微重力條件下復雜等離子體中激光誘導馬赫錐的三維模擬*

黃渝峰 賈文柱 張瑩瑩? 宋遠紅

1) (大連理工大學物理學院,三束材料改性教育部重點實驗室,大連 116024)

2) (西南大學人工智能學院,重慶 400715)

基于三維流體力學模型,研究了微重力條件下復雜等離子體中不同耦合參數形式、屏蔽參數、塵埃粒子表面帶電量以及等離子體密度對激光誘導塵埃擾動密度形成馬赫錐的影響情況.模擬發現,當屏蔽參數較大時,不同的耦合參數形式對塵埃顆粒擾動密度產生較大影響.此外,激光輻射力平行或者垂直激光移動速度時,馬赫錐在三維空間中呈對稱或反對稱形貌.并且,增大屏蔽參數、減小塵埃粒子表面帶電量、減小等離子體密度,都會增強塵埃粒子之間的庫侖屏蔽作用,進而使塵埃擾動密度形成的馬赫錐更加局域在激光斑點附近,表現為擾動范圍縮小,而擾動密度值增大.

1 引言

塵埃顆粒廣泛存在于星際空間、等離子體刻蝕機的放電腔室,甚至磁約束核聚變的實驗裝置中,這種含有大量帶電塵埃顆粒(直徑約10-6m、質量約10-13kg、帶電量103e—105e)的等離子體系統,稱為復雜等離子體,或者塵埃等離子體[1-3].

在地面實驗條件下,塵埃粒子在等離子體中由于受重力、電場力、離子拖拽力、中性粒子拖拽力以及熱泳力等共同作用,在鞘層邊界處達到平衡.對于半導體芯片加工,例如等離子體沉積、刻蝕等工藝過程,懸浮的塵埃顆粒會造成嚴重的污染問題.相比之下,在微重力條件中,塵埃粒子在等離子體中除了不受重力外,還受到其他幾種力的共同作用,使其彌散在整個空間中[4].為了觀察和診斷等離子體性質,人們寄希望于通過記錄塵埃粒子的運動來反映等離子體的變化,進而避免使用探針等診斷手段對等離子體的干擾.為此人們想盡各種方式使塵埃粒子運動,其中包括試探粒子[5-7]、激光束[8]或者外加磁場[9,10].

我們知道,假設某一聲源的運動速度超過其所在媒介的聲速時,聲源總是快于擾動聲波的傳播,于是聲波傳播的軌跡就形成了以聲源為頂點的圓錐面,稱為“馬赫錐”.在微重力條件下,當一聲源(通常為試探粒子)在三維復雜等離子體中高速運動時,會使懸浮的塵埃顆粒擾動并在空間中產生一“V”型的馬赫錐[5,11].類似地,Melzer 等[8]和Nosenko 等[12]在地面實驗室條件下分別實現了不同形式的激光輻射力誘導塵埃顆粒產生馬赫錐.隨后,采用分子動力學模型[13]和流體力學模型[14]很好地再現了實驗結果.大連理工大學宋遠紅研究組[15]和王友年研究組[16]采用流體塵埃模型建立了塵埃顆粒在等離子體中的空間密度分布,并采用二維流體力學模型[17-19]研究了地面塵埃等離子體中馬赫錐產生的物理機理.他們發現,塵埃顆粒馬赫錐形貌的變化,不僅能反映擾動聲源的速度大小,還能說明等離子體性質的變化情況,這里假設塵埃等離子體為理想的單組分等離子體(onecomponent plasmas)[20,21],即只存在一種離子與均勻分布的電子.

為了研究微重力條件下復雜等離子體的性質,顯然需要建立三維理論模型反映塵埃顆粒的空間變化情況.盡管塵埃顆粒的集體行為表現出明顯的流體性質,但是隨著研究的深入,塵埃粒子與粒子之間的相互作用將對塵埃顆粒的集體行為產生重要影響[5].帶電塵埃顆粒之間的相互作用,通常由兩個參數決定: 屏蔽(screening)參數κ=d/λD和耦合(Coulomb coupling)參數Γ[22,23].其中d為塵埃粒子之間的平均間距(又稱Wigner-Seitz 半徑),λD為等離子體的德拜長度.κ反映的是粒子電場的有效作用范圍[24].耦合參數Γ是指塵埃粒子的平均庫侖勢能和平均熱動能之比.一般認為,Γ ＜1為弱耦合等離子體,系統接近于氣相,Γ≥1為強耦合等離子體,系統處于液相或者固相[25,26].關于Γ的具體形式,人們通常采用經驗公式,接下來詳細討論.在早期的研究中,為了簡便人們大多假設塵埃等離子體為單組分等離子體,這時耦合參數形式為

而對于非單組分等離子體來說,Ikezi[27]提出必須考慮塵埃粒子之間的庫侖屏蔽作用:

(1)式可以看作(2)式在λD →∞或者κ=0 極限條件下的情況.盡管(2)式得到廣泛的應用[28-30],但是在隨后的研究中人們發現,具有相同耦合參數的系統,應具有相同或者相似的物理性質,而利用(2)式卻得出不同的結果.例如,當Γ′=120 時,得到系統或處于液相,或處于固相[22],其物理性質并不唯一.因此,一個更加有效的耦合參數形式被提出[23,31,32]:

Vaulina 等[23]指出,利用(3)式得到的結果不但彌補了(2)式的缺點,并且在屏蔽參數滿足κ≤5[30,33]的條件下,(3)式中耦合參數隨κ的變化趨勢與分子動力學模擬和蒙特卡羅模擬得到的結果均具有很好的一致性[34,35].

關于復雜等離子體中激光誘導馬赫錐現象的研究,Hou 等[14]基于(1)式的耦合參數采用二維流體力學模型研究了馬赫錐形貌隨著馬赫數、放電氣壓等條件的變化.本文采用三維流體力學模型,詳細討論了在微重力條件下,耦合參數分別采用(1)式、(2)式和(3)式三種不同的形式,屏蔽參數κ對激光誘導塵埃顆粒馬赫錐的影響,并研究了不同擾動方向、塵埃表面帶電量、等離子體密度等參數對馬赫錐形貌的影響情況.

2 模型介紹

在復雜等離子體的空間中建立三維直角坐標系R={x,y,z},塵埃顆粒的密度和速度分別用nd0(x,y,z)和ud0(R,t)表示.假設一快速移動的激光束對塵埃顆粒只產生一微小擾動,由于塵埃粒子的運動速度遠遠小于電子和離子的運動速度,所以在塵埃粒子運動過程中,電子和離子有充足的時間達到局域熱平衡,因此電子和離子都滿足Boltzmann 分布,ne=ne0+,ni=ni0+成立,ni0和ne0分別為激光束作用在塵埃等離子體之前等離子體的離子數密度和電子數密度.對三維流體力學方程進行線性化處理并保留到一階項,得到擾動后的三維流體力學方程為

nd1,ud1,?1分別表示擾動的塵埃密度、速度及擾動電勢,其中ud1=ud0.Zd為塵埃粒子所帶電荷量,md為塵埃粒子質量,e為單位正電荷電量.γ為Epstein 拖拽系數[36],由塵埃粒子與中性氣體分子的碰撞產生,實際上其主要由等離子體的放電氣壓決定[14,19].FL為塵埃粒子受到的激光輻射力.Fint為塵埃粒子之間相互作用產生的內力[25,37],與耦合參數有關:

其中E(Γ*) 為系統的內能,有E(Γ*)=-0.89Γ*+0.95(Γ*)1/4+0.19(Γ*)-1/4-0.81[28].Td為塵埃粒子溫度.為了討論方便,耦合參數統一用Γ*=Γfj(κ)表示,其中j=1,2,3,分別對應(1)式、(2)式、(3)式,即:f1(κ)=1,f2(κ)=exp(-κ),f3(κ)=

對三維流體力學方程進行傅里葉變換,由(4)式、(5)式、(6)式可得擾動的塵埃密度為

其中k={kx,ky,kz},k2=.復雜等離子體的介電函數為

復雜等離子體中的聲波色散關系為

關于激光輻射力的表達式,參照文獻[14],假設激光光斑在三維空間滿足高斯分布,其形式經過傅里葉變換后:

其中f0為激光輻射力強度.

當激光輻射力FL與激光移動速度vL平行時,即假設FL及vL均沿z軸方向,此時,,反傅里葉變換后(9)式變為

3 結果與討論

在本文中,參照微重力條件下復雜等離子體的實驗研究[5,11,33],本文的基本參數選取如下: 等離子體的電子溫度kTe=3eV,中性粒子溫度kTn=0.03eV,離子溫度kTi=0.1 eV.由以上參數及等離子體密度,可得德拜長度在幾十到幾百微米之間,和微重力條件下的實驗工作[5,11,33]相符.塵埃溫度與耦合參數有關.塵埃粒子密度、半徑及質量分別為ρd=1.5 g/cm3,rd=4.5 μm和md=5.7×10-10g.放電氣壓為5 Pa.馬赫數Ma=2,即vL=2vs.激光輻射力強度f0=5.0×10-14N,a=b=c=3λD.未擾動的塵埃粒子密度nd0與Wigner-Seitz 半徑有關,有=1.屏蔽參數κ,塵埃表面電荷量Zd及等離子體密度ne為可變參數.

圖1 給出當FL//vL時,塵埃表面電荷量Zd=4000e,電子密度ne=109cm-3時,不同屏蔽參數κ=2,1,0.5 和不同耦合形式f1(κ),f2(κ),f3(κ) 對激光誘導塵埃顆粒擾動密度nd1/nd0的影響情況.首先,由圖1(a)可知,當κ=2 時激光對塵埃顆粒的擾動僅在激光斑點附近,使擾動密度nd1的值大于未擾動密度nd0.隨著屏蔽參數減小,擾動密度數值減小,并出現明顯的尾流振蕩現象,如圖1(b),(c)所示.這是由于當κ較大時,塵埃粒子與粒子之間的有效間距較大,粒子之間的庫侖屏蔽效應增強、關聯作用減小,激光對塵埃顆粒的擾動較局域.另外,當κ=2 時三種耦合參數形式f1(κ),f2(κ),

圖1 假設 FL//vL 時, Zd=4000e , ne=109 cm-3,屏蔽參數分別為(a)κ=2,(b) κ=1和(c) κ=0.5,耦合參數形式分別為 f1(κ) , f2(κ) , f3(κ),塵埃粒子擾動密度nd1/nd0(用 nd0 無量綱)隨著z 軸的變化情況,其中 x=0,y=0Fig.1.The laser-induced perturbed density nd1/nd0 dependent on the axial position z,for different screening parameters: (a)κ=2;(b) κ=1;and (c) κ=0.5,and different coupling parameters: f1(κ) , f2(κ),and f3(κ),with Zd=4000e, ne=109 cm-3,and FL//vL .

f3(κ)對應的擾動密度曲線區別最為明顯,不僅擾動密度幅值發生變化,形貌也明顯不同.f2(κ) 條件下擾動密度更加局域在激光斑點附近,如圖1(a)中紅線所示.這說明對于較大的κ,f2(κ) 的形式強化了塵埃粒子之間的庫侖排斥作用.由圖2 中Γ*隨著κ的變化情況,也能發現f2(κ) 形式下耦合參數Γ*隨著κ增加減小得最快.當κ接近5 時,f2(κ)對應的塵埃等離子體已趨于弱耦合等離子體(Γ*→1),即氣相狀態,這與實際情況并不相符[23].此外,由圖1(b)和圖1(c),以及圖2 可知,隨著κ減小,三種形式對應的擾動密度曲線之間的區別逐漸不明顯,當κ →0 時三條曲線基本重合.這說明對于單組分等離子體(κ →0)來說,不同耦合參數形式對塵埃顆粒之間的相互作用影響不大.然而,對于非單組分等離體(κ ＞0)來說,不得不考慮塵埃粒子之間的庫侖相互作用,公式f3(κ) 對應的耦合參數形式顯得更加有效.因此,在接下來的模擬中,均采用公式f3(κ) 的耦合參數形式,即(3)式.

圖2 假設 FL//vL 時, Zd=4000e , ne=109 cm-3,三種形式 f1(κ) , f2(κ) , f3(κ) 條件下,耦合參數 Γ* 隨著屏蔽參數 κ 的變化曲線Fig.2.The coupling parameter Γ* change versus the screening parameter κ for the three forms f1(κ) , f2(κ),f3(κ),with Zd=4000e, ne=109 cm-3,and FL//vL .

在耦合參數f3(κ) 形式下,圖3 和圖4 分別給出當FL和vL均沿+z軸方向,以及FL沿+x軸方向、vL沿+z軸方向時,不同屏蔽參數κ對激光誘導塵埃顆粒擾動密度nd1/nd0(用nd0無量綱)形成三維馬赫錐的影響情況.其中圖3(a)、圖3(c)和圖3(e)是x-z平面(y=0 截面)的情況,圖3(b)、圖3(d)和圖3(f)是x-y平面(z=-30 截面)的情況.塵埃表面電荷量以及電子密度值分別為Zd=4000e,ne=109cm-3.在微重力條件下,由圖3 和圖4 可知,擾動密度沿著激光移動速度方向,以激光斑點為頂點,在三維空間中形成 “V” 形馬赫錐或者由多個馬赫錐組成的多錐立體結構.塵埃顆粒擾動密度多錐結構的形成是由塵埃等離子體的色散關系決定的.由色散關系式(11)式可知,塵埃聲波的相速度vs=ω/k并不是常數,而是隨著波數的變化而變化[38].因此,當激光移動速度一定時,可誘導出多個馬赫錐.并且,馬赫錐的多錐結構受拖拽系數的影響較大,當拖拽系數較強時(即放電氣壓較大),馬赫錐衰減的較快,這主要是由于中性氣體的摩擦力造成的,關于該方面的工作前人做了大量研究[14,17,19,29].我們還發現,當激光輻射力與激光移動速度平行時,擾動密度形成的馬赫錐關于z軸完全對稱(如圖3),而當激光輻射力與激光移動速度垂直時,擾動密度關于z軸反對稱(如圖4),其中在x=0 平面,擾動密度數值為0,這主要是由于激光擾動方式的不對稱造成的.此外,在三維空間中,我們還能明顯的觀察到,κ越大,激光對塵埃顆粒的擾動范圍越小,擾動密度數值則越大,由圖3 和圖4(b),(d),(f)可知.關于以上現象的原因,可以用塵埃等離子體頻率來解釋.在其他參數不變的情況下,κ越大,說明塵埃粒子數密度nd0越小,塵埃運動特征頻率ωpd=越小,即塵埃粒子聲速vs越小,當激光移動速度較大時,塵埃粒子來不及響應激光移動速度,因此激光擾動范圍較局域.

圖3 假設 FL//vL 時,在 Zd=4000e , ne=109 cm-3 條件下,塵 埃粒子擾動 密度 nd1/nd0(用 nd0 無量綱)(a),(c),(e) x-z 平面(y=0) 形成的馬赫錐;(b),(d),(f) x-y 截面(z=-30)形成的三維對稱結構.其中屏蔽參數分別為(a),(b) κ=2,(c),(d)κ=1和(e),(f)κ=0.5Fig.3.Mach cones by the laser-induced perturbed density nd1/nd0 in the (a),(c) (e) x-z plane (y=0) and (b),(d),(f) plane x-y (z=-30),for different screening parameters (a),(b) κ=2,(c),(d) κ=1,and (e),(f) κ=0.5,with Zd=4000e, ne=109 cm-3,and FL//vL .

圖4 當 FL⊥vL 時,在 Zd=4000e , ne=109 cm-3 條件下,塵埃粒子擾動密度 nd1/nd0(用 nd0 無量綱)在(a),(c),(e) x-z 平面(y=0) 形成的馬赫錐,以及在(b),(d),(f) x-y 截面(z=-30)形成的三維結構,屏蔽參數分別為 (a),(b) κ=2,(c),(d) κ=1 和(e),(f)κ=0.5Fig.4.Mach cones by the laser-induced perturbed density nd1/nd0 in the (a),(c),(e) x-z plane (y=0) and (b),(d),(f) plane x-y(z=-30),for different screening parameters (a),(b) κ=2,(c),(d) κ=1,and (e),(f) κ=0.5,withZd=4000e,ne=109 cm-3,and FL⊥vL .

除了屏蔽參數對等離子體頻率有重要影響外,塵埃顆粒表面的電荷量Zd也能影響等離子體頻率,進而影響塵埃粒子之間的相互作用.圖5 給出不同的塵埃表面電荷量對激光擾動密度nd1/nd0(用nd0無量綱)在x-z平面(y=0)形成馬赫錐的影響情況,此時屏蔽參數κ=1,電子密度ne=109cm-3.當Zd=1000e時,激光擾動僅在激光斑點附近,隨著Zd增加,多錐組成的馬赫錐結構逐漸明顯,同時擾動范圍擴大,擾動密度數值減小.這主要是由于Zd增加了塵埃等離子頻率,使塵埃顆粒可快速響應激光移動速度,因此塵埃擾動范圍較大.

圖5 當 FL//vL 時,在 κ=1, ne=109 cm-3 條件下,激光誘導塵埃粒子擾動密度 nd1/nd0(用 nd0 無量綱)在x-z 平面( y=0)上形成的馬赫錐,塵埃表面電荷量分別為(a)Zd=1000e ;(b) Zd=2000e ;(c) Zd=4000e ;(d)Zd=6000eFig.5.Mach cones by the laser-induced perturbed density nd1/nd0 in the x-z plane ( y=0),for different charge on each dust particle: (a)Zd=1000e ;(b) Zd=2000e ;(c) Zd=4000e ;(d) Zd=6000e,with κ=1, ne=109 cm-3,and FL//vL .

圖6 給出等離子體的電子密度ne對塵埃擾動密度nd1/nd0的影響情況,這里屏蔽參數κ=2,塵埃表面電荷量Zd=4000e.我們發現,等離子體電子密度對馬赫錐的影響情況,與塵埃顆粒表面電荷量的影響情況類似: 隨著等離子體電子密度增加,激光誘導產生馬赫錐擾動范圍擴大,擾動密度幅值減小.這主要是由于等離子體密度對德拜長度的影響造成的,等離子體密度越大,德拜半徑越小,當κ保持不變時,粒子之間的平均間距(即d)減小,因此塵埃粒子之間關聯相互作用變強,同時反映了粒子之間庫侖屏蔽作用減小.值得注意的是,馬赫錐形貌和圖5 中的有所不同: 擾動密度不僅在激光移動方向(z軸方向)上有振蕩,在垂直激光移動方向(x軸方向)似乎也存在振蕩,從圖6(c)和圖6(d)中能觀察到.而對于較小的屏蔽參數條件下則不會出現x軸振蕩的情況.這主要是由于激光誘導塵埃密度形成的馬赫錐大多為壓縮波(縱波)馬赫錐[14],即塵埃粒子運動方向平行于波的傳播方向.對于較大的屏蔽參數下,塵埃粒子之間的關聯作用減弱,庫侖屏蔽效應增強,當德拜長度越小(即等離子體密度較大)時,馬赫錐的縱波特點就更加明顯.

圖6 當 FL//vL 時,在 κ=2, Zd=4000e 條件下,激光誘導塵埃粒子擾動密度 nd1/nd0(用 nd0 無量綱)在x-z 平面( y=0)上形成的馬赫錐,等離子體密度分別為 (a)ne=108 cm-3 ;(b) ne=109 cm-3 ;(c) ne=5×109 cm-3 ;(d)ne=1010 cm-3Fig.6.Mach cones by the laser-induced perturbed density nd1/nd0 in the x-z plane ( y=0),for different plasma densities:(a)ne=108 cm-3 ;(b) ne=109 cm-3 ;(c) ne=5×109 cm-3 ;(d) ne=1010 cm-3,with κ=2, Zd=4000e,and FL//vL .

4 結 論

本文通過建立三維流體力學方程,研究了微重力條件下復雜等離子體中激光誘導塵埃顆粒擾動密度形成的馬赫錐現象.模擬發現,屏蔽參數通過影響塵埃粒子之間的相互作用,對馬赫錐的形貌產生較大影響.屏蔽參數值越大,塵埃粒子之間的庫侖屏蔽越強,塵埃顆粒擾動密度形成的馬赫錐越局域,使擾動密度在三維空間中集中在激光斑點附近,表現在擾動范圍變小擾動密度數值變大.并且,當屏蔽參數較大時,對于三種經驗的耦合參數公式

馬赫錐形貌有一定變化,其中在第三種耦合參數形式下,模擬結果較符合理論預期.此外,通過模擬激光輻射力與激光移動速度平行和垂直兩種情況,發現激光誘導馬赫錐的形貌關于激光移動方向對稱或者反對稱,這主要是由于激光擾動方式的不對稱造成的.最后,研究發現塵埃顆粒表面帶電量及等離子體密度對三維馬赫錐也產生重要影響,塵埃顆粒帶電量通過影響等離子體頻率,等離子體密度通過影響德拜半徑,進而影響塵埃粒子之間的相互作用力及塵埃顆粒運動速度,從而對馬赫錐形貌產生一定影響.期待本文工作能為微重力條件下激光誘導復雜等離子體馬赫錐的理論研究及后續實驗研究提供部分參考.