高中數(shù)學(xué)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的三種解題技巧

張家權(quán)

摘 要：文章以高中數(shù)學(xué)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的教學(xué)模塊為例，對(duì)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的三種解題技巧進(jìn)行詳細(xì)分析，讓學(xué)生能夠在更加多元化的教學(xué)體系建設(shè)下獲得更加全面的核心素養(yǎng)發(fā)展.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；函數(shù)與導(dǎo)數(shù)；解題技巧；應(yīng)用探究

中圖分類號(hào)：G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A?? 文章編號(hào)：1008-0333（2024）07-0062-03

關(guān)于函數(shù)的相關(guān)知識(shí)內(nèi)容在初中階段就有過一定的教學(xué)，在高中階段會(huì)以初中內(nèi)容為基礎(chǔ)，為學(xué)生提供更加詳細(xì)和深入的教學(xué).同時(shí)，在新高考環(huán)境下對(duì)于函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)教學(xué)重點(diǎn)也有了一定的變化，新老高考對(duì)于函數(shù)與導(dǎo)數(shù)模塊的考法和測(cè)驗(yàn)內(nèi)容存在一定的差異，同時(shí)也具備一些相同點(diǎn)[1].因此在當(dāng)下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，必須充分結(jié)合新課標(biāo)以及新高考的教學(xué)需求和特點(diǎn)，針對(duì)性地解決函數(shù)與導(dǎo)數(shù)模塊教學(xué)所存在的問題，讓學(xué)生能夠充分掌握本模塊的知識(shí)內(nèi)容以及解題技巧，從而彰顯新課標(biāo)和新高考背景下的教育改革實(shí)效.

1 常見的輔助函數(shù)構(gòu)建方式

1.1 結(jié)合積、商函數(shù)求導(dǎo)法則構(gòu)建函數(shù)

（2）關(guān)于不等式f ′（x）k（x）+f（x）k′（x）＜0（或者＞0），可以構(gòu)建輔助函數(shù)F（x）=f（x）k（x）.

1.2 結(jié)合差、和函數(shù)求導(dǎo)法則構(gòu)建函數(shù)

（1）關(guān)于不等式f ′（x）-k′（x）＜0（或者＞0），可以構(gòu)建輔助函數(shù)F（x）=f（x）-k（x）.

（2）關(guān)于不等式f ′（x）+k′（x）＜0（或者＞0），可以構(gòu)建輔助函數(shù)F（x）=f（x）+k（x）.

（3）關(guān)于不等式f ′（x）＜a（或者＞a）（a≠0），可以構(gòu)建輔助函數(shù)F（x）=f（x）-ax.

1.3 結(jié)合積、商函數(shù)求導(dǎo)法則的特殊情況構(gòu)建函數(shù)

（2）關(guān)于不等式xf ′（x）+f（x）＜0（或者＞0），可以構(gòu)建輔助函數(shù)F（x）=xf（x）.

（4）關(guān)于不等式xf ′（x）+af（x）＜0（或者＞0），可以構(gòu)建輔助函數(shù)F（x）=xaf（x）.

（6）關(guān)于不等式f ′（x）+f（x）＜0（或者＞0），可以構(gòu)建輔助函數(shù)F（x）=exf（x）.

（7）關(guān)于不等式f（x）-f ′（x）tanx＜0（或者＞

（8）關(guān)于不等式f（x）+f ′（x）tanx＜0（或者＞0），可以構(gòu)建輔助函數(shù)F（x）=sin x f（x）.

（10）關(guān)于不等式f ′（x）-f（x）tanx＜0（或者＞0），可以構(gòu)建輔助函數(shù)F（x）=cosxf（x）.

（12）（理）關(guān)于不等式f ′（x）+af（x）＜0（或者＞0），可以構(gòu)建輔助函數(shù)F（x）=eaxf（x）.

2 構(gòu)建具體函數(shù)進(jìn)行解題

面對(duì)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)相關(guān)問題時(shí)，一般會(huì)將題目中所給的函數(shù)解析式直接代入，然后求出不等式的解集.如果在此過程中發(fā)現(xiàn)無法求出解集，或者是求解過程過于困難，那么就可以把解題思路放在構(gòu)建一個(gè)新函數(shù)的方向上.

例1 已知f ′（x）為偶函數(shù)f（x）（x≠0）的導(dǎo)函數(shù)，在x∈（0，+∞）時(shí)，xf ′（x）-2f（x）＞0，那么不等式4f（x+2 021）-（x+2 021）2f（-2）＜0的解集是.

解析 根據(jù)題目可知xf ′（x）-2f（x）>0（x>0）.

因此x2f ′（x）-2xf（x）>0.

因?yàn)?f（x+2 021）-（x+2 021）2f（-2）<0，

因此F（x+2 021）

所以當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，F(xiàn)′（x）>0.

因此F′（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增.

所以|x+2 021|<2，可得-2 023

又因?yàn)閤+2 021≠0，因此x≠-2 021.

故x∈（-2 023，-2 021）∪（-2 021，-2 019）.

設(shè)k（x）=exf（x），則k（-x）=k（x）.

由于當(dāng)x<0時(shí)，f ′（x）+f（x）>0，可得

k′（x）=ex[f ′（x）+f（x）]>0.

因此函數(shù)k（x）在（-∞，0]上單調(diào)遞增，在

[0，+∞）上單調(diào)遞減.

由于ecf（2c+1）≥f（c+1），可得

e2c+1f（2c+1）≥ec+1f（c+1）.

所以k（2c+1）≥k（c+1），|2c+1|≤|c+1|.

3 構(gòu)建抽象函數(shù)進(jìn)行解題

結(jié)合題目所給出的條件構(gòu)建出一個(gè)新的輔助函數(shù)，這是我們?cè)诮獯鸷瘮?shù)與導(dǎo)數(shù)相關(guān)問題時(shí)所應(yīng)用的一種最為關(guān)鍵的技巧.在題干中已經(jīng)告知了一些方程、最值或者是與導(dǎo)數(shù)相關(guān)的訊息時(shí)，就需要以此為基礎(chǔ)構(gòu)建出目標(biāo)函數(shù)，同時(shí)要擬定變量的限制條件.隨后對(duì)函數(shù)最值、單調(diào)性等條件進(jìn)行分析，以此來理清解題思路.

例3 定義在R上的函數(shù)f（x）滿足e4（x+1）f（x+2）=f（-x），同時(shí)對(duì)任意的x≥1都有f ′（x）+2f（x）>0，（f ′（x）是f（x）的導(dǎo)數(shù)），那么下面的敘述中正確的一項(xiàng)為（? ）.

A.e6f（3）>f（-1）

B.e4f（2）>f（0）

C.e2f（3）>f（2）

D.e10f（3）>f（-2）

解析 設(shè)F（x）=e2xf（x），可得

F′（x）=2e2xf（x）+e2xf ′（x）=e2x[2f（x）+f ′（x）].

已知f（x）對(duì)任意的x≥1都有f ′（x）+2f（x）>0，

所以F′（x）>0，那么F（x）在[1，∞）上單調(diào)遞增.

F（x+2）=e2（x+2）f（x+2），F(xiàn)（-x）=e-2xf（-x）.

由于e4（x+1）f（x+2）=f（-x），因此e2xe2（x+2）·f（x+2）=f（-x），且e2（x+2）f（x+2）=e-2xf（-x）.

所以F（x+2）=F（-x）.

可得F（x）關(guān)于x=1對(duì)稱.

因此F（-2）=F（4）.

又因?yàn)镕（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，因此F（3）

所以e6f（3）

也就是說e10f（3）

因?yàn)镕（3）=F（-1），F(xiàn)（0）=F（2），因此選項(xiàng)A，B也都不對(duì)；

因?yàn)镕（3）>F（2），所以e2f（3）>f（2），故選C.

4 抽象問題具體化

解答函數(shù)與導(dǎo)數(shù)相關(guān)問題時(shí)，必須要對(duì)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性做出充分的認(rèn)知，這些知識(shí)貫穿了整個(gè)高中數(shù)學(xué)的教學(xué).因此在解答此類問題時(shí)，必須熟練掌握不同表達(dá)形式的函數(shù)單調(diào)性、奇偶性，在解題過程中充分發(fā)掘其內(nèi)在關(guān)聯(lián)，找到問題的本質(zhì)，將抽象問題具體化.

3）在x∈[1，3]上恒成立，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

解析 根據(jù)題目可得f（x）是偶函數(shù)，同時(shí)在[0，+∞）單調(diào)遞減.

5 結(jié)束語(yǔ)

總的來說，求解函數(shù)與導(dǎo)數(shù)相關(guān)題型的過程中，會(huì)涉及較多的抽象函數(shù)問題，許多學(xué)生因此降低了答題效率和正確性.但是在面對(duì)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)類的問題時(shí)，只要能夠按照題目所給的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)關(guān)系式，聯(lián)想導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，然后以構(gòu)造輔助函數(shù)為基礎(chǔ)，通過導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，就能夠迅速解出這類函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的題目[2].

參考文獻(xiàn)：

［1］楊曄. 高中數(shù)學(xué)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)解題研究[D].昆明：云南師范大學(xué)，2022.

[2] 趙如國(guó).導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)函數(shù)中的解題應(yīng)用分析[J].高考，2018（07）：88.