滿約束軸向拼接張拉整體結構的自穩定性分析

劉賀平, 王艷蒙, 曹紫鶯, 羅阿妮, 王焰新

(1.哈爾濱工程大學 機電工程學院, 黑龍江 哈爾濱 150001; 2.上汽通用汽車汽車有限公司武漢分公司, 湖北 武漢 430208)

張拉整體結構是由受拉索構件相互連接形成的索網結構被離散的受壓桿構件從內部撐起所形成的一種自應力空間結構[1-3]。張拉整體結構以柔性構件為主,剛性構件不直接接觸,結構整體具有一定的彈性[4-6],其剛度也可以通過改變個別構件的張緊程度來調節[7]。構件運動耦合度高,可以通過少數構件驅動整體運動。結構中不存在傳統的運動副形式,構件間位姿變化更為靈活[8]。

目前,許多研究人員正在嘗試將張拉整體結構轉化為機構[5,9-10],以獲得更多機構構型,完成傳統機械無法實現的功能。在將張拉整體結構轉化為機構時,研究人員更趨向于對稱性好、構件分布更為規則的張拉整體結構作為研究對象[11],以減小設計、加工和控制難度。利用張拉整體單元或者小的剛性結構拼接形成更為復雜的張拉整體結構是張拉整體結構主要構型方法之一,也易于保證構建結構的對稱性[12]。杜紋娟[13]對基于張拉整體的可變結構體機器人進行了研究,對張拉整體結構構型做了選擇與結構參數優化。馬瑞嘉等[14]對張拉整體式高聳結構進行優化研究,是張拉整體在豎直方向上的一種應用。袁行飛等[15]對環形張拉整體結構進行應用研究,豐富了張拉整體結構形式及其應用。王雅峰等[16]采用混合整數規劃的方法對張拉整體進行拓撲找形研究。袁行飛等[17]對大跨度張拉整體式穹頂進行了研究分析,為張拉整體結構在大跨度空間結構領域應用提供基礎。王征[18]對張拉整體結構的找形和穩定性進行了分析研究。李冰玉等[19]設計一種基于張拉整體結構的連續型機械臂,此機械臂是由多個類似剪式鉸單元拼接而成,外附繩索以起到加固等作用。張晨陽[20]提出了一種張拉整體式伸展臂,此伸展臂是由多個三桿張拉整體單元軸向拼接而成。

拼接方式形成復雜張拉整體結構,由于其結構對稱性好,探索保證結構穩定的參數關系,有助于獲得更多構型和拓撲結構。本文將基于結構的平衡方程,以一種新型的滿約束張拉整體軸向拼接結構為對象,研究保證張拉整體拼接結構自穩定的參數關系的獲取方法。

1 張拉整體基本單元

三桿張拉整體單元是張拉整體結構的基礎[21],此單元可以拓撲為具有更多桿構件的張拉整體單元[22],也可以通過拼接,形成更復雜結構的張拉整體結構[23]。

三桿張拉整體基本單元如圖1所示,圖1中粗線表示桿構件,細線表示索構件。此結構包括3根桿和9條索,上下端面所在平面平行,上下端面形心連線(即結構軸線)垂直兩端面,同一端面3根索構件圍成正三角形。設此三桿張拉整體單元的上端面圓周半徑為ru、下端面圓周半徑為rd、端面間高度為h。索構件分為3類,即上端面水平索、下端面水平索、連接兩端面節點的斜索。設上下端面的相位角為φ,稱此角為單元內扭轉角(這一角度為任意一根桿構件的2個端點在底面上的投影與底面圓心的連線夾角)。

圖1 張拉整體基本單元結構簡圖Fig.1 Structural diagram of tensegrity basic unit

2 滿約束軸向拼接張拉整體結構

2.1 軸向拼接

利用張拉整體單元軸向拼接形成的結構如圖2所示,拼接時相鄰單元的桿構件旋向相反,即單元內轉角相加為360°,目的是當結構受到軸向力時,各單元的轉動會抵消,從而使結構兩端面間不會發生相互轉動,相鄰2個單元在軸向有一定的重疊交錯以保證2個單元之間固定的穩定可靠。如圖2所示,與單個單元相比,下單元的上水平索和上單元的下水平索被去除,重新連接,稱重新連接后的索構件為鞍索(即索n4n7、n5n8、n6n9、n7n5、n8n6和n9n4),同時也添加了連接2個單元的索構件,即附加索(索n1n8、n2n9、n3n7、n6n10、n4n11和n5n12)。

圖2 2個三桿張拉整體單元軸向拼接結構Fig.2 Axial splicing structure of two three bar tensegrity units

這樣的拼接方式能夠使張拉整體單元牢固穩定以形成一個整體,但是在分析計算保證結構穩定的參數條件時也存在節點約束過多的問題。

2.2 滿約束拼接

以圖2所示結構的n5點為例,連于此節點處有1根桿構件和4根索構件。一個節點上受到5個構件施加5個力作用來達到平衡,此節點屬于過約束,利用力平衡方程求解構件內力是多解的。

為了減小節點受力過約束數目,采用減少固定于節點的構件數來實現滿約束拼接(節點非過約束)。

張拉整體結構的索構件都位于結構表面,節點n5連接4根索構件的內力的合力會有將此節點向結構內部拉的趨勢,而桿構件施加向外支撐力以平衡此節點,因此,連于此節點上的桿構件的作用其他構件無法替代,不能去除。連于此節點的鞍索和附加索,都是起到將2個相鄰單元連接固定在一起的作用,只有斜索是屬于一個單元內部的,而且附加索也可以提供斜索施加于此節點的軸向力,因此這里嘗試將斜索去除以獲得新的穩定構型。

去除斜索后,圖2所示結構的每個節點上只連有3根索構件,利用節點力平衡方程,可以建立每個節點的索構件內力與桿構件內力的關系式,這里稱此無斜索結構為滿約束結構。

3 滿約束軸向拼接構型分析

3.1 滿約束結構節點廣義坐標矩陣

根據相鄰2個單元的單元內轉角的關系,可以形成圖3所示的2種滿約束結構。圖3(a)所示結構的上下2個單元的單元內扭轉角φ相等,圖3(b)所示上下單元的單元內轉角φ互為相反數(或2個單元內轉角和為360°),拼接的2個單元的端面半徑和高度都相同。圖3(c)中,θ為上下2個單元之間的單元間轉角(即2個單元間的相位角,節點n7與節點n1在底面投影與原點連線之間的夾角),φ為單元內轉角(節點n4與節點n1在底面投影與原點連線之間的夾角,即單元上下端面間相位角,圖3(c)所示為下單元的單元內轉角),α為下單元上端面起點n4與上單元下端面起點n7在底面投影與原點連線之間的夾角,3個角滿足θ=φ+α。

圖3 滿約束軸向拼接結構Fig.3 Fully constrained axial splicing structure

以圖3(a)所示結構為例,基于節點受力平衡,分析保證此類結構穩定時需要滿足的結構參數關系。

圖3所示的滿約束張拉整體結構的每個節點只連接1根桿構件,所有構件只承受軸向力,即每個構件的內力與構件向量相同,因此建立平衡方程需要首先確定構件向量。構件向量由構件端點確定,下面首先計算各節點坐標。

結構第1層節點坐標可計算為:

(1)

式中r1為節點所在第1層端面圓半徑。

第2層節點坐標的計算公式為:

(2)

式中:φ為單元內轉角;r2為節點所在第2層端面圓半徑。

第3層節點坐標列向量的表達式為:

(3)

式中:θ為單元間轉角;重疊率k為兩單元之間重疊部分與單元高度的比值;r3為節點所在第3層端面圓半徑。

第4層節點坐標可計算為:

i∈{10,11,12}

(4)

式中r4為節點所在第4層端面圓半徑。

該滿約束結構的節點矩陣可表示為:

(5)

3.2 滿約束結構構件連接矢量矩陣

圖3(a)所示結構的桿構件與節點連接關系如表1所示。

表1 滿約束結構桿構件與節點連接關系Table 1 Connection relationship between member and node of fully constrained structure

桿構件矢量矩陣可表示為:

(6)

(7)

如前所述,圖3(a)所示滿約束結構的索構件分水平索、鞍索和附加索3類。水平索與節點間的關系如表2所示。

表2 水平索與節點的連接關系Table 2 Connection relationship between horizontal cable and node

水平索矢量矩陣可表示為:

(8)

(9)

鞍索與節點的連接關系如表3所示。

表3 鞍索與節點的連接關系Table 3 Connection relationship between saddle cable and node

鞍索矢量矩陣SII可表示為:

(10)

(11)

附加索與節點的連接關系如表4所示。

表4 附加索與節點的連接關系Table 4 Connection relationship between additional cable and node

附加索矢量矩陣可表示為:

(12)

(13)

滿約束結構所有索構件矢量矩陣可表示為:

(14)

(15)

3.3 滿約束結構力平衡分析

滿約束結構任意一個節點都連接3根索構件和1根桿構件,每個節點受到4個構件內力作用。桿構件的內力可表示為:

|FBi|=λi·|bi|

(16)

式中:FBi為第i根桿的內力;λi為第i根桿的桿構件力密度。

將桿構件的內力分配于各節點后形成桿構件力矩陣:

(17)

式中λ為桿構件力密度矩陣。

(18)

同理,將所有索構件的內力分配于節點形成索構件力矩陣:

(19)

式中:索構件力密度矩陣γ同桿構件力密度相似是個18×18方陣,對角線元素依次為各索構件力密度,其余元素為0。

結構穩定時,其各節點上所受合力為0,即:

(20)

4 滿約束軸向拼接結構自穩定性實例分析

4.1 方式一

式(20)為基于節點力平衡所建立的整個結構的力平衡方程,通過此方程的求解來獲得結構平衡時參數之間的關系。由于式(20)較為復雜,求解難度大,而且平衡方程系數矩陣(即平衡矩陣)也不是方陣。為減小求解難度,將平衡矩陣轉化為方陣,這里將平衡方程進行縮減。由圖3可知,滿約束結構的每個節點上連有3根索和1根桿,即一個節點力平衡分析時,所建立的以力密度為未知量的平衡方程中應該含有4個未知量,這樣獲得平衡矩陣的維數為3×4,不是方陣,求解難度大。圖3所示結構的上下端面的水平索長度相同,結構的構件內力分布均勻也是結構自穩定的重要保障,即同類構件的內力相同或相差較小,如果這里設同一端面的水平索內力相同,則選擇位于上下端面的一個節點列寫平衡方程,也可以獲得3×3的平衡矩陣。選擇2個節點列寫力平衡方程時,如果2個節點共用一根索,平衡方程中的力密度未知量為7個,如果其中一個節點位于上下端面,力密度未知量將縮減為6個,也可獲得形為方陣的平衡矩陣。選擇2個節點時,這2個節點應該位于不同單元,這樣才能獲得與拼接相關的參數關系。通過選擇位于上下端面上一個節點列寫平衡方程并求解發現,所獲得的行列式表達式無解,因此下面將選擇2個節點列寫平衡方程。

首先,由圖3可知,節點n4和節點n11分別是下單元的上端面節點和上單元的上端面節點,而且這2個節點通過一根附加索相連,這里只保留式(20)中節點n4和n11受力平衡所列出的6個平衡方程,則式(20)縮減為:

(21)

式中:W為平衡矩陣,由W1、W2、W3、W44部分組成。

式(21)存在非零解的條件為系數矩陣W的行列式值為0,可獲得:

(22)

式(22)只包含了單元內轉角φ、單元間轉角θ和重疊率k,即此類結構的穩定性只和這3個參數有關。根據式(22)繪制的3個參數之間的關系曲面如圖4所示。由圖4可知,這3個參數的關系較復雜,無法體現明確的對應關系,但可以獲得一些趨勢。當下單元的單元內轉角φ∈[60°,65°]時,有滿足式(22)的幾個柱狀尖點;當α∈[0°,60°]時,隨著單元內轉角φ∈[0°,60°]增大時,重疊率k先減小后增大。當α∈[0,90°]時,隨著單元內轉角φ∈[70°,180°]增大時,重疊率k先減小后增大。

圖4 構型參數函數關系三維圖Fig.4 Three dimensional diagram of configuration parameter function relationship

根據式(22),取α=70°,φ=150°,得到k=0.461 2。將這3個數據代入節點坐標計算公式,獲得構件向量。依據節點矩陣和構件向量所確定的滿約束結構的簡圖和實物模型圖如圖5所示,并由實物模型可知,此結構是自穩定的。由平衡方程計算獲得各構件內力如表5、6所示。由表5、6可知,同類構件內力相同,內力數值相近,力分布均勻,這也是保證此結構能夠穩定的重要條件。由此實例分析可以證明,本文提出的構型、分析建立平衡方程的方式、對平衡矩陣的縮減和求解方式正確,也證明應用此方法可以獲得穩定構型。

表5 各桿構件內力值Table 5 Internal force value of each bar member

表6 各索構件內力值Table 6 Internal force value of each cable member

圖5 理論模型與實物模型Fig.5 Theoretical model and physical model

4.2 方式二

在第2節中,根據縮減原則,選擇節點n4和節點n11列寫平衡方程。下面依據縮減原則,選擇連于一根附加索,分別位于2個單元下端面的節點n3和n7進行節點力平衡方程的縮減,對縮減原則的正確性進行進一步驗證。依據列寫的平衡方程獲得的平衡方程系數矩陣為:

按照方程有非零解,系數矩陣行列式值為0的原則,獲得關系式:

(23)

式(23)體現了單元內轉角φ,單元間轉角θ和重疊率k的函數關系,此類結構穩定性只與這3個參數有關,根據式(23)繪制的3個參數之間的關系曲面如圖6所示。

圖6 構型參數函數關系三維圖Fig.6 Three dimensional diagram of configuration parameter function relationship

由圖6可知,3個參數關系較復雜,體現不出明確的對應關系,仍可以獲得相關一些趨勢,當單元的單元內轉角φ∈[0°, 80°],隨著扭轉角α∈[70°, 90°]增大時,重疊率k先減小后增大。當扭轉角α∈[0°, 40°],隨著單元內轉角φ∈[0°, 60°]增大時,重疊率k有增大趨勢。當扭轉角α∈[0°, 30°],隨著單元內轉角φ∈[70°, 140°]增大時,重疊率k先減小后增大。當單元間轉角φ∈[160°, 180°],隨著扭轉角α∈[30°, 90°]增大時,重疊率k先減小后增大。

根據式(23),取α=40°,φ=150°,得到k=0.279 1。將這3個數據代入節點坐標計算公式,獲得構件向量。依據節點矩陣和構件向量所確定的滿約束結構的簡圖和實物模型如圖7所示,由實物模型可知,此結構是自穩定的,各構件內力如表7、8所示。由表7、8可知,同類構件內力相同,內力數值相近,力分布均勻,這是保證此結構能夠穩定的重要條件。該實例可證明:本文提出的構型、分析建立平衡方程的方式、對平衡矩陣的縮減和求解方式正確,也證明應用此方法可以獲得穩定構型。

表7 各桿構件內力值Table 7 Internal force value of each bar member

表8 各索構件內力值Table 8 Internal force value of each cable member

圖7 理論模型與實物模型Fig.7 Theoretical model and physical model

圖3(b)所示上下單元內轉角φ互為相反數的滿約束張拉整體結構,基于節點力平衡建立整個結構的力平衡方程,將相應節點平衡方程進行縮減,計算方程系數矩陣行列式值,求解構型參數關系式無解,此方法無法求解出此類滿約束結構構型參數,無法獲得穩定構型。

5 結論

1)本文提出了一種依據平衡方程獲得張拉整體結構穩定構型的方法。張拉整體結構自穩定時,其以力或力密度為未知量的平衡方程存在非零解,即當平衡矩陣為方陣時,其行列式為0,分析可知,該方法可以獲得滿足張拉整體結構自穩定的結構參數關系,依據此關系可獲得自穩定張拉整體結構;

2)本文提出一種平衡方程縮減方法,該方法通過少量節點坐標可以建立方陣形式平衡矩陣的平衡方程,實例證明該方法具有一定可行性;

3)將軸向拼接張拉整體結構的斜索去除,形成了滿約束張拉整體結構,該結構的構件數目減小,節點過約束問題消除,通過搭建實物模型驗證此結構具有自穩定性,該構型是一種全新的張拉整體構型,為張拉整體軸向拼接提供新的思路。