一道圓錐曲線中直線過定點問題的多角度探究

龔條枝

摘 要：從一道橢圓中直線過定點問題出發，多視角分析、探尋證明問題的思路，歸納總結解決問題的通法及簡化運算的常用策略.

關鍵詞：直線；定點；常用策略

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2024）07-0082-03

圓錐曲線中直線過定點問題往往以壓軸題形式出現，因運算量大，成為大多數考生獲得高分的“攔路虎”.本文從一道具體證明題出發，通過一題多證，并進行解法的比較與選擇，達到拓展學生思維、提高學生分析問題、解決問題的能力.

1 題目呈現

2 解法探析

（1+3k2）x2+6kmx+3m2-3=0.

設B（x1，y1），C（x2，y2），則

△=36k2m2-4（1+3k2）（3m2-3）>0.

即1+3k2>m2.

所以y1y2-y1+y2+1=-x1x2.

又因為y1=kx1+m，y2=kx2+m，

所以（1+k2）·x1x2+k（m-1）（x1+x2）+（m-1）2=0.

代入韋達定理，并整理得（m-1）（2m+1）=0.

證法2 （1）當直線BC斜率為0時，設lBC：y=n，此時lAB：y=x+1，lAC：y=-x+1.

（2）當直線BC斜率不為0時，設lBC：x=my+n.

（m2+3）y2+2mny+n2-3=0.

由△>0得m2（n2+3）>9.

設B（x1，y1），C（x2，

則（m2+1）y1y2+（mn-1）y1+y2+1+n2=0.

代入韋達定理，并整理，得（n+m）（2n-m）=0.

由直線方程的點斜式，得

因為點B（x1，y1），C（x2，y2）在橢圓E上，

所以x21+3y21=3.

所以3x1y2+3x1-x2y1+x2=0.②

所以3x2y1+3x2-x1y2+x1=0.③

所以x1（y2-t）=x2（y1-t）.

交替更換一次有

所以3x1y2-x2y1+3x1+x2=0.④

再交替更換一次得

所以3x2y1-x1y2+3x2+x1=0.⑤

證法7 依題意，直線AB與AC的斜率存在，設lAB：y=k1x+1，即y-k1x-1=0.

lAC：y=k2x+1，即y-k2x-1=0.其中k1k2=-1，直線AB與AC的組合用“雙直線方程”表示為 （y-k1x-1）（y-k2x-1）=0.

觀察圖形易知A，B，C的坐標為該方程的三組解.因為點A（0，1），所以B，C兩點的坐標滿足方程（k1+k2）x+2y+4=0，所以（k1+k2）x1+2y1+4=0，（k1+k2）x2+2y2+4=0.所以直線BC的方程為（k1+k2）x+2y+4=0.

聯立化成關于x′，y′的二次齊次式，得

x′2+（3+6n）y′2+6my′x′=0.

3 結束語

以上九種證明方法從不同視角合理解決問題.教學中應有意識引導學生多角度思考問題，提高學生分析問題、解決問題的能力；拓展解題思路，提升思維品質；重視通解通法，總結和歸納簡化運算的技巧與策略，切實在解析幾何的學習中發展學生的數學運算核心素養.

參考文獻：

［1］彭耿鈴.2021年全國Ⅰ卷理科解析幾何壓軸題的多角度探析[J].數理化解題研究，2022（13）：14-17.