高中數學中的“同構”

喬建元

(陜西省旬陽第二中學,陜西 旬陽 725700)

在高中數學中,同構是一種重要的思想或方法,意指構造相同形式的結構,其不僅僅是一個表面上的等價關系,還是指兩個數學結構之間具有相似的性質和結構特征.其雖未出現在教材中,但是卻在某些方面起著舉足輕重的作用.

1 同構在高中數學各方面的應用

1.1 集合方面

要找兩個集合有某種關系時,先研究限定條件的相同點和不同點,通過相同點發現或者構造出相似的結構,這樣只需研究不同點就可判斷二者的關系.

A.M=NB.M?NC.N?MD.M∩N=?

1.2 方程方面

1.3 三角函數方面

對于同名三角函數,只需根據單調性得到兩變量的大小關系;對于非同名三角函數,通過誘導公式和二倍角公式等將其化為同名三角函數即可.

A.sinAcosB

C.sinB

對于A,sinA>0,cosC<0,所以sinA>cosC,A選項錯誤;

同理,C選項正確;

1.4 數列方面

1.5 解析幾何方面

在高考圓錐曲線問題中,常常會涉及三角形,而這些三角形中,往往會有幾個點的運動是較為相似的,一般是在同一條直線上且在同一曲線上.因此,我們只需研究其中一個點和第三個點的關系,進而得出另一個點與第三個點的關系,亦即同構[1].

例5已知拋物線C:x2=4y,⊙M:x2+(y+4)2=1,若點P在⊙M上,且PA,PB為C的兩條切線,切點分別為A,B,求ΔPAB面積的最大值.

由韋達定理,得x1+x2=2x0,x1·x2=4y0.

1.6 函數和導數方面

函數的同構問題常見于指對混合函數的恒成立或零點問題中,重在觀察和變形,所以技巧性較強.當然這類試題也可以用其他方法完成,那么在這里用同構思想,更多的是提升學生的直觀想象、邏輯推理和數學運算素養[2].

(1)若f(x)≥0,求a的取值范圍;

(2)證明:若f(x)有兩個零點x1,x2,則x1·x2<1.

則等價于a≤ex-lnx+(x-lnx).

令t=x-lnx,則a≤et+t.

易知h(x)的單調遞增區間是(1,+∞),單調遞減區間為(0,1),h(x)≥h(1)=1,即t≥1,易知et+t在t≥1時單調遞增,所以a≤e+1(當t=1即x=1時取“=”.)

所以h′(x)>0,h(x)在x>1時單調遞增,

所以h(x)>h(1)=0.

2 結束語

教育部考試命題專家表示:數學學科高考加強學科核心素養考查,強化數學思想方法的滲透,試卷深入考查關鍵能力,優化試題設計,發揮數學學科高考的選拔功能,助力提升學生的綜合素質.數學核心素養的體現媒介之一就是同構思想,它幾乎貫穿高中階段的各個章節,在每年的高考題中都有體現.同構也是一種對稱美,數學學科不僅深刻嚴謹,同時也給人以美的感受,所以廣大考生應該重視同構思想,找到題中的關鍵點,化繁為簡,在學習過程中注重積累總結,這樣才能在考試中從容不迫,應對自如.