分數階衍射蜂窩晶格中帶隙渦旋孤子的傳輸與控制*

王娟芬 韋鑫 劉帥 楊玲珍 薛萍萍 樊林林

(太原理工大學電子信息與光學工程學院,太原 030600)

基于分數階非線性薛定諤方程,研究分數階衍射效應下蜂窩晶格中帶隙渦旋光孤子的存在性與傳輸特性.首先采用平面波展開法得到蜂窩晶格能帶結構,其次在帶隙結構中分別采用改進的平方算子迭代法、分步傅里葉法和傅里葉配置法研究含有蜂窩晶格勢的分數階非線性薛定諤方程中帶隙渦旋孤子的模式及其傳輸特性.研究結果發現帶隙渦旋孤子的傳輸特性受L′evy 指數和傳播常數的影響.在穩定區間,帶隙渦旋孤子可以穩定傳輸,而在非穩定區間,帶隙渦旋孤子會隨著傳輸距離的增加而逐漸匯聚,失去環狀結構演變為基孤子.且L′evy 指數越大,帶隙渦旋孤子能夠穩定傳輸的距離越長,功率越低.此外,相鄰晶格同相位兩個帶隙渦旋孤子與旁瓣能量相疊加,反相位兩帶隙渦旋孤子與旁瓣能量相抵消,傳輸過程中逐漸失去環狀結構,演化為類偶極子模式,且受方位角調制影響而周期性旋轉.在非相鄰晶格處兩帶隙渦旋孤子,由于旁瓣影響較小,帶隙渦旋孤子在傳輸過程中能較好地保持環狀結構.

1 引言

空間光孤子作為孤子的一個分支,由于其在全光控制、光開關、光路由和光邏輯門等方面的應用[1-4],近年來在實驗和理論上都得到了快速的發展.孤子的傳輸動力學可以用非線性薛定諤方程(nonlinear Schr?dinger equation,NLSE)來描述.近年來,Laskin[5,6]在量子力學中推導出了分數階薛定諤方程(fractional Schr?dinger equation,FSE),該方程對于理解分數階效應中的物理現象至關重要[7-10].隨后,Stickler[11]引入一維L′evy 晶體,提出可能在凝聚態環境中實驗實現空間分數量子力學.2015年,Longhi[12]首次將FSE 引入光學,提出了基于非球面光學腔的FSE 實現方案.自此,光束在FSE中傳播動力學引起了廣泛的關注.Zhang 等研究了高斯光束的無衍射傳播[13],以及在諧波勢[14]和周期性宇稱-時間(parity-time,PT)對稱勢中光束的傳播動力學[15].最近,Liu等[16]采用可編程全息圖,實現了時域脈沖在光學FSE 中的實驗觀察.同時,非線性分數階薛定諤方程(nonlinear fractional Schr?dinger equation,NLFSE)中的光束傳播也受到了廣泛的關注,例如超高斯光束[17]、艾里-高斯渦旋光束[18]和兩個艾里光束[19]在NLFSE 中的反常相互作用.此外,還發現了NLFSE 中的各種孤子動力學[20-29],其中渦旋孤子因其具有螺旋相位和攜帶角動量的特性成為研究的熱點,但渦旋孤子會在空間域傳輸過程中因不穩定性而分裂為基孤子[30].已有研究表明,在非線性相互競爭的材料[26]、方形光晶格(周期勢)[28]、PT 對稱復光晶格[31]中,渦旋孤子的不穩定性可以消除.

近年來,周期性結構,例如光學領域的光子晶體和晶格,已被廣泛應用于控制和操作各類光波和物質波,周期性結構將禁帶與介質的非線性相結合,使得在非線性條件下,能帶帶隙內可以生成帶隙孤子[32].最近,在含有光學晶格的非線性分數階衍射系統中,各種局域帶隙模的形成和穩定性受到廣泛的關注[33,34].在具有NLFSE 的系統中,Huang和Dong[20]首次報道了一維光子晶格中帶隙孤子的存在性.Zeng等[35]在具有周期調制線性勢的三次五次NLFSE 中發現一維帶隙孤子.隨后,Zeng等[26]研究了在二維方形晶格帶隙中,孤子簇以及渦旋孤子穩定性,Yao 和Liu[28]報道了在方形晶格帶隙中,渦旋孤子在晶格中位置變化對孤子穩定性的影響,以及PT 對稱晶格中的帶隙孤子[36,37].蜂窩晶格被稱為光學中石墨烯,其結構為蜂窩狀,可以操縱光的傳播,例如錐形衍射[38,39]、克萊因隧穿[40]等現象.相較于由兩束光干涉產生的方形晶格[28],由三束光干涉形成的蜂窩晶格具有更復雜的折射率特性,因此蜂窩晶格中光孤子的存在性及穩定性更難實現.

本文主要基于二維分數階非線性薛定諤方程,研究蜂窩晶格中帶隙渦旋孤子的存在性與傳輸特性.研究發現,L′evy 指數與傳播常數會影響帶隙渦旋孤子的傳輸特性,并且通過功率譜圖可得帶隙渦旋孤子在蜂窩晶格中的穩定傳輸區間;當多個帶隙渦旋孤子同時在蜂窩晶格中傳輸時,孤子之間的相互作用受方位角調制效應的影響使其在傳輸過程中以一定角速度旋轉,相位信息與孤子數量同樣也影響帶隙渦旋孤子的相互作用.

2 理論模型

光束在分數階非線性介質中傳輸可用下列歸一化方程來描述[31,38]:

(1)式中孤子定態解的形式寫為U(x,y,z)=u(x,y)eiμz ,u(x,y) 為一個振幅函數,μ為傳播常數.將其代入(1)式,推導出關于u(x,y) 的線性特征值方程:

為了采用平面波展開法[42]研究(3)式中的衍射關系與帶隙結構,將u(x,y) 表示為

其中kx ,ky是第一布里淵區的波數;ω(x,y) 是一個實函數.在不考慮非線性的情況下,將(4)式代入(3)式,通過求解特征值問題得到帶隙結構.

圖1(a)為晶格深度V0=1 時蜂窩晶格的二維圖像,其中白色虛線部分為單個晶格形狀,圖1(b)為在此晶格深度下帶隙隨L′evy指數α變化的曲線圖,其中灰色部分為能帶,灰色部分之間的白色區域為帶隙,從下往上分別為半無限帶隙、第一帶隙、第二帶隙,依次類推.為了研究帶隙渦旋孤子的傳輸穩定性,分別在第一帶隙中取兩點,A1(1.47,1.65),A2(1.75,1.65),在第二帶隙中取三點,B1(1.47,1.76),B2(1.6,1.76),B3(1.75,1.76) .

圖1 (a)蜂窩晶格結構;(b)蜂窩晶格所對應的能帶結構.其中勢深 V0=1 ,A1(1.47,1.65) ,A2(1.75,1.65) ,B1(1.47,1.76),B2(1.6,1.76) ,B3(1.75,1.76)Fig.1.(a) Honeycomb lattice shape;(b) the corresponding band-gap structure.The potential depth is V0=1 ,A1(1.47,1.65),A2(1.75,1.65) ,B1(1.47,1.76) ,B2(1.6,1.76) ,B3(1.75,1.76) .

本文選取初始輸入為環形渦旋光束[43],其數學表達式為

其中A為渦旋光束的振幅,r0為渦旋光束光斑大小,exp(ilθ) 為螺旋相位因子,l為光束所帶的拓撲荷數.輸入渦旋光束的強度及相位分布如圖2 所示,渦旋光束的光強呈現環狀分布,在中心點光強為0,且相位分布呈現出繞著中心點梯度變化.下面考慮在自散焦介質中,即σ=-1,通過改進的平方算子迭代法(the modified squared-operator method,MSOM)[42]對(3)式進行數值求解可以得到相應的帶隙渦旋孤子解.

圖2 初始輸入渦旋光束的強度三維分布圖(a)和俯視圖(b),以及相位分布圖(c).這里取參數 A=2 ,r0= ,l=1Fig.2.The 3D intensity distribution of initial input vortex beam (a) and corresponding top view (b),and phase distribution (c).The parameters are A=2 ,r0= ,l=1 .

為了研究NLFSE 系統中孤子的線性穩定性,證明帶隙渦旋孤子傳輸的魯棒性,可以采用傅里葉配置法[42].考慮將穩態解加上小擾動,其形式為U=[u(x,y)+p(x,y)eλz+q*(x,y)eλ*z]eiμz,這里u(x,y)為未擾動場振幅,p(x,y)和q*(x,y)為特征值λ處的小擾動,將這種小擾動導入(1)式,就可以得到下列特征值問題:

當上述特征值所有實部Re(λ) 為0 時,孤子是穩定的.當實部Re(λ)0 時,孤子存在擾動,孤子不穩定,且實部Re(λ) 越大,擾動增長速率就越大.下面將采用數值的方法分析帶隙渦旋孤子的存在性與傳輸特性.

3 數值結果

在第一帶隙中,當μ=1.65,α=1.75 時,即圖1(b) 中的A2點,由MSOM 算出方程(3)中的帶隙渦旋孤子解,并通過分步傅里葉方法模擬其傳輸演化,傅里葉配置法計算線性穩定性,其結果如圖3 所示.

圖3 當 α=1.75時,第一帶隙中帶隙渦旋孤子解及穩定性分析(a)—(c)帶隙渦旋孤子解;(d)—(f)在 z=100 處輸出帶隙渦旋孤子;(g) 帶隙渦旋孤子在蜂窩晶格x 方向剖面中的傳輸演化圖;(h) 線性穩定譜圖.其他參數同圖2Fig.3.Gap vortex solitons and their stability in the first gap when α=1.75 : (a)-(c) The gap vortex soliton solution;(d)-(f) the output gap vortex solitons at z=100 ;(g) the transmission evolution of gap vortex soliton in the x-direction of honeycomb lattice;(h) the corresponding stable spectrum.The other parameters are the same as in Figure 2.

圖3(a)和圖3(b)為帶隙渦旋孤子解及其相位分布,可以看出帶隙渦旋孤子的光斑在晶格中心呈環狀分布,且在低折射率相對應的方向上有微弱的衍射光波.帶隙渦旋孤子的相位在晶格影響下,在晶格邊緣出現如同花瓣一樣的周期調制.圖3(c)給出當y=0 時的曲線分布圖,該曲線呈雙峰結構,由于衍射效應,出現旁瓣,且旁瓣峰值遠低于主瓣.圖3(d)—(f)為該帶隙渦旋孤子傳輸100 個單位距離后的輸出圖像,與圖3(a)—(c)相比可知,除相位略有一些變化外,輸出與輸入結果相一致.圖3(g)為帶隙渦旋孤子當y=0 (圖3(a)和圖3(d)白色虛線處),沿x方向的剖面傳輸演化圖像,帶隙渦旋孤子可以在100 個單位距離穩定傳輸.圖3(h)給出通過傅里葉配置法得到的相應線性穩定譜,可以看出Re(λ)=0,說明該孤子在100 個距離之內具有傳輸魯棒性.

而在第一帶隙中,當取μ=1.65,α=1.47 時,即圖1(b) 中的A1點,由MSOM 算出方程(3)的帶隙渦旋孤子解及其傳輸特性,如圖4 所示.圖4(a)和圖4(b)為蜂窩晶格中帶隙渦旋孤子解及其相位分布,可知帶隙渦旋孤子的光斑在晶格中心呈環狀分布,而在晶格邊緣有微弱的衍射光波呈輻射狀分布.帶隙渦旋孤子的相位在晶格影響下,在晶格邊緣處相位出現如同花瓣一樣的周期調制,沿晶格位置出現階躍變化,不同于圖3(b).圖4(c)給出當y=0時的曲線分布圖,該曲線同樣呈雙峰結構,兩邊出現旁瓣,且旁瓣峰值遠低于主瓣.圖4(d)—(f)為該帶隙渦旋孤子傳輸100 個單位距離后的輸出圖像,與圖4(a)—(c)相比可知,帶隙渦旋孤子失去環狀結構,能量集中到晶格中心點處,演變成峰值較高的基態孤子,且相位變得雜亂無章,在y=0處的曲線出現單峰結構,旁瓣依然存在.圖4(g)給出帶隙渦旋孤子當y=0 時(圖4(a)和圖4(d)白色虛線處),在x方向剖面傳輸圖.由圖4(g)可知帶隙渦旋孤子在傳輸到z=60 之后,環狀光束合成單光束,能量逐漸向中心聚集,峰值逐漸增大,形成基孤子,說明帶隙渦旋孤子的傳輸不穩定性.圖4(h)為由傅里葉配置法得到的相應線性穩定譜,該圖中Re(λ)0,再次說明了帶隙渦旋孤子的不穩定性.產生這種現象的原因是帶隙渦旋孤子在傳輸一定距離之后,由于非線性效應與晶格的綜合束縛作用,使得帶隙渦旋孤子逐漸匯聚成基孤子.

圖4 當 α=1.47時,第一帶隙中帶隙渦旋孤子及穩定性分析(a)—(c)帶隙渦旋孤子解;(d)—(f)在 z=100 處輸出帶隙渦旋孤子;(g) 帶隙渦旋孤子傳輸動力學演化;(h) 線性穩定值譜圖.其他參數同圖2Fig.4.Gap vortex solitons and their stability in the first gap when α=1.47 : (a)-(c) The gap vortex soliton solution;(d)-(f) the output gap vortex solitons at z=100 ;(g) the transmission evolution of gap vortex soliton in the x-direction of honeycomb lattice;(h) the corresponding stable spectrum.The other parameters are the same as in Figure 2.

圖3 和圖4 的結果相比可知,L′evy指數α不同,帶隙渦旋孤子的傳輸∫特∫性也不同.這里定義帶隙渦旋孤子功率為圖5 給出在第一帶隙和第二帶隙中取傳播常數分別為μ=1.65與μ=1.76時,在L′evy指數α調制下帶隙渦旋孤子的功率分布圖,藍線和紅線分別代表穩定區域和不穩定區域.由圖5 可以看出,帶隙渦旋孤子功率隨著L′evy指數α的增加呈單調下降趨勢.在第一帶隙中,當μ=1.65 時,帶隙渦旋孤子在α ＞1.67區間內時穩定,如圖5(a)所示.而在第二帶隙中,當μ=1.76時,帶隙渦旋孤子在α ＞1.65區間內穩定,如圖5(b)所示.圖5中A1,A2,B1,B2,B3即圖1(b)中標記的5 個點所處的區域位置.圖3 和圖4 分別對應于第一帶隙在穩定區間的A2點和不穩定區間的A1點.這是因為L′evy 指數的大小與衍射效應有關,隨著L′evy 指數的減小,衍射效應也逐漸減小,與非線性效應之間的平衡逐漸被打破,渦旋孤子的能量隨之增加,傳輸逐漸不穩定.由此可以得出,L′evy指數α會影響蜂窩晶格中帶隙渦旋孤子的強度與傳輸穩定性.下面分析第二帶隙中帶隙渦旋孤子的傳輸特性.

圖5 帶隙渦旋孤子功率 P 與L′evy指數 α 關系圖(a) 第一帶隙的功率譜圖;(b) 第二帶隙的功率譜Fig.5.Power P of gap vortex soliton versus L′evy index α: (a) The power spectrum of first band gap;(b) the power spectrum of second band gap.

圖6 給出在第二帶隙中,當μ=1.76,α=1.75和α=1.47時,即B3點和B1點時,由MSOM 得到的帶隙渦旋孤子傳輸100 個單位距離之后的輸出圖與線性穩定性分析.由圖6(a)—(c)可知當α=1.75時,輸出帶隙渦旋孤子光斑在晶格中心處呈環狀分布,存在向外衍射的光波,同第一帶隙中圖3 結果相一致,且相位同樣出現如圖花瓣一樣的周期調制;圖6(d)給出相應的線性穩定譜,Re(λ)=0,說明該孤子具有傳輸魯棒性.由圖6(e)—(h)可知當α=1.47 時,輸出帶隙渦旋孤子能量向中心聚集,峰值增高,形成基孤子,相位同樣變得雜亂無章;圖6(h)給出相應的線性穩定譜,其Re(λ)0,說明帶隙渦旋孤子傳輸不穩定.該結果與第一帶隙中的圖4 相一致.

圖6 第二帶隙中帶隙渦旋孤子及穩定性分析(a)—(c)當α=1.75時,輸出帶隙渦旋孤子圖像;(d)—(f)當α=1.47 時,輸出帶隙渦旋孤子圖像;其他參數同圖2Fig.6.Gap vortex solitons and their stability in the second gap: (a)-(c) When α=1.75,the output of vortex soliton;(d)-(f) when α=1.47,the output of vortex soliton.The other parameters are the same as that in Figure 2.

圖7 給出在第二帶隙中,L′evy指數α取不同值時,帶隙渦旋孤子在y=0處沿x方向的剖面傳輸演化圖.圖7(a)中,當α=1.75時,即B3點,帶隙渦旋孤子在z=100 距離內穩定傳輸.圖7(b)中,當α=1.6時,即B2點,當帶隙渦旋孤子傳輸到約z=90 處時,帶隙渦旋孤子開始出現相互作用,光束周期振蕩,但仍保持環狀結構,隨著傳輸距離增加,擾動逐漸變大,孤子失去了魯棒性.圖7(c)中,當α=1.47時,即B1點,帶隙渦旋孤子在傳輸到距離約z=80 處時,開始出現擾動,隨著傳輸距離增加,擾動逐漸變大,雙峰合成高能量單峰值,形成單孤子,能量都集中在蜂窩晶格中心.上述結果表明,L′evy 指數會影響帶隙渦旋孤子穩定傳輸的距離.對比圖7(a),圖7(b)與圖7(c),可知L′evy指數越大,帶隙渦旋孤子能夠穩定傳輸的距離越長,產生這種現象的原因是L′evy指數α越大,衍射效應越強,與非線性效應之間的平衡不容易被打破,孤子能夠穩定傳輸的距離越長.對比圖7(c)與圖4(g),在同一L′evy指數α下,傳播常數越大,帶隙渦旋孤子能夠穩定傳輸的距離就越長.產生這種現象的原因是傳播常數越大,孤子的局限程度越高,穩定性越好.

圖7 第二帶隙中,不同L′evy指數 α 下,帶隙渦旋孤子傳輸動力學演化圖像(a) α=1.75;(b) α=1.6;(c) α=1.47 ;其他參數同圖2Fig.7.Transmission evolution of gap vortex solitons in the second gap with different L′evy indexs: (a) α=1.75 ;(b) α=1.6;(c) α=1.47 .The other parameters are the same as that in Figure 2.

為進一步研究蜂窩晶格中帶隙渦旋孤子的傳輸特性,下面考慮多個帶隙渦旋孤子在不同晶格位置的傳輸演化.當α=1.8 時,在第一帶隙中,兩個同相位的帶隙渦旋孤子分別放置在兩個相鄰(d=4.1875)晶格處時,如圖8(a1)—(a5)所示.由圖8(a1)—(a5)可知,帶隙渦旋孤子環狀結構中強度分布不均,這是因為衍射效應使帶隙渦旋孤子由中心向外衍射產生旁瓣,當帶隙渦旋孤子與旁瓣能量相互疊加,使得它們在y軸方向的峰值增高,逐漸演變為類偶極子模式.當兩個同相位的帶隙渦旋孤子分別放置在兩個不相鄰(d=8.375)的晶格格點處時,如圖8(b1)—(b5)所示,兩個帶隙渦旋孤子的環狀結構能較好保持,這是因為不相鄰的帶隙渦旋孤子相互疊加的旁瓣能量遠低于相鄰的帶隙渦旋孤子,使得兩個帶隙渦旋孤子在y軸方向的能量疊加對環狀結構影響較小.同相位帶隙渦旋孤子因受到方位角調制,使得其在傳輸過程中以穩定的角速度旋轉,并逐漸失去穩定性,其在傳輸過程中呈現以下特征:當z=3 時,帶隙渦旋孤子順時針旋轉 45°;當z=7 時,帶隙渦旋孤子順時針旋轉90°;當z=10 時,帶隙渦旋孤子順時針旋轉 135°;在z=14 時,由于傳輸逐漸不穩定,相位旋轉逐漸出現不同步,導致兩帶隙渦旋孤子旋轉也出現略微的不同步,約順時針旋轉180°.

圖8 當 α=1.8 時,在第一帶隙中,相鄰((a1)—(a5))與不相鄰((b1)—(b5))晶格處兩個同相位帶隙渦旋孤子的傳輸特性.其他參數同圖2Fig.8.When α=1.8,the transmission characteristics of two gap vortex soliton with in-phase at adjacent lattices ((a1)-(a5)) and nonadjacent lattices ((b1)-(b5)) in the first gap.The other parameters are the same as that in Figure 2.

當兩個反相位的帶隙渦旋孤子分別放置在兩個相鄰晶格時,如圖9(a1)—(a5)所示,兩個反相位帶隙渦旋孤子的旁瓣能量相互抵消,使得每個帶隙渦旋孤子在y軸方向的峰值降低,演變為類偶極子模式.當兩個反相位的帶隙渦旋孤子分別放置在兩個不相鄰晶格時,如圖9(b1)—(b5)所示,帶隙渦旋孤子受到旁瓣的能量影響較小,環狀結構能很好保持.與同相位類似,反相位帶隙渦旋孤子同樣受到方位角調制,其在傳輸過程中以一定的角速度勻速旋轉,但其傳輸周期不同于圖8 同相位情況,在z=10時,帶隙渦旋孤子順時針旋轉90°,在z=20時,兩帶隙渦旋孤子出現略微的不同步,順時針旋轉了約180°.

圖9 當 α=1.8 時,在第一帶隙中,相鄰((a1)—(a5))與不相鄰((b1)—(b5))晶格處兩個相位相反的帶隙渦旋孤子傳輸特性.其他參數同圖2Fig.9.When α=1.8,the transmission characteristics of two gap vortex soliton with out of phase at adjacent lattices ((a1)-(a5))and nonadjacent lattices ((b1)-(b5)) in the first gap.The other parameters are the same as that in Figure 2.

圖10 給出多個同相位帶隙渦旋孤子在蜂窩晶格中的傳輸特性.由圖10(a1)和圖10(b1)可知,三個帶隙渦旋孤子相隔較遠時,旁瓣產生的影響幾乎可以忽略不計,且在傳輸過程中環狀結構能較好保持.由圖10(a2)—(a4)和圖10(b2)—(b4)可知,三個以上帶隙渦旋孤子同時存在于晶格中時,由于旁瓣的影響,孤子環狀結構中強度分布不均勻,在傳輸過程中又因方位角調制使得每個帶隙渦旋孤子在傳輸過程中以一定的角速度順時針旋轉,逐漸演化成類偶極子模式.在圖10(a2)和圖10(b2)中,四個帶隙渦旋孤子在中心處的旁瓣疊加形成一個低峰值的雙峰孤子,且在傳輸過程中位置不隨帶隙渦旋孤子的旋轉而改變;在圖10(a3)和圖10(b3)中五個帶隙渦旋孤子在中心的旁瓣疊加形成一個低峰值強度分布不均勻的環狀光束;在圖10(a4)和圖10(b4)中,六個帶隙渦旋孤子的旁瓣在中心處的疊加,出現了一個峰值較小的帶隙渦旋孤子,且在傳輸過程中跟隨帶隙渦旋孤子一同旋轉.

圖10 多個帶隙渦旋孤子的輸入( z=0)和輸出( z=6)的光強分布圖(a1),(b1)三個帶隙渦旋孤子;(a2),(b2) 四個帶隙渦旋孤子;(a3),(b3) 五個帶隙渦旋孤子;(a4),(b4) 六個帶隙渦旋孤子;其他參數同圖2Fig.10.Intensity distributions of multiple gap vortex solitons at z=0 and z=6: (a1),(b1) Three gap vortex solitons;(a2),(b2) four gap vortex solitons;(a3),(b3) five gap vortex solitons;(a4),(b4) six gap vortex solitons.The other parameters are the same as that in Figure 2.

4 結論

本文基于分數階非線性薛定諤方程,研究了在蜂窩晶格中具有分數階衍射效應和自散焦非線性效應下帶隙渦旋孤子的模式及其傳輸特性.研究結果表明帶隙渦旋孤子的傳輸與L′evy 指數和傳播常數有關.在穩定區間,帶隙渦旋孤子可以穩定傳輸,保持環狀結構,在非穩定區間,帶隙渦旋孤子會隨著傳輸距離的增加而逐漸匯聚,失去環狀結構及其相位結構,演變為能量較高的基態孤子.且L′evy 指數越大,帶隙渦旋孤子功率越小,能夠穩定傳輸的距離逐漸增加.在同一L′evy 指數下,隨著傳播常數增大,帶隙渦旋孤子能夠穩定傳輸的距離也再增加.當多個帶隙渦旋孤子在晶格中傳輸時,帶隙渦旋孤子間的相互作用會受到晶格距離影響.帶隙渦旋孤子之間距離越大,它們相互之間的作用力越小,在傳輸過程中能夠保持相對穩定;帶隙渦旋孤子之間的距離越小,旁瓣能量會相互疊加,使其失去環狀結構,在傳輸過程中逐漸演化為類偶極子模式且在方位角的調制下順時針旋轉.帶隙渦旋孤子間的相互作用也會受到相位的影響.當兩個同相位帶隙渦旋孤子在相鄰晶格內傳輸時,由于與旁瓣的疊加,在縱軸上能量加強,當兩個反相位帶隙渦旋孤子在相鄰晶格內傳輸,兩個帶隙渦旋孤子在縱軸方向上能量相互抵消,不能穩定保持環狀結構.該研究結果可為帶隙渦旋孤子在晶格中的傳輸與控制提供一定的理論指導.