shù)方法中的一種,近些年在高考、各地模擬題中都有所涉及.

1 交軌法的定義

2 交軌法的選參和消參

2.1 直接解方程消參

例1已知正方形的四個(gè)頂點(diǎn)分別為O(0,0),A(1,0),B(1,1),C(0,1),點(diǎn)D,E分別在線段OC,AB上運(yùn)動(dòng),且OD=BE,設(shè)AD與OE交于點(diǎn)G,求點(diǎn)G的軌跡方程.

解析設(shè)D(0,m)(0≤m≤1),則E(1,1-m).

消去m可得y=(1-x)x(0≤x≤1).

評(píng)析本題屬于交軌法的“入門問題”.選取點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為參數(shù),進(jìn)而能得到點(diǎn)E的坐標(biāo),所有直線都能夠表示出來(lái).對(duì)于所列方程組,可以直接把m當(dāng)成已知量,解出x和y.再利用m=x,代入y=(1-m)m即可得到軌跡方程.最后,需要根據(jù)初始參數(shù)m的取值范圍及運(yùn)算過(guò)程中各個(gè)條件和運(yùn)算式的限制,界定軌跡的范圍,去掉方程中的特殊點(diǎn).

2.2 相乘消參

解析設(shè)P(x,y)及M(x1,y1),N(x1,-y1),又A1(-a,0),A2(a,0),

①

②

③

當(dāng)a=b時(shí),點(diǎn)P的軌跡是以原點(diǎn)為圓心,a為半徑的圓;當(dāng)a≠b時(shí),點(diǎn)P的軌跡是橢圓.

則N(acosθ,-bsinθ).

兩式相乘,得

評(píng)析例2和例3屬于交軌法的經(jīng)典范例.其中,例2選取了點(diǎn)M(x1,y1)為參數(shù),例3選取了橢圓的輻角θ為參數(shù),再利用兩直線方程相乘消去了參數(shù).其本質(zhì)是利用了有心曲線的第三定義:A,B是有心曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn),P(x,y)為有心曲線上異于A,B的一點(diǎn),則kPA·kPB=e2-1[1].例2和例3從代數(shù)角度“佐證”了第三定義.事實(shí)上,只要兩條直線斜率相乘呈現(xiàn)一定的代數(shù)特征(如為定值),就可以嘗試使用乘法消元.當(dāng)然,在使用過(guò)程中,依舊要注意參數(shù)的取值范圍,以便在最終結(jié)果中去掉特殊點(diǎn).

2.3 零因式消參

例4 已知拋物線y2=4x,過(guò)頂點(diǎn)的兩弦OA,OB互相垂直,求以O(shè)A,OB為直徑的兩圓的另一交點(diǎn)的軌跡方程.

即k2(x2+y2)-4x-4ky=0.

④

⑤

④+⑤,得(1+k2)(x2+y2-4x)=0.

因?yàn)?+k2≠0,所以x2+y2-4x=0.

所以以O(shè)A,OB為直徑的兩圓的另一交點(diǎn)的軌跡方程為x2+y2-4x=0(x≠0).

2.4 同構(gòu)消參

所謂同構(gòu)是指若方程f(a)=0,f(b)=0呈現(xiàn)出共同特征,則a,b可視為方程f(x)=0的兩個(gè)根.其常應(yīng)用于切線和切點(diǎn)弦問題,因?yàn)檫@類問題初始時(shí)通常會(huì)用多個(gè)參數(shù),通過(guò)同構(gòu)可以達(dá)到“多參化一”的效果.

故橢圓C1在點(diǎn)P處的切線方程為

設(shè)點(diǎn)M(x1,y1),再證圓C2在點(diǎn)M處的切線方程為x1x+y1y=24.

故圓C2在點(diǎn)M處的切線方程為

當(dāng)直線OM的斜率不存在且為零時(shí),在點(diǎn)M處的切線滿足上式.

設(shè)點(diǎn)N(x2,y2),則圓C2在點(diǎn)N處的切線方程為x2x+y2y=24.

故點(diǎn)M,N的坐標(biāo)滿足方程mx+ny=24.

故直線MN的方程為mx+ny=24.

2.5 動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)移法消參

例6 如圖1,已知拋物線C:y=x2,動(dòng)點(diǎn)P在直線l:x-y-2=0上運(yùn)動(dòng),過(guò)點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線PA,PB,且與拋物線C分別相切于A,B兩點(diǎn).求△APB的重心G的軌跡方程.

圖1 例6題圖

求導(dǎo)可得kAP=2x1.

由于點(diǎn)P既在AP上又在BP上,

所以△APB的重心G的坐標(biāo)為

⑥

⑦

由點(diǎn)P在直線l:x-y-2=0上運(yùn)動(dòng)

所以xP-yP-2=0.

從而得到重心G的軌跡方程為

2.6 利用曲線性質(zhì)消參

(1)求C的方程;

(2)如圖2,點(diǎn)P,Q分別在C和直線x=4上,OQ∥AP,M為AP的中點(diǎn),求證:直線OM與直線QF的交點(diǎn)在某定曲線上.

圖2 例7題圖

(2)顯然,kAP存在且不為0,設(shè)kAP=kOQ=k,則lOQ:y=kx,故yQ=4k,即Q(4,4k).

兩直線方程相乘,得y2=-x(x-1).

2.7 利用曲線的幾何意義消參

評(píng)析本題背景雖為復(fù)數(shù),但從復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的幾何意義上看,題目的實(shí)質(zhì)是滿足條件的點(diǎn)的軌跡,即兩圓有公共點(diǎn),直接利用圓的相關(guān)知識(shí)解決即可.

3 結(jié)束語(yǔ)

在選取參數(shù)時(shí),除了常見的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)、斜率、角度外,線段比值、截距等也都可以在相應(yīng)的題目中使用[2].在具體消參過(guò)程中,要代數(shù)技巧、曲線性質(zhì)和幾何意義相結(jié)合,力求做到消參路徑的順暢、計(jì)算的簡(jiǎn)單、幾何意義的明確.在得出軌跡方程后,需要從題目本身及消參過(guò)程中參數(shù)的條件限制去掉特殊點(diǎn).從方程軌跡的幾何意義再去思考題目,明晰軌跡的生成過(guò)程,從“數(shù)”和“形”兩方面,進(jìn)一步加深對(duì)題目的理解.