基于問題鏈的單元復習教學策略研究

陶興高 丁永愿 程龍軍

課題信息：安徽省合肥市教育科學研究一般課題“初中數學幾何思維可視化教學實踐研究”，課題編號為HJG22055.

摘要：復習課是初中階段的主要課型之一，但由于缺乏系統(tǒng)的理論指導，使得復習課缺乏設計，變得低效，而運用問題鏈教學法可以幫助學生厘清知識脈絡，樹立整體觀念，提高課堂參與度，發(fā)展數學核心素養(yǎng).本文中給出了基于問題鏈的設計路徑與設計原則，并以“直線與圓的位置關系”單元復習為例展開教學過程，為一線教師使用問題鏈教學法提供參考.

關鍵詞：問題鏈；教學策略；單元復習；直線與圓

1 單元復習教學現(xiàn)狀

復習課的主要功能是將學過的知識進行系統(tǒng)梳理，提高學生的綜合能力，發(fā)展學生的思維品質.但復習課也是典型的“三無”課型，即沒有明確的教學目標，沒有具體的教學內容，沒有固定的教學策略，給復習課的設計帶來了挑戰(zhàn).目前復習課的設計存在以下問題：忽視教學目標，重難點不突出；復習內容單調，基本上都是“知識+習題”，導致了知識的碎片化，不利于知識認知的整體構建；復習方法以講練為主，機械重復，學生喪失復習主動性.

2 問題鏈的相關概念

2.1 問題鏈的內涵與特征

“問題鏈”就是教師為實現(xiàn)教學目標，根據學生的已有經驗和認知障礙，將教材知識深化整合，推廣綜合，逐漸轉化為具有層次性和系統(tǒng)性的問題序列［1］.問題鏈具備以下特征：①有序性.問題鏈的有序性是知識有序和認知有序的整合，問題遵循從易到難、從簡單到復雜的原則循序漸進依次展開.②指引性.問題鏈中的每一個問題都是一個“腳手架”，引導學生積極思考、主動表達，促進教學目標的達成.③靈活性.由于課堂教學是一個動態(tài)的過程，這就要求問題鏈中的問題不能一成不變地呈現(xiàn)給學生，其呈現(xiàn)的跨度、方式及內容等要因情施策.

2.2 基于問題鏈的單元復習設計路徑與原則

以建構主義理論和最近發(fā)展區(qū)理論為支持，構建基于問題鏈的學習活動路徑，如圖1所示.

2.2.1 教學目標的高階性和指向性

教學目標是問題鏈的目的地，也是問題鏈的導航儀，在教學目標的追求上，問題鏈的教學不僅要關注基本知識、基本技能的掌握，也要關注思想方法的領悟、基本活動經驗的積累.在教學目標的制定上，教師要明晰知識結構、調研學生認知障礙，以課標為參考，確保后續(xù)的每個問題都有明確的指向性，避免“問無實質”“隨意提問”的現(xiàn)象，使得問題鏈有計劃、有步驟、有目的地依次展開.

2.2.2 問題鏈設計的邏輯性和啟發(fā)性

問題鏈的邏輯性包括知識邏輯和認知邏輯.一方面，問題鏈應體現(xiàn)“低起點、分層次、高落點”，實現(xiàn)從簡單到復雜、從低級到高級的過渡.另一方面，教師在設計問題鏈時應順應數學知識的展開規(guī)律和學生的認知順序，確保問題間有順序地銜接，有邏輯地漸進，使問題鏈成為促進學生思維發(fā)展的有效階梯.

問題鏈的啟發(fā)性就是要求教師根據學生的差異性，在學生的思維障礙處或興趣點處搭建“腳手架”，設計符合學生最近發(fā)展區(qū)的預設問題，盡可能地對原有問題進行拓展、延伸.

2.2.3 評價分析的伴隨性

評價分析包括問題功能和學生反饋兩個維度，一是在教師設計完問題鏈之后，分析每個主干問題完成了哪些教學目標，在教學過程中教師及時記錄出現(xiàn)的預設問題，優(yōu)化問題鏈.二是問題鏈的教學是一個不斷提出問題、解決問題的過程，在教學過程中教師可以不斷評估學生的學習狀況，診斷出學生的知識盲區(qū)，以便及時指導.

3 “直線與圓的位置關系”單元復習設計實施

3.1 “直線與圓的位置關系”復習目標

“直線與圓的位置關系”單元包括滬科版第24章的第4，5兩個小節(jié)，是在圓的基本性質學習的基礎上進一步延續(xù)和發(fā)展.本單元內容包括直線與圓的位置關系，切線的性質與判定，切線長定理，內切圓等知識.從教材的脈絡來看，首先分類討論直線與圓的三種位置關系，突出特殊的位置關系——相切，探究切線的性質和判定定理，再利用尺規(guī)作圖作已知圓的切線，引出切線長定理，最后學習三角形的內切圓（即切線長的應用與延續(xù)）.因此，切線是貫穿單元內容的主線，以切線的條數逐步增加作為橫向脈絡，以相應的圖形結論作為縱向脈絡，形成了如圖2的知識結構網絡圖.

直線與圓的位置關系是初中幾何知識的綜合運用，常與垂徑定理、圓周角、勾股定理、平行線、相似三角形等知識結合.本單元對發(fā)展學生分類討論、數形結合、幾何直觀、演繹推理、實踐操作能力有著重要的意義.

基于課標要求，制定如下教學目標：

（1）回顧直線與圓的三種位置關系，體會用距離刻畫直線與圓的位置關系的數形結合思想；

（2）掌握切線的性質和判定定理，發(fā)展幾何直觀、演繹推理能力；

（3）了解切線長定理、三角形內切圓等知識，在尺規(guī)作圖的過程中積累基本活動經驗；

（4）在解決具體問題的過程中提高分析問題、解決問題以及綜合運用的能力.

3.2 “直線與圓的位置關系”問題鏈設計分析

3.2.1 問題鏈1：開放作圖，理清知識脈絡

問題1? 如圖3，⊙O外有一點P，過P作直線l，直線l與⊙O有哪些位置關系的？

問題1-1? 你是如何判斷直線與圓的位置關系的？

問題2? 如圖4，已知直線PA是⊙O的一條切線，切點為A，請用尺規(guī)過點P作⊙O的另外一條切線PB，并說明理由.

問題2-1? 你是怎么想到該作法的？

問題2-2? 所得到的圖形有什么結構特征？

問題3? 如圖5，PA，PB與⊙O分別相切于A，B兩點，C是⊙O上一點.過C作⊙O切線，請你畫出圖形.

問題3-1? 你還能畫出其他圖形嗎？

問題3-2? 根據所畫出的圖形，你有什么結論？

教學預設：

問題2的具體作法有如下幾種情況：

思路一：如圖6，以OP為直徑作⊙N，交⊙O于點B，則直線PB即為所作.

思路二：如圖7，以P為圓心，PA為半徑作弧交⊙O于點B，則直線PB即為所作.

思路三：如圖8，作直線PM，使得∠OPM=∠OPA，則直線PM即為所作.

思路四：如圖9，過點A作PO的垂線段交⊙O于點B，則直線PB即為所作.

問題3所得到的圖形如圖10～12所示.

功能分析：問題1從數形兩個不同的角度復習回顧判斷直線與圓的位置關系的方法，滲透數形結合思想.對于問題2，學生已經具備了教材的作法經驗，思路一較易想到，但該法并未用到已知切線PA這一條件.可引導學生結合切線長定理的內容（過圓外一點作圓的兩條切線，兩條切線相等，圓心與這一點的連線平分兩條切線的夾角）聯(lián)想構圖，形成思路二、三.對于這幾種作法的證明，思路一、二、四應用了切線的判定方法，即連半徑，證垂直；思路三應用了切線的判定方法，即作垂直，證半徑.特別指出，思路三在教學過程中有學生用△PAO≌△PBO證明PM是⊙O的切線，通過對比彰顯運用角平分線性質證明的簡潔性.本活動在作圖中復習切線定理、切線長定理的同時，綜合運用了垂徑定理、全等三角形、圓周角、角平分線的性質等相關幾何知識，提高了學生的直觀想象和邏輯推理能力.

問題3根據點C的位置分為圖10～12的三種情況，培養(yǎng)了學生分類討論能力.在圖10中復習三角形內心的定義、性質和求三角形內切圓半徑的一般方法，在圖11中可證四邊形ACMP是直角梯形且PM=MC+PA，在圖12中可向學生補充旁切圓等知識.在教學過程中可繼續(xù)追問學生：“如果再增加一條切線，你可以得到什么圖形？有什么結論？”該環(huán)節(jié)是切線長定理運用的延續(xù)與拓展，使得知識整理的過程變得有序和完整，也為后續(xù)學習正多邊形與圓的關系埋下伏筆.

問題鏈1是知識梳理的過程，與機械式的復述回憶不同，該環(huán)節(jié)通過設計連續(xù)的作圖活動，從一條切線到兩條切線，再到三條切線，將其中的概念、定理以及內在的聯(lián)系串聯(lián)形成知識結構體系.讓學生在經歷尺規(guī)作圖的過程中，增強動手能力，理解尺規(guī)作圖的基本原理與方法，發(fā)展空間觀念、幾何直觀、邏輯推理等核心素養(yǎng).

3.2.2 問題鏈2：問題探究，提高綜合能力

問題4? 如圖13，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6 cm，BC=8 cm.點O在邊BC上，以OC為半徑作⊙O，⊙O與邊AB相切于點D，交邊BC于點E，求⊙O的半徑.

問題4-1：如圖14，連接DE，CD，求線段DE，CD的值.

問題4-2：如圖15，連接OA交CD于點F，連接EF，判斷四邊形ADEF是不是平行四邊形.

問題5? 如圖16所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，點O在邊BC上，以OC為半徑作⊙O，⊙O與邊AB相切于點D，交邊BC于點E，連接OA交CD于點F，連接EF，要使四邊形ADEF是平行四邊形，則Rt△ABC的三邊需要滿足什么條件？

教學預設：

問題4求半徑的一般思路：

思路一：如圖17，連接OD，因為AB，AC都是⊙O的切線，切點分別是C，D，根據切線長定理可得AD=AC=6.又∠BDO=90°，易知△BDO∽△BCA，則ODBD=ACBC，即r4=68，解得r=3.

思路二：如圖17，連接OD，在Rt△BDO中，由BD2+OD2=OB2，得42+r2=（8－r）2，解得r=3.

思路三：如圖18，連接OD，OA.由S△ABO+S△OAC=S△ABC，可得12×10r+12×6r=12×6×8，解得r=3.

問題4-1求線段長的一般思路：

思路一：如圖14，在△BDE中，sin B=35，BE=2，BD=4，解斜三角形可得DE=655.在Rt△CDE中，解得CD=1255.

思路二：如圖19，連接OD，由∠BDO=∠EDC=90°，得∠BDE=∠CDO=∠BCD，所以可證得△BDE∽△BCD，則BDBC=DECD，可得CD=2DE.在Rt△CDE中，解得DE=655，CD=1255.（也可證△ODE∽△ADC，得CD=2DE，求得線段DE，CD的長.）

問題4-2的判斷思路：

思路一：求得EF=6105，與對邊AD不相等；或求得AF=1255，與對邊DE不相等.

思路二：F是CD的中點，E不是CB的中點，顯然EF和AB不平行.

問題5的求解思路：

已知ED∥AF，要使四邊形ADEF是平行四邊形，還需要ED=AF或AD∥EF.

思路一：如圖20，連接OD，因為DE=2OF，若四邊形ADEF是平行四邊形，則DE=AF，DEOA=23.又AO∥DE，所以有△BED∽△BOA，BEBO=OEOA=23，所以

BE=2OE，在Rt△BDO中，有sin B=ODOB=13.故Rt△ABC三邊比值為AC∶BC∶AB=1∶22∶3.

思路二：如圖20，由F是CD的中點，若四邊形ADEF是平行四邊形，則EF∥AB，可得E是BC的中點，所以BE=2OE.后續(xù)同思路一可證得Rt△ABC三邊的比值AC∶BC∶AB=1∶22∶3.

功能分析：該環(huán)節(jié)以直角三角形和圓的綜合為背景設置問題鏈，將切線定理與相似三角形、平行線、勾股定理、平行四邊形等知識聯(lián)系起來，學生通過該題組掌握了求圓中線段長度的一般方法，提高了分析問題、解決問題的能力.其中，問題5是問題4-2的逆向論證，從已知四邊形的形狀探究Rt△ABC的三邊關系，從有具體的數值到無數值，論證的過程更加抽象，使學生對圖形的位置關系、數量關系的認識更加深刻.該環(huán)節(jié)通過一題多問、一題多解的方式使得課堂內容從冗長走向簡約，增強學生思維的連貫性、綜合性.

4 基于問題鏈的單元復習教學反思

問題鏈的教學模式可為教師提供一種復習課的教學方法，能夠引導學生樹立整體觀念，提高課堂參與度，發(fā)展核心素養(yǎng).

4.1 理清脈絡，樹立整體觀念

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出，要注重教學內容的結構化，整體分析數學內容本質和學生認知規(guī)律，幫助學生用整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問題.問題鏈作為一個整體序列，問題與問題之間具有一定層次結構、邏輯關系，讓學生有機會借助邏輯思考建構起知識體系.在本案例中，問題鏈1以切線的條數不斷增加作為主線，縱向將單元內容串聯(lián)起來，使得知識梳理過程變得有序；問題鏈2橫向將切線內容與勾股定理、相似三角形、直角三角形等知識相結合，明晰本單元與其他知識的綜合應用.

4.2 以生為本，提高課堂參與度

唐恒鈞［2］教授指出：教師在設計問題鏈時應激發(fā)學生解決問題的積極性；對于挑戰(zhàn)性問題，要在全體學生的認知范圍內，讓每一位學生參與到其中，鍛煉學生解決問題的能力.在本案例中幾乎每個問題都有多種解法.其中，問題2方法的開放性讓學生更全面地掌握切線定理和切線長定理，更深刻地認識雙切圖的對稱性；問題3結論的開放性也會給學生帶來了“意外“內容，拓展旁切圓等知識；問題4題組探究過程的多樣性培養(yǎng)了學生的發(fā)散思維和創(chuàng)造思維.開放性的問題讓不同層次的學生都能參與，也使得知識方法的使用更加全面.

4.3 問題驅動，發(fā)展思維品質

問題鏈教學將陳述性知識轉化為程序性知識去理解和認識，讓學生在做數學的過程中實現(xiàn)知識的建構.問題鏈教學驅動學生思維的發(fā)展，表現(xiàn)在兩個方面：一是在內容上給學生提供了充足的冷靜思考與自主探究的空間，讓學生在問題的驅動下獨立探索，利于學生數學思維的發(fā)展；二是問題鏈間的關聯(lián)能揭示學習過程與思想方法，驅動學生的思維發(fā)展經歷“問題—方法—方法論”的數學化全過程，發(fā)展學生的核心素養(yǎng).

參考文獻：

［1］唐恒鈞，張維忠.數學問題鏈教學的內涵與特征［J］.教育研究與評論（中學教育教學），2021（1）：8-12.

［2］唐恒鈞，張維忠.數學問題鏈教學：緣起、進展與展望［J］.中學數學教學參考，2021（16）：71-73.