對導數求參數取值范圍問題解法的探究
——基于全國甲卷理科第21題的分析

孫 璪 王宇航

(1.遵義四中,貴州 遵義 563006;2.遵義市新浦中學,貴州 遵義 563103)

近年高考導數壓軸題中求參數取值范圍問題的題目出現頻次較高,其中以特殊函數ex與lnx為背景的題目考查較多,但是2023年全國甲卷的導數壓軸題以三角函數為背景,大有反套路、考能力的趨勢.因此,如何找到求導數取值范圍問題的通性通法顯得尤為重要.

1 解法概述

分類討論常常是解決該問題的一種通法.該方法一般是構造函數,然后通過求導、分類討論、分析其單調性.

分離參數往往是解決該問題的一種重要方法,分離參數在解決恒成立問題時可以有兩個角度:全分離和半分離.全分離是將含參表達式中的參數從表達式中完全分離出來,使所研究的函數由動態變為定態,進而可得到新函數的圖象、性質(最值),將求參數的范圍問題轉化為求函數的最值或值域問題.半分離是將不等式變形為ax+b≥f(x)或ax+b≤f(x)的形式(其中a為參數,b為常數),然后畫出圖象,由圖象的上下位置關系得到不等式,從而求得參數的取值范圍.

必要性探路是解決該問題的一種妙法.必要性探路是指對某些與函數有關的恒成立問題,通過選取函數定義域內的某些特殊值,先得到一個必要條件,初步獲得參數的范圍,再在該范圍內進行討論,或去驗證其充分性,進而得到參數的準確范圍的方法.在驗證其充分性的時候,往往需要結合“矛盾區間”進行說明.

泰勒展開是解決該問題的一種優法,許多高考題的命制如含有ex與lnx的題目,通常都是把其函數的泰勒展開式的幾項進行直接變形,或取倒數、對數進行演繹變形,然后再結合添加參數設計而成.具有泰勒公式背景的高考數學試題大致可以分成兩類問題,一類是根據不等式恒成立求解參數范圍,一類是證明不等式恒成立[1].

2 解法探討

(1)當a=8時,討論f(x)的單調性;

(2)若f(x)

2.1 分類討論,直面問題

本題的背景是三角函數,可通過構造函數用含參討論法,討論a在不同取值范圍函數的單調性,從而知道所構造函數在定義域的最大值和零的大小關系.

又00.故h(t)在(0,1)上單調遞增,則h(t)

所以當a∈(-∞,3],f(x)

當t∈(t0,1),h(t)>0,即t00,即g(x)單調遞增.所以當x∈(0,x0),g(x)>g(0).又g(0)=0即g(x)>0,不合題意.

綜上,a的取值范圍為(-∞,3].

2.2 分離參數,數形結合

本題采用“半分離參數”法較為合適,可把條件f(x)

又3-2cos4x>0,故m′(x)>0.

2.3 必要性探路,降低討論

必要性探路是先考慮函數的端點,再結合“矛盾區間”得出參數的取值范圍的方法.“端點效應+矛盾區間”是一個完整的解題過程,其重點在于“矛盾”而非“端點”.缺少“矛盾區間”說明的解法,得到的僅僅是一個必要條件,顯然過程是不完整的.

所以g′(x)≥0,即3-a≥0.

2.4 泰勒展開,揭示本質

由泰勒展開式,我們可以得到:

由sin2x>f(x),得sin2x+tan3x+tanx-ax>0.

即sin2x+tan3x+tanx-ax>3x-ax.

②若a>3,同必要性探路解法.

3 結束語

處理導數中的參數取值范圍問題有四個層次,正如本題的不同解法反映了不同的思維水平一樣.學習導數的第一層次是“直接求導,分類討論”,第二層次是“參變分離,數形結合”,第三層次是“端點效應,降低討論”,第四層次是“泰勒展開,揭示本質”.如果學生解題總是只停留在第一層次就會自我設限,畫地為牢,沒有探究到導數的精髓.因此,我們倡導去探究通法通解,不被題目背景的表象所迷惑,去接近問題的本質.