空間直線問題中的一題多解

王利波 徐瑰瑰

摘 要：文章從實例出發，討論了空間解析幾何的直線問題中的一題多解，有利于加強學生對基本概念的理解，有助于培養學生的發散性思維和創新能力.

關鍵詞：直線；平面；方向向量；法向量；方程

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2024）07-0072-04

直線是特殊的曲線，是空間解析幾何中的基本圖形. 空間直線方程常見表示形式有一般式方程、點向式（對稱式）方程、參數方程、截距式方程等，由于其形式多樣，于是求解直線方程的題目就可以從不同角度出發.本文主要介紹了空間直線問題中常見的四類綜合題型，從多角度多側面分析問題，借助向量的數量積、向量積、混合積和直線方程的表示方法，進而得到不同的解題方法.

1 與兩平面平行的直線

例1 求過點（0，2，4）且與兩平面x+2z=1和y-3z=2平行的直線方程.

解法1 （向量積）所給平面的法向量分別為n1=（1，0，2），n2=（0，1，-3），由于所求直線平行于兩平面，則所求直線的方向向量s垂直于所給平面的法向量，即s⊥n1且s⊥n2，于是可取所求直線的方向向量

s=n1×n2=-2i+3j+k［1］.

解法3 （平行平面）

過點（0，2，4）且與平面x+2z=1平行的平面方程為x+2z=8，過點（0，2，4）且與平面y-3z=2平行的平面方程為y-3z=-10［2］.

2 與已知直線垂直相交的直線

解法1 （向量積）由于點B（2，-2，3）在已知

設所求直線的方向向量為s1，則由題意可知

s1⊥s且s1⊥n，故所求直線的方向向量為

s1=s×n=-5i+7j-2k.

即m+n+p=0.①

又由于所求直線與已知直線垂直，則s1⊥s，于是s1·s=0，即3m+n-4p=0.②

則（5，-7，2）可作為所求直線的方向向量.

3 直線在已知平面上的投影直線

解法2 （混合積）設所求直線的方向向量s=（m，n，p），則s=（m，n，p）垂直于所給平面x+y+z=0的法向量n=（1，1，1），

即m+n+p=0.④

即n-p=0.⑤

聯立④和⑤可得m=-2p，n=p，所以所求直線的方向向量可取為（-2，1，1）.

解法4 （平面束方程）過已知直線的平面束方程為

x+y-z-1+λ（x-y+z+1）=0.

即（λ+1）x+（1-λ）y+（λ-1）z+λ-1=0.

該平面與已知平面垂直的充要條件是

（λ+1）·1+（1-λ）·1+（λ-1）·1=0，

解得λ=-1.

于是投影平面方程為y-z-1=0.

4 平行于已知平面且與已知直線相交的直線

解法1 （兩點式方程）設所求直線與已知直線的交點坐標為（-1+t，3+t，2t），則以（-1，0，4）為起點，以（-1+t，3+t，2t）為終點的向量（t，3+t，2t-4）垂直于所給平面的法向量（3，-4，1），則

3t-4（3+t）+2t-4=0，

解得t=16.

解法2 （混合積）設所求直線的方向向量s=（m，n，p），則由題意可知s=（m，n，p）垂直于所給平面的法向量（3，-4，1），則

3m-4n+p=0.⑥

即10m-4n-3p=0.⑦

解法3 （向量積）

過點（-1，0，4）且平行于平面3x-4y+z-10=0的平面方程為

3x-4y+z-1=0，

5 結束語

本文例題雖然解法較多，但是萬變不離其宗，文中都是從基礎知識出發，運用了直線的兩種表示方法.一是點向式方程，這就需要求出直線上一點以及直線的方向向量.通過上面的例題，不難發現，利用點向式表示直線方程的關鍵就是求解直線的方向向量，其求解方法不唯一，但是都是我們教材中講過的數量積、向量積和混合積.所以，在解題過程中，要靈活運用所學知識去求解直線的方向向量.二是一般式方程，這就需要找出直線所在的兩個平面及其方程.求解平面方程的關鍵是尋找平面的法向量，用到的知識依然是向量的數量積、向量積和混合積.

在教學活動中，引入一題多解，不僅可以引導學生從多角度去思考問題，而且可以提高學生的學習興趣，還可以幫助學生學會知識的遷移并靈活運用所學知識去解決問題，進而舉一反三、融會貫通.

參考文獻：

［1］陳淑貞.空間直線方程的解題探討[J].海南師范大學學報（自然科學版），2011，24（3）：348-351.

[2] 王亞南，寇光興.空間直線方程問題的一題多解[J].高等數學研究，2021，24（2）：27-30.